33、代数方程根式可解性的探索与证明

代数方程根式可解性的探索与证明

1. 根式求解方程的基本概念

在数学中，使用圆规和直尺解决几何问题等同于为某些数找到带有平方根的表达式。现在我们将工具扩展到所有根，如立方根、四次方根等，这些根也被称为根式，我们将这种求解问题的方式称为用根式求解。

我们知道存在超越数，这些数不能用根式表示。因此，我们唯一有望用根式表示的数是代数方程的解。对于二次方程，有著名的求根公式。对于三次方程，公式更为复杂。对于特殊形式的三次方程 (x^3 + px + q = 0)，其中一个解为：
[x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}}]
对于四次方程，公式相当复杂，但仍然存在。然而，对于五次方程 (x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + f = 0)，令人惊讶的是，不存在用 (a)、(b)、(c)、(d)、(f) 表示根的一般公式，即五次方程不能用根式求解。例如，方程 (x^5 - 4x + 2 = 0) 有三个实根，但不能用根式求解。

2. 不可能证明的几何与代数问题

这个问题的核心与用圆规和直尺进行构造的问题类似，但本质区别在于，这个问题的解决催生了一种新的深刻理论。该理论基于群的概念，这在以前并未被使用过。其最重要的方面是需要研究任意有限群，这使得数学的发展朝着结构主义方法迈进。当代数学不仅研究数、几何图形和函数，还研究各种结构和结构类。

这一主题与三位重要数学家相关：Paolo