hdu5781-ATM Mechine 概率DP_sec5781-优快云博客

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这是一道概率动态规划题目，Alice忘记了自己的银行存款，只知道金额在0到k之间。每次取款若余额足够则取出，否则会收到警告，警告超过w次会被逮捕。目标是找到最优策略，期望取款次数来确定存款数额，以避免被捕。通过建立dp[i][j]表示钱在0-i之间且最多警告j次的期望取款次数，利用转移方程求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5781

题意：Alice忘记了自己银行里存了多少钱，只记得在［0，k］之间。每次取钱如果余额足够就出钱，否则警告一次，警告超过w次就会把你抓起来，在不想被警察抓起来的前提下，Alice采取最优策略，求期望取钱多少次能知道自己存了多少钱。

考虑期望dp[i][j]表示钱在0-i之间，最多可被警告j次

对于当前的状态dp[i][j]，下一次取钱的范围可能是0-i

假设我们取了p

那么有 p/(i+1)的概率被警告，因为钱在0- p-1，因此下一个状态为dp[p-1][j-1] +1

反之又1- p/(i+1)的概率出钱，即钱在 p到i，因此下一个状态为dp[i-p+1][j]

所以转移方程为 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-p][j]*(i-p+1)/(i+1) +
dp[p-1][j-1]*p/(i+1) +1) ;

预处理o1查询即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double g = (1 + sqrt(5.0)) / 2.0;

double dp[2005][20];
const double inf=1e16;
int main()
{

//dp[i][j]表示钱在0-i之间，最多可被警告j次
    for (int i=0; i<=2000; i++)
    for (int j=0; j<=15; j++)
        dp[i][j]=inf;
    for (int j=0; j<=15; j++)
        dp[0][j]=0;
    for (int i=1; i<=2000; i++)
    {
        for (int j=1; j<=15; j++)
        {
            for (int p=1; p<=i; p++)
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-p][j]*(i-p+1)/(i+1) +
                             dp[p-1][j-1]*p/(i+1) +1) ;
            }
        }
    }
    int k,w;
    while(scanf("%d%d",&k,&w)!=EOF)
    {
        w=min(w,15);

        printf("%.6lf\n",dp[k][w]);
    }

    return 0;
}