2、航空发动机转子 - 支撑系统动力学分析与振动抑制

航空发动机转子 - 支撑系统动力学分析与振动抑制

1 转子 - 支撑系统动力学方程求解

在典型涡轮轴发动机中，转子 - 支撑系统的动力学模型可通过有限元方法建立，其控制方程可以简写为：
[M(t)\ddot{q} + C(t)\dot{q} + K(t)q = 0]
其中，(q) 是整个系统的自由度向量，(M(t))、(C(t))、(K(t)) 分别是随时间变化的质量、阻尼和刚度矩阵。

采用二阶精度的时间中心有限差分法来求解该控制方程。假设将时间域 ([0, t]) 等分为若干步，时间步长为 (dt)，则时刻 (t_n) 的速度和加速度可以表示为位移的函数：
[\begin{cases}
\dot{q}(t_n) = \frac{1}{2\Delta t} [q(t_{n + 1}) - q(t_{n - 1})] \
\ddot{q}(t_n) = \frac{1}{\Delta t} [\dot{q}(t_{n + 1/2}) - \dot{q}(t_{n - 1/2})] = \frac{1}{\Delta t^2} [q(t_{n + 1}) + q(t_{n - 1}) - 2q(t_n)]
\end{cases}]

由此建立响应状态递归格式：
[\left(\frac{M(t_n)}{\Delta t^2} + \frac{C(t_n)}{2\Delta t}\right) q(t_{n + 1}) = \left(\frac{2M(t_n)}{\Delta t^2} - K(t_n)\right) q(t_n) - \left(\frac{M(t_n)}{\Delta t^2} - \frac{C