最大二分匹配：最大“素数伴侣”问题

    “素数伴侣”：两个自然数的和为素数，则称这两个自然数为“素数伴侣”。现在给定一个数组，内含N<=100个自然数，自然数的范围是[2-30000]，求出从该数组中组合出的“素数伴侣”的最大个数（同一个数的使用不能超过重复出现的次数）。如数组 array[]={5,6,6,13,17}，输出结果是2。

    “素数伴侣”的特点是，成对的两个元素一定在不同的集合当中，即“素数伴侣”的一个元素在奇数集合当中，另一个元素在偶数集合当中。像“素数伴侣”这种，问题的解来自于两个不相交的集合  且求能够匹配的最大个数的问题，是典型的最大二分匹配问题。最大二分匹配一个典型的实际应用是，把一个机器集合L和要同时执行的任务集合R相匹配。

    而最大二分匹配问题是多源多汇问题的一个特例，所以它可以完全使用“多源多汇”问题的流网络的解决方法来解决，其中最关键的环节在于寻找“增广路径”。“多源多汇”问题，一共3个集合，源点集合S，汇点集合D，其它点集合P。最大二分匹配问题没有集合P，只有集合S和集合D。同样，最大二分匹配最关键的环节还是寻找“增广路径”。

    所以，对最大二分匹配问题的理解和掌握，在于寻找“增广路径”，增广路径也是一条从集合S到集合D的路径，但是它可以反向，从而反向调节之前已经找好的路径。我用一张图简单表示一下什么是“增广路径”，如下：

增广路径的特点是，总会使匹配个数增加，如果找不到增广路径，说明匹配个数达到最大。

下面是“素数伴侣”的代码，其中的最大二分匹配的方法的代码是通用的。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
// 判断是否为素数，并将素数存到集合 primes 当中
bool isPrime(int num, set<int>& primes)
{
	if (num % 2 == 0) return false;
	int sq = static_cast<int>(sqrt(num));
	for (int i = 3; i < sq; i += 2)
		if (num % i == 0) return false;
	primes.insert(num);
	return true;
}
// 最大二分匹配
int dfs(vector<vector<int> >& edge, vector<int>& book, vector<int>& match, int u)
{
	for (int i = 0; i < book.size(); i++)
		if (book[i] == 0 && edge[u][i] == 1) {// edge[u][i] == 1 表示存在 u 到 i 的路径（即素数伴侣），book[i] == 0 表示 i 结点 未被访问
			book[i] = 1;// 访问 i 结点，标记为 1
			if (match[i] == -1 || dfs(edge, book, match, match[i])) {// 使用递归的方式寻找增广路径
				match[i] = u;
				match[u] = i;
				return 1;// 找到增广路径，调节之前的路径，并返回 1
			}
		}
	return 0;// 没有找到增广路径，返回 0
}
// 求最大个数的素数对，返回素数对的最大个数
int getPrimePairs(vector<int>& nums)
{
	sort(nums.begin(), nums.end());
	int len = nums.size();
	set<int> primes;// 素数集合
	vector<vector<int> > edge(len, vector<int>(len, 0));// 所有集合S到集合D的所有原始路径，即所有可能的“素数伴侣”
	for (int i = 0; i < len; i++)
		for (int j = i + 1; j < len; j++)
			if (primes.find(nums[i] + nums[j]) != primes.end() || isPrime(nums[i] + nums[j], primes)) {
				edge[i][j] = 1;// == 1 表示 nums[i] 和 nums[j] 构成“素数伴侣”
				edge[j][i] = 1;
			}
	int res = 0;
	vector<int> book(len, 0);// 访问的标记数组
	vector<int> match(len, -1);// 记录匹配的数据，match[i] == -1 表示 i 结点还没有被匹配
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		if (nums[i] % 2 == 1) continue;// 选择偶数集合的元素
		res += dfs(edge, book, match, i);// 找到增广路径 +1，没有找到增广路径 +0
		for (int k = 0; k < len; k++) book[k] = 0;
	}
	return res;
}


int main()
{
	int n, num;
	cin >> n;
	vector<int> nums;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> num;
		nums.push_back(num);
	}
	cout << getPrimePairs(nums) << endl;
	return 0;
}