12、语言、逻辑与计算中的真理、模型和证明

语言、逻辑与计算中的真理、模型和证明

1. 欧几里得第五公设与非欧几何模型

在欧几里得几何中，第五公设的独立性问题一直备受关注。直到1868年，Eugenio Beltrami构建了一个该理论的模型，才证明了第五公设的独立性。在Beltrami的模型里，除了第五公设外，欧几里得几何的所有公理都成立。虽然Bolyai、Gauss和Lobachevsky的见解是解决该问题的重要一步，但最终解决问题的是Beltrami。

在现代数学中，证明一个概念的存在意味着证明在Zermelo - Fraenkel集合论中存在一个该概念的模型。仅仅能发展关于该概念的有意义理论，不能算作证明，只能作为支持猜想的证据。不过，集合论本身是个例外，因为无法在Zermelo - Fraenkel集合论自身中证明其一致性，也无法构建其自身的模型。

2. 理论不能唯一确定模型

通常认为结构是研究的主要对象，逻辑用于描述它们。但逻辑无法唯一确定一个特定结构，因为对于给定结构，存在无限多个同构结构。我们关心的是能否在同构意义下确定一个结构，一般来说这是不可能的。具体而言，只能通过在有限结构中为真的句子来确定有限结构。对于无限结构，存在本质不同但满足完全相同句子的结构。

Leopold Löwenheim和Thoralf Skolem的经典结果表明，对于一个无限结构，存在任何无限基数的结构满足相同的句子。例如，自然数是可数无限集的典型例子，实数是不可数的，但存在不可数结构满足与自然数相同的句子，也存在可数结构满足与实数相同的句子。

对于集合论的公理系统，如Zermelo - Fraenkel集合论，假设它是一致的，它有一个模型，根据Löwenheim -