12、数值微分与线性规划：理论、方法与应用

数值微分与线性规划：理论、方法与应用

1. 数值微分方法概述

数值微分旨在通过数值方法估算函数的导数。这里主要介绍了两类数值方法：基于泰勒定理推导的多点公式法和基于柯西定理的方法。

1.1 多点公式法

多点公式法利用泰勒定理推导得出，包括两点、三点和五点公式，用于计算函数 ( f = f(x) ) 在任意点 ( x ) 处的一阶导数。这些公式都依赖参数 ( h ) 来确定 ( x ) 附近的点，从而获取所需的函数值。

选择合适的 ( h ) 至关重要，建议使用多个 ( h ) 值进行估算后再做最终决策。确定 ( f’(x) ) 的公式后，可递归使用这些公式来估算 ( f’‘(x) ) 及更高阶导数。

不过，在处理复杂函数的高阶导数时，两点、三点和五点公式存在一定局限性。

公式类型	适用函数
两点公式 (6.6)	线性函数
三点公式 (6.10)	二次多项式
五点公式 (6.11)	四次多项式

1.2 柯西定理方法

柯西定理方法是一种替代方案，虽然它涉及复数运算，需要计算机软件支持，但在估算高阶导数方面表现出色。该方法将问题转化为积分计算，可利用已