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古典与量子密码学技术全解析
1. 一次性密码本
一次性密码本是一种加密技术，在这种技术中，频率分析对破解密文毫无帮助。因为明文中的某个字母每次出现时，可能（而且很可能）会被编码成不同的形式。例如，在“CRYPTO”这个单词中，字母“R”和“T”都被加密成了“B”。
从信息论的角度来看，一次性密码本是安全的。即使攻击者拥有无限的计算能力，仅通过研究密文，也无法获得关于明文的任何信息。例如，截获的密文“JLBCWN”，它可能是用密钥“JSICUD”加密的“ATTACK”，也可能是用密钥“GHWYJK”加密的“DEFEND”，或者是使用合适密钥加密的任何其他合理的6字符消息。
然而，尽管一次性密码本被证明是无法破解的，但它在密码学中并未得到广泛应用。这是因为它需要一个至少和待加密消息一样长的密钥，并且这个密钥需要通过安全的通信渠道生成和传输，而在实际操作中，这并非易事。不过，在量子密码学中，一次性密码本仍然是最广泛使用的技术之一。
2. 主要加密算法类型概述
密码学方法主要分为对称和非对称算法。在此之前，先了解一下哈希的概念，它在各种密码学场景中广泛使用。
2.1 哈希
哈希是一种将任意大小的数据转换为固定长度字符串（即哈希值）的密码学方法。它是一个单向函数，即从输入消息计算哈希值很容易，但无法通过给定的哈希值逆向操作来恢复数据。哈希函数依赖于三个关键属性：
-
确定性
：给定的输入消息总是会生成相同的哈希值。
-
唯一性
：两个不同的哈希值必然来自两个不同的消息。
-
雪崩效应
：输入的微小变化会显著改变哈希值。
哈希与加密不同，因为从设计上它排除了解密的可能性。在密码学中，哈希函数通常用于验证数据完整性或作为数字签名。例如，若要通过不安全的通信信道接收文件，发送者会在传输前计算文件的哈希值，接收者在传输后也进行相同操作。通过比较这两个值，就能知道文件在传输过程中是否被篡改，因为即使是最微小的变化也会因雪崩效应导致计算出的哈希值不同。
目前最常用的哈希函数有来自消息摘要标准的MD5，以及来自安全哈希算法标准的SHA - 1和SHA - 256。
2.2 对称密码学
最传统和直观的加密算法属于对称密码学范畴。这类算法的特点是加密和解密使用相同的密钥。例如，凯撒密码和前面提到的一次性密码本就是对称密码学的经典例子，接收者只需知道发送者使用的密钥，就能解密消息。
对称算法的主要优点是，两个参与方只需一个加密技术和一个唯一的密钥就能安全地交换数据，这种低复杂性使得其实现速度快。第一个标准化的加密算法是数据加密标准（DES），现代密码学中最广泛使用的对称加密算法是高级加密标准（AES）。这两种标准都属于块密码，因为它们的加密方法是对固定长度的数据块进行操作。通常，AES使用128位、192位或256位的密钥对128位的数据块进行加密。
然而，对称加密单独使用并不实际，因为它需要安全地交换密钥。因此，在实际应用中，它经常与另一类主要的密码学过程——非对称密钥算法结合使用。
2.3 非对称密码学
与对称密码学不同，非对称密码学需要使用两个不同的密钥来进行加密和解密。这对密钥包括一个任何人都可以访问的公钥和一个只有所有者才能访问的私钥。因此，非对称密码学也常被称为公钥密码学。
非对称密码学提供了一种单向通信形式：任何人都可以使用公钥加密消息，但只有密钥所有者才能使用私钥解密。为了实现这一点，密钥对的生成基于一些被认为足够难以解决的数学问题，这样攻击者在没有访问密钥的情况下，无法破解加密。
由于非对称加密比对称加密速度慢，它们通常结合使用。通过非对称协议，两个参与方可以安全地交换密钥，然后使用该密钥进行对称密钥算法。例如，超文本传输安全协议（HTTPS）就是HTTP的安全版本，它使用传输层安全（TLS）协议来确保通信安全。TLS协议首先使用非对称协议生成和交换密钥，然后使用这些密钥通过对称算法对数据进行加密。TLS的非对称部分被称为TLS握手，每次连接到HTTPS网站时都会进行，以建立连接的安全性。
2.4 Diffie - Hellman密钥交换
Diffie - Hellman密钥交换是一种为在不安全信道上通信的两个参与方生成共享秘密密钥的方法。它是公钥密码学实现的早期例子之一，至今仍在各种密码学模型中使用，特别是在TLS协议中。
其基本思想基于群的数学理论。在过程开始时，两个参与方（假设为Alice和Bob）公开商定一个有限循环乘法群G（阶为n）的生成元g。然后，他们按以下步骤进行：
1. 他们各自随机选择一个秘密自然数，Alice选a，Bob选b。
2. 他们都将g提升到自己秘密数字的幂次。Alice计算$g^a$，Bob计算$g^b$。
3. 他们交换计算结果。Alice从Bob处收到$g^b$，Bob从Alice处收到$g^a$。
4. 他们将收到的结果提升到自己秘密数字的幂次。Alice计算$(g^b)^a$，Bob计算$(g^a)^b$。
最终，由于群的结合律，Alice和Bob共享一个共同的秘密$g^{ab}$。这个秘密是安全的，即使它是在不安全的通信信道上生成的，也可以用作双方进一步交换的密钥。该过程的安全性在于，攻击者很难从一个元素的幂次结果中反推其指数。例如，仅知道$g^a$，无法计算出a的值，因此仅根据公开值无法推导出$g^{ab}$。这个问题在数学理论中被称为离散对数问题，许多非对称密码学算法的安全性都基于在精心选择群的情况下，该问题难以解决的假设。
以一个实际例子说明，通常选择的群G是模p（p为素数）的整数乘法群，记为$(ℤ/pℤ)^×$。假设Alice和Bob公开商定使用$p = 29$和$g = 8$作为$(ℤ/29ℤ)^×$的生成元。Diffie - Hellman密钥交换过程如下：
1. Alice随机选择$a = 3$，Bob随机选择$b = 5$。
2. Alice计算$8^3 \bmod 29 = 19$，Bob计算$8^5 \bmod 29 = 27$。
3. Alice将结果19发送给Bob，Bob将结果27发送给Alice。
4. Alice计算$27^3 \bmod 29 = 21$，Bob计算$19^5 \bmod 29 = 21$。
最终，Alice和Bob共享秘密值21，而 eavesdropper 只知道交换的值19和27，以及p和g。在实际应用中，p是一个足够大的素数，以确保在现有计算能力下，从$g^a$和$g^b$中恢复秘密值a和b是不可能的。
以下是Diffie - Hellman密钥交换的流程图：
graph TD;
A[开始] --> B[商定生成元g和阶n];
B --> C[Alice选a，Bob选b];
C --> D[Alice算g^a，Bob算g^b];
D --> E[交换g^a和g^b];
E --> F[Alice算(g^b)^a，Bob算(g^a)^b];
F --> G[共享秘密g^ab];
G --> H[结束];
3. 量子密钥分发的理解
大多数广泛使用的经典密码学算法都基于攻击者由于计算能力限制而难以解决复杂数学问题的假设。然而，如果有一天能建成足够大的量子计算机，一些量子算法（如Shor的整数分解算法）可能会打破这个假设。
量子密码学的目标是设计新的密码学技术，利用量子力学的特性（如无克隆定理和海森堡不确定性原理）来构建安全系统。因此，与经典密码学不同，量子密码学不需要计算假设来抵御攻击，而是依赖于量子物理定律。
为了解决量子密钥分发问题，已经定义了几个协议，其中最著名的是1984年由Charles H. Bennett和Gilles Brassard提出的BB84协议，以及1991年由Artur Ekert提出的E91协议。这里主要研究BB84协议。
3.1 量子密钥分发协议描述
在量子密钥分发协议中，假设有两个参与方Alice和Bob，他们希望通过量子信道交换信息，以生成一个不被 eavesdropper Eve 窃取的共享秘密。
Alice首先选择一个随机的比特序列，对于每个比特，她随机选择在Hadamard基（$|+\rangle,|-\rangle$）或标准基（$|0\rangle, |1\rangle$）下进行编码，然后将这些量子比特序列发送给Bob。
Bob收到Alice的量子比特后，他独立于Alice随机选择测量基对每个量子比特进行测量，从而得到一个比特序列。理论上，至少一半的比特与Alice的相同，即那些Alice和Bob选择了相同基的比特。另一半在错误的基下测量时会丢失信息，因为它们会随机坍缩到0或1。
在第一次通过量子信道交换后，Alice和Bob共享了一些信息（即他们选择了相同基的比特），但他们需要通过公共信道进行通信，以确定哪些比特是相同的。这个公共信道可能会受到被动 eavesdropper 的监听。
为了验证是否有 eavesdropping 发生，Alice和Bob公开比较他们认为相同的一些比特。这里存在一个权衡：需要透露足够多的比特以增加检测到 eavesdropper 的可能性，同时要尽可能保留更多的共享秘密信息。如果透露的比特中有不同的，他们就知道有人篡改了量子比特，共享比特的保密性已被破坏，于是他们会丢弃这些比特并重新开始整个过程。相反，如果比较结果一致，他们就假设没有 eavesdropper 看到他们交换的数据，剩余未透露的比特构成了他们之间的秘密共享信息，这些比特可以用作一次性密码本密钥，通过公共信道来保护他们的通信。
例如，假设Alice选择了，一个随机的比特序列0011100111001，以及一个随机的基序列SHSSSSSSHHSHS（S对应标准基$|0\rangle, |1\rangle$，H对应Hadamard基$|+\rangle,|-\rangle$）。她将这些比特按照相应的基编码为量子比特后发送给Bob。Bob计算自己的随机基序列HSSSHSHSHSSSS，并使用它来测量收到的量子比特。然后，Alice和Bob公开比较他们的基序列，找出他们认为共享的比特，最后比较其中一些比特以验证是否相同。最终，剩余的比特11110构成了他们可以用于后续通信的共享信息。
以下是该过程的表格示例：
| 步骤 | Alice比特序列 | Alice基序列 | Bob基序列 | 共享比特 | 验证比特 | 最终共享信息 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 操作 | 0011100111001 | SHSSSSSSHHSHS | HSSSHSHSHSSSS | 部分比特 | 部分共享比特 | 11110 |
在理论上，除了 eavesdropper 的干扰，量子传输是完美的，但在实际情况中并非如此。在现实生活中，Alice和Bob应该在量子密钥分发协议之上使用纠错方法，以确保共享密钥的完整性。
3.2 在Silq中实现量子密钥分发
下面是在Silq中实现量子密钥分发的简单示例，其中两个参与方Alice和Bob通过量子信道共享一些秘密信息，并检查是否有 eavesdropper 干扰他们的通信。
为了生成随机的比特和基序列，使用辅助函数rand来生成随机比特，其定义为对$H|0\rangle$进行测量，因此会随机输出0或1：
def rand(){
return measure(H(false));
}
3.2.1 准备状态（Alice）
量子密钥分发过程从Alice随机选择比特和基并生成要发送给Bob的量子比特开始。这一步在prepareState函数中实现，该函数接受一个整数$n \in \mathbb{N}$作为输入，返回Alice选择的n个比特和基的随机序列，以及她发送给Bob的相应量子比特。
def prepareState(n:!⊕ ) {
bitsA := 0:!int[n];
basesA := 0:!int[n];
for i in [0..n){
bitsA[i] = rand();
basesA[i] = rand();
}
qubitsA := bitsA:int[n];
for i in [0..n){
if basesA[i] {qubitsA[i] = H(qubitsA[i]);}
}
return (bitsA, basesA, qubitsA);
}
这里记录了Alice生成的比特和基，以便后续与Bob生成的进行比较。
3.2.2 测量量子比特（Bob）
Alice发送量子比特给Bob后，Bob需要在随机基下测量这些量子比特以获得自己的初始比特版本。这在measureB函数中实现，该函数接受Alice发送的n位整数形式的量子比特作为输入，返回Bob选择的随机基和相应测量得到的经典n位整数比特。
def measureB[n:!ℕ ](qubitsA:int[n]) {
basesB := 0:!int[n];
for i in [0..n){
basesB[i] = rand();
if basesB[i] {qubitsA[i] := H(qubitsA[i]);}
}
bitsB := measure(qubitsA);
return (bitsB, basesB);
}
此时，我们有了Alice选择的原始比特和基，以及Bob选择的基和他计算得到的比特。接下来，通过实现双方的公共讨论来生成安全的共享秘密。
3.2.3 比较基
首先，Alice和Bob需要知道他们共享的哪些比特是相同的，这些比特对应于Bob猜对基的情况。因此，实现了compareBases函数，该函数接受双方的基序列作为输入，返回它们一致的索引作为经典n位整数，同时返回共享信息的数量（即Alice和Bob选择相同基的比特数）。
def compareBases[n:!ℕ ](basesA:!int[n], basesB:!int[n]) {
indices := 0:!int[n];
nInfo := 0:!ℕ ;
indices = ~(basesA ⊕ basesB);
for i in [0..n) {nInfo+=indices[i];}
return (indices, nInfo);
}
共享比特数在nInfo变量中计算，通过对所有索引求和得到：基不同时为0，相同时为1。后续在确定需要透露多少比特以检测 eavesdropper 时会用到这个值。
3.2.4 计算共享信息
在计算出Alice和Bob基一致的索引后，需要保留相应的比特并丢弃其他比特，因为在错误基下测量的比特已失去价值。
首先实现computePotentialSharedInfo函数，该函数接受匹配基的数量nInfo、其索引以及Alice和Bob的比特序列作为输入，返回双方的潜在共享信息，以nInfo位的经典整数形式表示。
def computePotentialSharedInfo[n:!ℕ ](
indices:!int[n], nInfo:!ℕ ,
bitsA:!int[n], bitsB:!int[n]) {
infoA := 0:!int[nInfo];
infoB := 0:!int[nInfo];
count := 0:!ℕ ;
i := 0:!ℕ ;
while (count < nInfo) {
if indices[i] {
infoA[count] = bitsA[i];
infoB[count] = bitsB[i];
count+=1;
}
i+=1;
}
return (infoA, infoB);
}
然后，需要一个函数来实现Alice和Bob牺牲一些共享比特，以检查它们是否确实相同，以及在传输过程中是否有 eavesdropper 干扰。这通过checkEavesdropper函数实现，该函数接受要保留为秘密的比特数nSharedBits以及两个假定共享信息的整数作为输入，返回未透露的比特索引以及在比较部分信息比特时是否检测到 eavesdropper。
def checkEavesdropper[n:!ℕ ](nSharedBits:!ℕ ,
infoA:!int[n], infoB:!int[n]) {
bitsRevealed := 0:!ℕ ;
noE := true;
count := 0:!ℕ ;
i := 0:!ℕ ;
notAlreadyChecked := 2^n - 1 coerce !int[n];
while (bitsRevealed < n - nSharedBits) {
i = uniformInt(n);
if notAlreadyChecked[i] {
noE &= (infoA[i] == infoB[i]);
notAlreadyChecked[i] = false;
bitsRevealed+=1;
}
}
return (notAlreadyChecked, noE);
}
最后，使用这两个函数实现computeSharedInfo函数，该函数接受Alice和Bob的比特序列、一致基的数量及其索引，以及过程结束时要保留为秘密的比特数nSharedBits作为输入，输出最终的秘密共享信息（以nSharedBits位的整数形式）以及是否没有 eavesdropping 的布尔值noE。
def computeSharedInfo[n:!ℕ ](bitsA:!int[n], bitsB:!int[n],
indices:!int[n],
nInfo:!ℕ , nSharedBits:!ℕ ) {
(infoA, infoB) := computePresumablySharedInfo(indices,
bitsA, bitsB, nInfo);
(notAlreadyChecked, noE) := checkEavesdropper(infoA,
infoB, nSharedBits);
sharedInfo := 0:!int[nSharedBits];
count := 0:!ℕ ;
i := 0:!ℕ ;
while (count < nSharedBits) {
if notAlreadyChecked[i] {
sharedInfo[count] = infoA[i];
count+=1;
}
i+=1;
}
return (sharedInfo, noE);
}
3.3 实现量子密钥分发过程
量子密钥分发过程在qkd函数中实现，该函数接受一个模拟从Alice到Bob的量子比特传输（可能受到 eavesdropper 干扰）的信道作为输入。
def qkd[n:!ℕ ](channel: int[n] !→ int[n]){
(bitsA, basesA, qubitsA) := prepareState(n);
qubitsA := channel(qubitsA);
(bitsB, basesB) := measureB(qubitsA);
(indices, nInfo) := compareBases(basesA, basesB);
nSharedBits := floor((2/3)*nInfo) coerce !ℕ ;
(sharedInfo, noE) := computeSharedInfo(indices, bitsA,
bitsB, nInfo, nSharedBits);
return (noE, nSharedBits);
}
3.4 测试量子密钥分发实现
为量子密钥分发实现定义了两个测试：
-
testQKDnoE
：在这个测试中，没有 eavesdropping。信道函数定义为恒等函数，不修改量子比特。因此，断言过程结束后布尔值noE为真，变量nSharedBits是Alice和Bob最终共享的秘密密钥的大小。经计算，其值等于双方选择的基的数量的三分之二，因为剩余的三分之一用于检查是否有 eavesdropper。
def testQKDnoE() {
n := 10;
channel := λ (b:int[n]). b;
(noE, nSharedBits) := qkd[n](channel);
assert(noE);
print(noE, nSharedBits);
}
- testQKDE ：在这个测试中，信道定义为对所有量子比特应用Hadamard变换的函数，模拟一个在传输过程中拦截量子比特、在Hadamard基下测量并发送修改后的量子比特给Bob的 eavesdropper。可以验证，大多数情况下noE会被设置为false，因为当Alice和Bob比较他们的一些共享比特时，很可能会检测到 eavesdropper 的存在。但检测概率并非100%，因为处理的比特数量相对较少，即使 eavesdropper 获得了信息，被检查的比特也有可能相同。如果增加交换的比特数量，Bob猜对基的次数会更多，双方的共享信息会更多，用于检查 eavesdropper 的透露比特也会更多，从而降低 eavesdropper 不被发现的可能性。
def testQKDE() {
n := 10;
channel := λ (b:int[n]){for i in [0..n) {b[i] := H(b[i])};
通过以上内容，我们详细了解了古典密码学中的各种加密算法，以及量子密码学中的量子密钥分发协议及其在Silq中的实现和测试方法。这些技术在保障信息安全方面起着至关重要的作用。
古典与量子密码学技术全解析
4. 古典与量子密码学技术总结与展望
古典密码学和量子密码学在信息安全领域都有着不可替代的作用。古典密码学经过长期的发展，已经形成了一套完整的体系，对称加密和非对称加密算法在不同的场景下发挥着重要作用。然而，随着计算技术的不断发展，特别是量子计算机的潜在威胁，古典密码学面临着新的挑战。
量子密码学则利用量子力学的特性，为信息安全提供了一种全新的解决方案。量子密钥分发协议，如BB84协议，通过量子信道实现了密钥的安全分发，从根本上保证了通信的安全性。
4.1 古典密码学的优势与局限
-
优势
- 成熟的技术体系 ：对称加密和非对称加密算法已经经过了多年的研究和实践，具有较高的可靠性和稳定性。
- 广泛的应用场景 ：在各种信息系统中都有广泛的应用，如电子商务、网络通信等。
- 高效的计算性能 ：对称加密算法的计算速度快，能够满足大规模数据加密的需求。
-
局限
- 依赖计算假设 ：大多数古典密码学算法的安全性依赖于攻击者计算能力的限制，一旦量子计算机技术取得突破，这些算法可能会被破解。
- 密钥管理困难 ：对称加密需要安全地交换密钥，非对称加密的密钥生成和管理也较为复杂。
4.2 量子密码学的优势与挑战
-
优势
- 基于物理定律 ：量子密码学的安全性基于量子力学的基本原理，如无克隆定理和海森堡不确定性原理，不依赖于计算假设，具有更高的安全性。
- 可检测窃听 ：在量子密钥分发过程中，如果存在窃听行为，会被立即检测到，保证了密钥的安全性。
-
挑战
- 技术实现困难 ：量子通信需要高精度的设备和复杂的技术，目前的技术水平还存在一定的局限性。
- 成本较高 ：量子通信设备的研发和维护成本较高，限制了其大规模应用。
4.3 未来发展趋势
未来，古典密码学和量子密码学将相互补充，共同保障信息安全。在短期内，古典密码学仍将是主流的加密技术，但随着量子计算机技术的发展，量子密码学的应用将逐渐增加。
为了应对量子计算机的威胁，研究人员正在积极探索后量子密码学，即设计能够抵抗量子计算机攻击的密码算法。同时，量子密码学也在不断发展，新的量子密钥分发协议和技术将不断涌现，提高量子通信的效率和可靠性。
以下是古典密码学和量子密码学的对比表格：
| 类别 | 安全性基础 | 密钥管理 | 计算性能 | 应用场景 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 古典密码学 | 计算假设 | 复杂 | 高效 | 广泛 |
| 量子密码学 | 物理定律 | 相对简单 | 目前较低 | 对安全性要求极高的场景 |
5. 密码学技术在实际应用中的注意事项
在实际应用中，无论是古典密码学还是量子密码学，都需要注意以下几点：
5.1 密钥管理
- 密钥生成 ：密钥的生成应该使用安全的随机数生成器，确保密钥的随机性和不可预测性。
- 密钥存储 ：密钥应该安全地存储，避免泄露。可以使用硬件安全模块（HSM）等设备来存储密钥。
- 密钥分发 ：密钥的分发应该通过安全的渠道进行，对称加密需要确保密钥的安全交换，非对称加密需要确保公钥的真实性。
5.2 算法选择
- 根据应用场景选择 ：不同的应用场景对安全性和性能的要求不同，应该根据实际情况选择合适的加密算法。
- 关注算法的安全性 ：随着技术的发展，一些加密算法可能会被破解，应该关注算法的安全性，及时更新算法。
5.3 系统的完整性和可用性
- 防止篡改 ：在加密过程中，应该确保数据的完整性，防止数据被篡改。可以使用哈希函数等技术来验证数据的完整性。
- 保证可用性 ：加密系统应该保证数据的可用性，避免因为加密和解密过程导致系统性能下降或数据丢失。
以下是密码学技术应用的流程图：
graph TD;
A[确定应用场景] --> B[选择加密算法];
B --> C[生成密钥];
C --> D[密钥存储];
D --> E[密钥分发];
E --> F[数据加密];
F --> G[数据传输];
G --> H[数据解密];
H --> I[验证数据完整性];
I --> J[使用数据];
6. 总结
密码学是信息安全的核心技术，古典密码学和量子密码学各有优劣。在实际应用中，应该根据具体的需求和场景，合理选择加密算法和技术，确保信息的安全性、完整性和可用性。
随着技术的不断发展，密码学也将不断创新和进步。我们需要密切关注密码学领域的最新动态，积极探索新的加密技术和方法，以应对日益复杂的信息安全挑战。
同时，我们也应该加强对密码学知识的学习和研究，提高自身的信息安全意识和能力，共同构建一个安全、可靠的信息社会。
希望通过本文的介绍，能够让读者对古典密码学和量子密码学有一个更深入的了解，为信息安全领域的发展贡献自己的力量。
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