hihocoder 1388 Periodic Signal FFT

最新推荐文章于 2018-01-23 16:50:23 发布

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数学快速傅立叶变换のFFT 专栏收录该内容

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本文介绍了一种使用快速傅立叶变换(FFT)来解决特定类型的循环乘积和问题的方法。通过将B数组逆序并扩展A、B数组长度至两倍，利用FFT进行多项式乘法运算，从而高效地找到最大化的循环乘积和。

http://hihocoder.com/problemset/problem/1388?sid=893835

呀，我的第一道fft

FFT是什么窝真的不太懂、、、

卷积窝也不懂

关于多项式乘法

首先把系数表达转换为点值表达，需要nlogn时间

然后点值表达计算，就可以O（n）完成

因此算法可以把时间降到nlogn

可以看到卷积套路如上图：

而本题要求的是

显然前面平方和是固定的，就是要最大化最后的

然而这不符合卷积套路，但是我们可以发现这是个【循环的乘积和】

如果我们套路地把B数组逆序一下，还是让原来相乘的那些数继续相乘。

于是下标就变成了

我们发现和卷积的形式，还略有不同。

稍作分析：

因此，我们先把B逆序后的式子展开，然后把A、B数组添零扩充为两倍，原题所要求的

其实就相当于 A正序，B逆序、扩充2倍之后，的多项式乘法，对应的C[ n-k ] + C[ 2*n-k ]

因此，我们只需要把B数组逆序，然后把数组都扩充一倍，并填充0，然后跑FFT

就可以取max 得到答案了。

这里由于FFT精度不够，用的是NTT

700ms+

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;

typedef long long ll ;
const int maxn = 131072 ;
+// const ll mod = ( 1ll << 47 ) * 7 * 4451 + 1 ;
 const ll mod = ( 1ll << 47 ) * 7 * 4451 + 1 ;
const ll g = 3 ;

struct Node
{
    ll x, y ;
    Node(ll a=0,ll b=0)
    {

        x=a,y=b;
    }
} ;
 ll mul ( ll x, ll y )
{
    return ( x * y - ( long long ) ( x / ( long double ) mod * y + 1e-3 ) * mod + mod ) % mod ;
}

ll power ( ll a, ll b )
{
    ll res = 1, tmp = a ;
    while ( b )
    {
        if ( b & 1 ) res = mul ( res, tmp ) ;
        tmp = mul ( tmp, tmp ) ;
        b >>= 1 ;
    }
    return res ;
}

void DFT ( ll y[], int n, bool rev )
{
    for ( int i = 1, j, t, k ; i < n ; ++ i )
    {
        for ( k = n >> 1, t = i, j = 0 ; k ; k >>= 1, t >>= 1 )
        {
            j = j << 1 | t & 1 ;
        }
        if ( i < j ) swap ( y[i], y[j] ) ;
    }
    for ( int s = 2, ds = 1 ; s <= n ; ds = s, s <<= 1 )
    {
        ll wn = power ( g, ( mod - 1 ) / s ) ;
        if ( !rev ) wn = power ( wn, mod - 2 ) ;
        for ( int k = 0 ; k < n ; k += s )
        {
            ll w = 1, t ;
            for ( int i = k ; i < k + ds ; ++ i, w = mul ( w, wn ) )
            {
                y[i + ds] = ( y[i] - ( t = mul ( y[i + ds], w ) ) + mod ) % mod ;
                y[i] = ( y[i] + t ) % mod ;
            }
        }
    }
}

void FFT ( ll x1[], ll x2[], int n )
{
    DFT ( x1, n, 1 ) ;
    DFT ( x2, n, 1 ) ;
    for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) x1[i] = mul ( x1[i], x2[i] ) ;
    DFT ( x1, n, 0 ) ;
    ll vn = power ( n, mod - 2 ) ;
    for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) x1[i] = mul ( x1[i], vn ) ;
}

ll x1[maxn],x2[maxn];
ll s1[maxn],s2[maxn];
int main()
{
      int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {

        int n,i,j,k;
        cin>>n;
        ll len1,len2,len=1,ans=0;
        len1=len2=n;
        for (int i=0; i<n; i++)scanf("%lld",&s1[i]),ans+=s1[i]*s1[i];
        //  for (int i=n; i<2*n; i++) s1[i]=s1[i-n];
        for (int i=0; i<n; i++)scanf("%lld",&s2[n-i-1]),ans+=s2[n-i-1]*s2[n-i-1];

        //两个多项式长n，m，那么乘积长n+m-1，
        //这里求最接近且大于n+m-1的2^k，方便二叉树形式的运用吧
        while(len<len1*2)len<<=1;
        for(i=0; i<len1; i++)
            x1[i]=s1[len1-1-i];
        for(i=len1; i<len; i++)
            x1[i]=0;
        for(i=0; i<len2; i++)
            x2[i]=s2[len2-1-i];
        for(i=len2; i<len; i++)
            x2[i]=0;
        FFT(x1,x2,len);//FFT转换成单位根形式

        ll maxx=0;
        for (int i=n; i<len; i++)
            maxx=max(maxx,(long long )(x1[i-n]+x1[i]));
        printf("%lld\n",ans-2*maxx);
    }
    return 0;
}