[SMOJ1724]删边

题目描述

一个无向图，有$N$个点，$M$条边。无向图保证是联通图。记$dis[i][j]$表示结点$i$到结点$j$的最短路径。记$sum$为所有$dis[i][j]$的总和，其中 $1\leq i\leq N$，$1\leq j\leq N$。
假如删除某条边后，能使得$sum$增加，那么该边就是“重要边”。注意：如果删除某条边后，某结点$i$和结点$j$不联通了，那么$dis[i][j]=dis[j][i]=\infty$。
还有一个注意的地方：这里的删除边只是假设删除，纯粹是为了计算该边是否是“重要边”，并不是真的删除。

输入格式 1724.in

第一行，两个整数。 $N$ 和 $M$。 $1 \leq N \leq 300$， $1 \leq M \leq 3000$。
接下来有$M$行，每行两个整数: $a$,$b$，表示结点$a$和$b$之间有一条长度是1的双向边。$1 \leq a,b\leq N$ 。

输出格式 1724.out

从小到大输出所有“重要边”的序号。其中边的序号是根据输入数据的次序从1至$M$进行编号的。

输入样例 1724.in

4 6
1 2
2 3
3 4
1 4
1 3
4 1

输出样例 1724.out

1
2
3
5

数据范围

对于20%的数据，$1 \leq N \leq 50$, $1 \leq M \leq 1000$

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这题有点坑，一开始我还想着先跑 Floyd 维护任意两点距离，枚举去掉的边，再用类似 SPFA 的方法修改它们会影响到的点。然而其实并不需要。

后来我根据样例想了一种神奇的水法：统计重边。如果有重边，那么相同的这些边都不是重要边，剩下的就都是重要边。一交居然 AC 了。仔细想想，其实不难证明。

考虑到每条边的长度固定为1，我们知道，对于任意点对 $(x,y)$，他们的距离会被修改，当且仅当之前的最短路当中经过的边被删去，或他们之前没有边相连，而现在直接连了一条边。此题当中只有删边，因此不用考虑后一种情况。

而且我们知道，删边是分别单独进行的，因此只需分两类讨论：对于有重边的边，将其去掉之后不会受到任何影响；对于单独的边 $(x,y)$，去掉之后，结点 $x$ 和 $y$ 没有边相连了，只能绕路走；而其他结点可能也会因此要绕路，因此就会使总和增加，所以该边是重要边。

参考代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 300 + 10;
const int maxm = 3e3 + 10;

int n, m;
int a[maxm], b[maxm];
int g[maxn][maxn];

int main(void) {
    freopen("1724.in", "r", stdin);
    freopen("1724.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
        ++g[min(a[i], b[i])][max(a[i], b[i])];
    }
    for (int i = 0; i < m; i++)
        if (g[min(a[i], b[i])][max(a[i], b[i])] == 1) printf("%d\n", i + 1);
    return 0;
}