[图论]删边(normal)

题目描述
连通图是指任意两个顶点都有路径可互相到达的图
读入一个无向连通图,输出最多能删除掉多少条边,使这个图仍然连通.
Input
第一行为图的顶点数N(1<=N<=100)和边数M,用一个空格隔开,图中的顶点用1到N的整数标号.接下来的M行,每行两个数V1,V2表示一条边.V1,V2用一个空格隔开,表示这条边所连接的顶点的标号(V1<>V2),同一条边不会重复出现!
Output
输出最多能删除掉的边数.

分析
因为它是一个无向连通图,所以它的边数数量(最少边数情况)肯定为——定点数量+1
所以便可轻易得知:最多能删掉的变数为
边数数量-定点数量+1

#include <cstdio>
using namespace std;
int i,j;
int main()
{
    scanf("%d%d",&i,&j);
    printf("%d",j-i+1);
}
<think>好的,我需要回答用户关于“最大权值”的问题。首先,用户提到的这个术语我不太熟悉,可能需要先理解其可能的含义。根据图论中的常见概念,最大权值可能是指在删除后使得某种条件满足的情况下,被删除的权值之和最大。或者可能是在某种生成树或子图中,删除使得总权值最大。首先,参考用户提供的引用内容。引用[1]提到了拓扑排序,引用[2]和[3]涉及邻接矩阵和最小生成树。用户的问题可能与生成树相关,比如在构造最小生成树的过程中,可能需要删除某些,而最大权值可能指的是这些被删除的权值总和的最大化。或者,可能是在某些约束下,删除使得剩余图满足某种性质,同时被的权值之和最大。例如,在最小生成树算法中,Kruskal或Prim算法会选择权值最小的来构建树,同时排除其他。如果反过来,考虑被排除的的最大总权值,这可能就是最大权值。也就是说,当构造最小生成树时,删除的总权值最大,这样剩下的权值之和最小,而被去的的总和就是最大的。这可能是一种理解方式。另一种可能是,在图分割问题中,需要删除使得图分成特定的子图,而删除的权值之和要最大,这可能涉及最大流最小割定理,但这里用户提到的是“最大权值”,所以可能更侧重于删除的总权值最大化,同时满足某种条件,比如图不再连通,或者形成生成树。需要验证这个思路是否正确。比如,在构造最小生成树时,删除的总权值是否为最大可能。因为最小生成树包含的权值之和最小,那么被删除权值之和应该是最大的。因此,最大权值可能等于所有权总和减去最小生成树的权值和。这种情况下,算法可以通过计算最小生成树,然后用总权减去最小生成树的权值来得到最大权值。 例如,假设图的总权为$S$,最小生成树的权值为$MST$,那么最大权值就是$S- MST$。这种情况下,算法就是计算最小生成树,然后做这个减法。这可能就是用户所指的概念。 另一个可能的场景是,在确保图保持连通的前提下,删除某些使得被的权值之和最大。但这种情况可能不太常见,因为通常删除而不破坏连通性的话,可能无法最大化删除的权值,反而需要找到冗余的高权。不过这可能涉及到生成树中的替换,比如找到生成树后,删除非树中的高权,但此时这些可能已经被排除在生成树之外了。根据用户提供的引用[3],是关于最小生成树的问题,输入是邻接矩阵的下三角部分,求权值之和。这可能支持前面的思路,即最大权值与最小生成树有关。因此,可能的算法是:1.计算图的所有的权值总和$S$。 2.计算图的最小生成树权值$MST$。3.最大权值为$S- MST$。这种情况下,被删除是那些不在最小生成树中的,而这些的权值之和最大,因为最小生成树选择了最小的权,剩下的权之和自然最大。例如,假设图中有权为1,2,3,4的四条,最小生成树选择了1,2,3,总为6。总权是1+2+3+4=10,那么最大权值就是10-6=4,即删除权值为4的。但实际可能更复杂,因为可能生成树选择的数不一定刚好是总数减去(n-1)条,具体取决于图的连接情况。不过,这可能是一个合理的解释。因此,用户的问题可能是在寻找这样的概念,即通过最小生成树来计算最大权值。接下来需要确认是否有这样的术语或算法被正式命名。可能还需要考虑其他情况,比如在删除后使图不连通,此时的最大割权值,但这种情况通常属于最大割问题,但最大割通常是指分割顶点集,使得割的权值最大,而不是删除使图不连通。这可能与用户的问题不同。 总结:最大权值可能是指在构造最小生成树时,被排除的的权值总和的最大值,即总权减去最小生成树的权值。算法即为计算最小生成树,然后做减法。接下来需要组织回答,包括解释概念、算法步骤,可能举例,并引用用户提供的参考文献中的相关内容。例如,引用[3]提到了最小生成树的权值之和,这可能与这里的算法相关。 同时,根据用户要求,生成相关问题,比如如何计算总权,或者如何应用于不同场景等。</think>### 最大权值概念与算法解析 #### 概念定义 **最大权值**指在图论中,通过删除特定集使得剩余图满足特定条件(如保持连通性)时,被删除的权值之和达到最大值。最典型的场景是**基于最小生成树(MST)的反向推导**:若删除所有不在最小生成树中的,则这些被的权值之和即为最大权值。此时,该值等于**原图所有权总和**减去**最小生成树权值和**[^3]。 #### 算法步骤 1. **计算图的总权**: 遍历图中所有,累加其权值得到总和$S$。例如,若权为$w_1, w_2, \dots, w_m$,则: $$ S = \sum_{i=1}^m w_i $$ 2. **构造最小生成树**: 使用Kruskal或Prim算法生成MST,并计算其权值和$MST$。例如,Kruskal算法通过贪心选择权值最小的并避免环路: ```python def kruskal(graph): parent = {} def find(u): if parent[u] != u: parent[u] = find(parent[u]) return parent[u] edges = sorted(graph.edges, key=lambda x: x[2]) mst_weight = 0 for u, v, w in edges: if find(u) != find(v): mst_weight += w parent[find(u)] = find(v) return mst_weight ``` 3. **计算最大权值**: 最大权值为: $$ \text{Max\_Delete\_Weight} = S - MST $$ #### 示例 假设带权无向图的权为$\{ (1,2,3), (1,3,5), (2,3,4), (3,4,2) \}$,总权$S=3+5+4+2=14$。其最小生成树包含$\{ (1,2,3), (3,4,2), (2,3,4) \}$,权值和$MST=3+4+2=9$。则最大权值为$14-9=5$,对应被删除为$(1,3,5)$。 #### 应用场景 1. **网络优化**:在通信网络中,通过删除冗余高权降低成本。 2. **资源分配**:在确保连通性的前提下,最大化释放高权资源。 --- ### 相关问题 1. 如何高效计算带权图的总权? 2. Kruskal算法与Prim算法在构造最小生成树时的性能差异? 3. 若图中存在负权,最大权值的计算逻辑是否依然成立?
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