16、数值积分方法：从基础到自适应应用

数值积分方法：从基础到自适应应用

1. 龙格 - 库塔方法概述

在数值积分领域，龙格 - 库塔方法是求解常微分方程初值问题的重要工具。以冲击点坐标 $\theta$ 的估计为例，利用泰勒级数的前两项，可得到 $\theta(1000 + \Delta t)$ 的近似值：
$\theta(1000 + \Delta t) = \theta(1000) + \theta’(1000)\Delta t$
$= 1.0083 + (1.1605 \times 10^{-3})(34.184)$
$= 1.0480 \text{ rad} = 60.00^{\circ}$

2. 龙格 - 库塔方法的问题集

以下是一系列使用龙格 - 库塔方法求解的问题：
1. 求解一阶常微分方程 ：给定 $y’ + 4y = x^2$，$y(0) = 1$，使用二阶龙格 - 库塔方法的两步计算 $y(0.03)$，并与解析解比较。
2. 使用四阶龙格 - 库塔方法求解问题 1 ：用一步四阶龙格 - 库塔方法求解上述问题。
3. 欧拉方法积分 ：对 $y’ = \sin y$，$y(0) = 1$，从 $x = 0$ 到 $0.5$ 用欧拉方法积分，步长 $h = 0.1$，并与示例结果比较。
4. 验证微分方程的解 ：验证 $y’ = y^{1/3}$，$y(0) = 0$ 有两个解 $y = 0$ 和 $y = (2x/3)^{3/2}$，并分析不同初始条件下数值积分的结果。