HDU - 2855 Fibonacci Check-up 斐波那契矩阵

最新推荐文章于 2018-02-27 16:31:27 发布

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决斐波那契数列问题的方法，并提供了详细的算法实现过程。通过将斐波那契数列的计算转换为特定矩阵的幂运算，可以在对数时间内高效地计算出斐波那契数列的第n项。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2855

对于任意的n和m，求解(∑CknF(k))%m(∑CnkF(k))%m的结果。

F为斐波那契数列的第k项,。

可以很容易看到 Cn,k部分是二项式展开的结果】

二项式定理：(1+x)n=C0nx0+C1nx1+...Cnnxn。

而要求的是。

关键是要能想到斐波那契数列的第n项Fn 可以看作是斐波那契矩阵的 n次方【 1 1 】^n

【1 0 】

因此根据二项式定理，要求的答案可以看错是（1+x）^n,其中1是单位矩阵E，x是斐波那契矩阵Fi

也就是求【E+Fi】^n

矩阵快速幂即可

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N = 2;
long long  mod;
struct Matrix
{
    long long mat[N][N];
} ;
Matrix unit_matrix ;
long long n ;

const int k=2;
Matrix mul(Matrix a, Matrix b) //矩阵相乘
{
    Matrix res;
    for(int i = 0; i < k; i++)
        for(int j = 0; j < k; j++)
        {
            res.mat[i][j] = 0;
            for(int t = 0; t < k; t++)
            {
                res.mat[i][j] += a.mat[i][t] * b.mat[t][j];
                res.mat[i][j] %= mod;
            }
        }

    return res;
}

Matrix pow_matrix(Matrix a, long long m)  //矩阵快速幂
{
    Matrix res = unit_matrix;
    while(m != 0)
    {
        if(m & 1)
            res = mul(res, a);
        a = mul(a, a);
        m >>= 1;
    }
    return res;
}
Matrix get(long long n)
{
    Matrix ori;

  memset(  ori.mat ,0,sizeof ori.mat);
    ori.mat[0][0]=1;
    ori.mat[0][1]=0;
    ori.mat[1][0]=0;
    ori.mat[1][1]=1;

    ori.mat[0][0]+=1;
    ori.mat[0][1]+=1;
    ori.mat[1][0]+=1;
    ori.mat[1][1]+=0;
    Matrix ans = pow_matrix(ori, n);
    return ans;
}
int main()
{
    int  i, j, t;
    //初始化单位矩阵            //类似快速幂的 ans=1； 如今是ans=单位矩阵
    for(i = 0; i < k; i++)
        for(j = 0; j < k; j++)
            unit_matrix.mat[i][j] = 0;
    for(i = 0; i < k; i++)  unit_matrix.mat[i][i] = 1;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&mod);
        Matrix ans=get(n);
        printf("%lld\n", ans.mat[0][1]);
    }
    return 0;
}