CF 691E Xor-sequences 矩阵快速幂 + dp

最新推荐文章于 2024-09-12 16:17:58 发布

yuhong_liu

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分类专栏：矩阵快速幂

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/viphong/article/details/52997152

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矩阵快速幂

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本文介绍了一道经典的动态规划与快速幂结合的问题，通过构建矩阵来高效解决大规模数据问题。详细阐述了如何利用矩阵快速幂优化递推过程，以及具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定序列，从序列中选择k(1≤k≤1e18)个数（可以重复选择），使得得到的排列满足xi与xi+1异或的二进制表示中1的个数是3的倍数。问长度为k的满足条件的序列有多少种？

与这题几乎一个套路

http://blog.youkuaiyun.com/viphong/article/details/52984918

dp[i][j]表示长度为i时，序列结尾为j的方案数

那么递推方程为 dp[i][j]+=dp[i-1][k] （bitcount(ai,aj)%3==0）

m太大，这样的线性递推可以构造快速幂

因此只需要维护一个n*n的矩阵即可

系数矩阵超级好构造

for (int i=0; i<n; i++)
    {
        for (int j=0; j<n; j++)
            if ( bitcount(aa[i]^aa[j] ) %3==0)
                c.mat[j][i]=1;
    }

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 100;
const long long  mod=1000000007;
struct Matrix
{
    long long mat[N][N];
} ;
Matrix unit_matrix ;
long long n ;
long long k=100;
Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩阵相乘
{
    Matrix res;
    for(int i = 0; i < k; i++)
        for(int j = 0; j < k; j++)
        {
            res.mat[i][j] = 0;
            for(int t = 0; t < k; t++)
            {
                res.mat[i][j] += a.mat[i][t] * b.mat[t][j];
                res.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    return res;
}

Matrix pow_matrix(Matrix a, long long m)  //矩阵快速幂
{
    Matrix res = unit_matrix;
    while(m != 0)
    {
        if(m & 1)
            res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        m >>= 1;
    }
    return res;
}
long long aa[105];

inline int bitcount(long long a)
{
    int ret=0;
    while(a)
    {
        a=a^(a&-a);
        ret++;
    }
    return ret;

}
Matrix get(long long n ,long long times)
{
    k=n;
    Matrix ori;
    memset(  ori.mat ,0,sizeof ori.mat);
    for (int i=0; i<n; i++)
        ori.mat[0][i]=1;
    Matrix c;
    memset(  c.mat ,0,sizeof c.mat);
    for (int i=0; i<n; i++)
    {
        for (int j=0; j<n; j++)
            if ( bitcount(aa[i]^aa[j] ) %3==0)
                c.mat[j][i]=1;
    }
    Matrix ans = pow_matrix(c, times-1);
    ans = mul(ori,ans);
    return ans;
}
int main()
{

    int  i, j, t;
    //初始化单位矩阵            //类似快速幂的 ans=1； 如今是ans=单位矩阵
    memset(unit_matrix.mat,0,sizeof unit_matrix.mat);
    for(i = 0; i < k; i++)  unit_matrix.mat[i][i] = 1;
    long long times;
    scanf("%lld%lld",&n,×);
    for (int i=0; i<n; i++)scanf("%lld",&aa[i]);
    if (k==1)
    {
        printf("%lld\n",n);
        return 0;
    }
    Matrix tmp=get(n,times);
    long long ans=0;
    for (int j=0; j<n; j++)
        ans=(tmp.mat[0][j]+ans)%mod;
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}