11、语言、逻辑与计算中的真理、模型及相关概念解析

语言、逻辑与计算中的真理、模型及相关概念解析

1. 变量方程与布尔代数

当提及含变量的方程为真时，意味着该方程对于变量的任何可能取值都成立，即默认变量是全称量化的。例如，交换律表述为 (x + y = y + x)，实际意味着 (\forall x\forall y(x + y = y + x))。

布尔代数是等式理论的一个重要例子，它是关于集合 ({0, 1}) 的等式理论。我们可以考虑该集合上能定义的所有运算（即所有布尔函数），或者仅选取其中一个有限的完备集。由此，命题逻辑可被视为二元素集合的等式理论。

2. 与外星生命的交流

与外星生命进行交流是一个饶有趣味的话题。数学无疑会发挥作用，但期望仅借助数学语言就能自动解决交流问题则过于天真。荷兰数学家汉斯·弗罗伊登塔尔（Hans Freudenthal）曾深入研究此问题，并在其著作中提出了一种用于与外星生命交流的语言。

他的基本思路如下：要与智能生物交流，我们需要一种共同语言，但由于无法预先交换信息来商定，所以必须设计一种合适的语言，并通过示例来教导对方。教导可从数论、逻辑和集合论的概念入手，待对方掌握该语言后，就能理解我们发送的任何信息。

在设计给外星人的信息时，首先要明确目标：
- 若信息仅用于表明我们是智能生物，无需发送勾股定理这类内容，因为能发送电磁信号就已证明我们的知识远超此类简单定理，此时只需发送能与自然宇宙信号区分开的信号即可。
- 若要让潜在接收者认可我们在科学（除理解电磁波外），尤其是数学方面的成就，则任务更为艰巨。
- 一个特别有趣但偏理论性的问题是，如何让对方相信我们拥有先进的计算技术。在双方双向交流的情况下，这类