机器学习笔记之隐马尔科夫模型(一)

隐马尔科夫模型

1.1 隐马尔科夫模型定义

隐马尔科夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔科夫链随机生成的状态序列，称为状态序列（state sequence）；每个状态生成一个观测，而由此产生的观测的随机序列，称为观测序列（observation sequence）。序列的每个位置又可以看做是一个时刻。

隐马尔科夫模型由初始概率分布，状态转移概率分布以及观测概率分布确定。隐马尔科夫模型的形式定义如下：

设${Q}$是所有可能的状态集合，${V}$是所有可能的观测集合。

$Q$ = $\{q_1,q_2,\cdots,q_N\}$， $V = \{v_1,v_2,\cdots,v_M\}$

其中，N是可能的状态数，M是可能的观测数。

$I$是长度为$T$的状态序列，$O$是对应的观测序列。

$I$ = $(i_1,i_2,\cdots,i_T)$ , $O$ = $(o_1,o_2,\cdots,o_T)$

$A$是状态转移概率矩阵：

$$A = [a_{ij}]_{N\times N}$$
其中，$a_{ij} = P(i_{t+1} = q_j | i_t = q_i)$，$i = 1,2,\cdots,,N; j = 1,2,\cdots,N$ 是在时刻$t$处于状态$q_i$的条件下在时刻$t+1$转移到状态$q_j$的概率。

$B$是观测概率矩阵：

$$B = [b_j(k)]_{N\times N}$$
其中 $b_j(k) = P(o_t = v_k | i_t = q_j)$, $k = 1,2,\cdots,M; j = 1,2,\cdots,N$是在时刻$t$处于状态$q_j$的条件下生成的观测$v_k$的概率。

$\pi$ 是初始状态概率向量：

$$\pi = (\pi_i)$$
其中，$\pi_i = P(i_1 = q_1)$, $i = 1,2,\cdots,N$是时刻$t = 1$处于状态$q_i$的概率。

隐马尔科夫模型由初始的状态概率向量$\pi$，装填转移概率矩阵$A$和观测概率矩阵$B$决定，$\pi$ 和 $A$决定状态序列，$B$决定观测序列。因此，隐马尔科夫模型$\lambda$可用三元符号 $\lambda = (A,B,\pi)$来表示。$A,B,\pi$称为隐马尔科夫模型的三要素。

状态转移概率矩阵$A$与初始状态概率向量$\pi$确定了隐藏的马尔科夫链，生成不可观测的状态序列。观测概率矩阵$B$确定了如何从状态生成观测，与状态序列综合确定如何产生观测序列。

从上面定义可知，隐马尔科夫模型做了两个基本的假设

• 齐次马尔科夫性假设，即假设隐藏的马尔科夫链在任意时刻$t$的状态只依赖于其前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关，也与时刻$t$无关
  

  $$P(i_t | i_{t-1},o_{t-1},\cdots,i_1,o_1) = P(i_t | i_{t-1}), t = 1,2,\cdots,T$$

  • 观测独立性假设，即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔科夫链的状态，与其他观测及状态无关。
    

    $$P(o_t | i_T,o_T,\cdots,i_1,o_1) = P(o_t|i_t)$$

  隐马尔科夫模型可以用于标注，这时候状态对应着标记，标注问题是给定观测的序列预测其对应的标记序列。可以假设标注问题的数据是由隐马尔科夫模型生成的，这样就可以利用隐马尔科夫模型的学习与预测算法进行标注。

  1.2 观测序列的生成过程

  将一个长度为$T$的观测序列$O = (o_1,o_2,\cdots,o_T)$的生成过程描述如下：

  输入：隐马尔科夫模型$\lambda = (A,B,\pi)$,观测序列长度$T$;
  输出：观测序列$O = (o_1,o_2,\cdots ,o_T)$

  1. 按照初始状态分布$\pi$生成状态$i_1$
  2. 令 $t = 1$
  3. 按照状态$i_t$的观测概率分布$b_{ij}(k)$生成$o_t$
  4. 按照状态$i_t$的状态转移概率分布$\{a_{i_t,i_{t+1}}\}$产生状态$i_{t+1}, i_{t+1} = 1,2,\cdots,N$
  5. 令 $t = t+1$; 如果 $t < T$ 转第3步，否则终止

  1.3 隐马尔科夫模型的三个基本问题

  1. 概率计算问题. 给定模型$\lambda = (A,B,\pi)$和观测序列$O = (o_1,o_2,\cdots,o_T)$，计算在模型$\lambda$下观测$O$出现的概率$P(O|\lambda)$
  2. 学习问题. 已知观测序列$O=(o_1,o_2,\cdots,o_T)$, 估计模型$\lambda = (A,B,\pi)$参数，使得在该模型下的观测序列概率$P(O|\lambda)$最大，即用极大似然估计的方法估计参数
  3. 预测问题，也称为解码(decoding)问题，已知模型$\lambda = (A,B,\pi)$和观测序列$O = (o_1,o_2,\cdots,o_T)$,求对给定观测序列条件概率$P(I|O)$最大的状态序列 $I = (i_1,_2,\cdots,i_T)$, 即给定观测序列，求最有可能的对应的状态序列。