旋转变换 | 欧拉角的约定与四元数的优势

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旋转变换（一）旋转矩阵

csxiaoshui 原创于 2017-03-27 17:15:37 发布

1. 简介

在计算机图形学中，仿射变换是一类应用广泛的特殊变换，其基本形式包括平移、旋转、缩放与剪切。本文及后续系列文章将重点探讨旋转变换，涵盖二维旋转变换、三维旋转变换及其多种数学表达形式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。

2. 绕原点的二维旋转

二维旋转的关键是围绕某一固定点进行角度偏转，三维旋转则围绕某一固定轴进行。其中，绕坐标原点的二维旋转是最基础的场景，如图所示：

2DRotation

如图所示，点 $v$ 绕原点旋转 $\theta$ 角后得到点 $v^{'}$ 。设点 $v$ 的坐标为 $(x, y)$ ，原点到点 $v$ 的距离为 $r$ ，原点与点 $v$ 构成的向量与 $x$ 轴的夹角为 $\phi$ ，则点 $v$ 的坐标可表示为：
$r\cos\phi, \quad y = r\sin\phi$

点 $v^{'}$ 的坐标 $(x^{'}, y^{'})$ 满足：
$r\cos(\theta + \phi), \quad y' = r\sin(\theta + \phi)$

根据三角函数和角公式展开：
$r\cos\theta\cos\phi - r\sin\theta\sin\phi \\ y' = r\sin\theta\cos\phi + r\cos\theta\sin\phi$

将 $r\cos\phi$ 与 $r\sin\phi$ 代入上式，化简得：
$x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta$

写成矩阵形式为：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

上述推导基于三角函数的基本定义，适用于任意旋转角度（如大于 $180^\circ$ 或负角度），并非局限于图示中的锐角场景。

3. 绕任意点的二维旋转

绕原点的旋转是二维旋转的基础形式，绕任意点的旋转可通过坐标变换转化为绕原点的旋转，具体步骤如下：

将旋转中心平移至坐标原点；
执行绕原点的旋转操作（参考第 2 节）；
将旋转中心平移回原始位置。

2DArbitraryRotate

设平移矩阵为 $T(t_x, t_y)$ （表示沿 $x$ 轴平移 $t_x$ 、沿 $y$ 轴平移 $t_y$ ），则绕任意点的旋转变换可表示为：
$T(t_x, t_y) \cdot R(\theta) \cdot T(-t_x, -t_y) \cdot v$
其中， $v$ 为原始点坐标， $v^{'}$ 为旋转后点坐标， $R(\theta)$ 为绕原点的旋转矩阵。由于采用列向量表示点坐标，矩阵运算遵循左乘规则，先执行平移 $T(-t_x, -t_y)$ 将旋转中心移至原点。

在计算机图形学中，为统一描述平移、旋转、缩放等变换，需引入齐次坐标。二维变换中，齐次坐标采用 $(x, y, w)$ 表示（通常取 $w = 1$ ），通过 3×3 矩阵实现各类变换的统一表达（三维变换则需 4×4 矩阵）。

3.1 二维平移的矩阵表示

如图所示，点 $P (x, y)$ 沿 $x$ 轴平移 $t_x$ 、沿 $y$ 轴平移 $t_y$ 后得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，其坐标关系为：
在这里插入图片描述

$t_x, \quad y' = y + t_y$

采用齐次坐标表示为：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

因此，二维平移矩阵为：
$T(t_x, t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

若平移量为 $t_x, -t_y)$ ，则平移矩阵为：
$T(-t_x, -t_y) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -t_x \\ 0 & 1 & -t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.2 二维旋转矩阵的齐次坐标扩展

将第 2 节中的绕原点旋转矩阵扩展为 3×3 形式，以适配齐次坐标：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

3.3 绕任意点的旋转矩阵推导

结合平移矩阵与旋转矩阵，绕任意点 $t_x, t_y)$ 旋转 $\theta$ 角的复合矩阵为：
$T(t_x, t_y) \cdot R(\theta) \cdot T(-t_x, -t_y)$

代入各矩阵表达式并展开：
$\begin{align*} M &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & -t_x \\ 0 & 1 & -t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & (1-\cos\theta)t_x + t_y\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta & (1-\cos\theta)t_y - t_x\sin\theta \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

4. 三维基本旋转

三维旋转变换可分解为绕三个坐标轴（ $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴）的基本旋转组合，因此需先明确绕单一坐标轴的旋转矩阵。本文采用 OpenGL 标准的右手坐标系，旋转角度的正负遵循右手定则（大拇指指向坐标轴正方向，四指弯曲方向为角度正方向），如图所示：

RightHanderRule

4.1 绕 $x$ 轴的旋转

点 $P (x, y, z)$ 绕 $x$ 轴旋转 $\theta$ 角后得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 。由于旋转过程中 $x$ 坐标保持不变， $y$ 与 $z$ 坐标的变化等价于在 $yoz$ 平面内的二维旋转（ $y$ 轴对应二维旋转的 $x$ 轴， $z$ 轴对应二维旋转的 $y$ 轴），因此：
$\\ y' = y\cos\theta - z\sin\theta \\ z' = y\sin\theta + z\cos\theta$

采用齐次坐标（4×4 矩阵）表示为：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$

4.2 绕 $y$ 轴的旋转

点 $P (x, y, z)$ 绕 $y$ 轴旋转 $\theta$ 角后得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 。旋转过程中 $y$ 坐标保持不变， $x$ 与 $z$ 坐标的变化等价于在 $zo x$ 平面内的二维旋转（ $z$ 轴对应二维旋转的 $x$ 轴， $x$ 轴对应二维旋转的 $y$ 轴），因此：
$x\cos\theta + z\sin\theta \\ y' = y \\ z' = -x\sin\theta + z\cos\theta$

采用齐次坐标（4×4 矩阵）表示为：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$

4.3 绕 $z$ 轴的旋转

点 $P (x, y, z)$ 绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ 角后得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ 。旋转过程中 $z$ 坐标保持不变， $x$ 与 $y$ 坐标的变化等价于在 $x oy$ 平面内的二维旋转，因此：
$x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta \\ z' = z$

采用齐次坐标（4×4 矩阵）表示为：
$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}$

4.4 小结

绕三个坐标轴的旋转矩阵形式具有一致性，其差异源于旋转轴对应的正交平面不同：

绕 $x$ 轴旋转：正交平面为 $yoz$ ，矩阵非对角元素集中在第 2-3 行与第 2-3 列；
绕 $y$ 轴旋转：正交平面为 $zo x$ ，矩阵非对角元素集中在第 1-3 行与第 1-3 列；
绕 $z$ 轴旋转：正交平面为 $x oy$ ，矩阵非对角元素集中在第 1-2 行与第 1-2 列。

若调整坐标向量的书写顺序（如将 $(x, y, z)$ 改为 $(z, y, x)$ ），绕 $y$ 轴的旋转矩阵可与其他两个轴的旋转矩阵在形式上完全统一，其要点均遵循二维旋转矩阵 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ 的结构。

5. 绕任意轴的三维旋转

绕任意轴的三维旋转可通过坐标变换分解为一系列基本旋转操作，具体思路为：将旋转轴平移并旋转至与某一坐标轴（如 $z$ 轴）重合，执行绕该坐标轴的旋转后，再通过逆变换将旋转轴恢复至原始位置。

5.1 问题描述

如图所示，点 $P$ 绕向量 $\boldsymbol{u} = (a, b, c)$ 旋转 $\theta$ 角后得到点 $Q$ ，已知点 $P$ 的坐标与向量 $\boldsymbol{u}$ ，求点 $Q$ 的坐标。

RotateArbitrary

5.2 变换步骤

绕 $x$ 轴旋转 $\alpha$ 角：将向量 $\boldsymbol{u}$ 旋转至 $x oz$ 平面；
绕 $y$ 轴旋转 $-\beta$ 角：将向量 $\boldsymbol{u}$ 旋转至与 $z$ 轴重合；
绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ 角：执行目标旋转操作；
绕 $y$ 轴旋转 $\beta$ 角：步骤 2 的逆变换；
绕 $x$ 轴旋转 $-\alpha$ 角：步骤 1 的逆变换。

5.3 各步骤矩阵推导

5.3.1 步骤 1：绕 $x$ 轴旋转 $\alpha$ 角

设向量 $\boldsymbol{u} = (a, b, c)$ ，其在 $yoz$ 平面的投影为 $(0, b, c)$ ，投影与 $z$ 轴的夹角为 $\alpha$ 。根据三角函数定义：
$\cos\alpha = \frac{c}{\sqrt{b^2 + c^2}}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{b^2 + c^2}}$

对应的旋转矩阵为：
$R_x(\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{c}{\sqrt{b^2 + c^2}} & -\frac{b}{\sqrt{b^2 + c^2}} & 0 \\ 0 & \frac{b}{\sqrt{b^2 + c^2}} & \frac{c}{\sqrt{b^2 + c^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5.3.2 步骤 2：绕 $y$ 轴旋转 $-\beta$ 角

向量 $\boldsymbol{u}$ 经步骤 1 旋转后在 $x oz$ 平面的投影与 $z$ 轴的夹角为 $\beta$ 。根据三角函数定义：
$\cos\beta = \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \quad \sin\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

代入绕 $y$ 轴旋转矩阵并替换 $\theta$ 为 $-\beta$ ，得到：
$R_y(-\beta) = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} & 0 & -\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} & 0 & \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5.3.3 步骤 3：绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ 角

旋转矩阵为：
$R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5.3.4 步骤 4 与 5：逆变换矩阵

步骤 4（绕 $y$ 轴旋转 $\beta$ 角）的矩阵为 $R_y(\beta)$ ，步骤 5（绕 $x$ 轴旋转 $-\alpha$ 角）的矩阵为 $R_x(-\alpha)$ ，二者分别为步骤 2 与步骤 1 矩阵的逆矩阵，仅需将角度替换为相反数即可：
$R_y(\beta) = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} & 0 & \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} & 0 & \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$R_x(-\alpha) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{c}{\sqrt{b^2 + c^2}} & \frac{b}{\sqrt{b^2 + c^2}} & 0 \\ 0 & -\frac{b}{\sqrt{b^2 + c^2}} & \frac{c}{\sqrt{b^2 + c^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5.4 复合旋转矩阵

绕任意轴 $\boldsymbol{u}$ 旋转 $\theta$ 角的复合矩阵为各步骤矩阵的左乘组合（按逆变换顺序排列）：
$M_R = R_x(-\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_z(\theta) \cdot R_y(-\beta) \cdot R_x(\alpha)$

若向量 $\boldsymbol{u}$ 为单位向量（满足 $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ ），复合矩阵可简化为：

$\begin{bmatrix} u^2 + (1 - u^2)\cos\theta & uv(1 - \cos\theta) - w\sin\theta & uw(1 - \cos\theta) + v\sin\theta & 0 \\ uv(1 - \cos\theta) + w\sin\theta & v^2 + (1 - v^2)\cos\theta & vw(1 - \cos\theta) - u\sin\theta & 0 \\ uw(1 - \cos\theta) - v\sin\theta & vw(1 - \cos\theta) + u\sin\theta & w^2 + (1 - w^2)\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

旋转变换（二）欧拉角

csxiaoshui 于 2017-03-28 17:00:56 发布

欧拉角（Euler Angles）是描述三维旋转的常用数学工具，其他表达方式还包括旋转矩阵、四元数、旋转轴-旋转角等。欧拉角的理论基础是欧拉旋转定理，该定理指出：任意三维旋转均可通过三个独立的旋转参数唯一表示。

1. 欧拉角的定义约定

欧拉角的描述缺乏统一标准，不同应用场景中可能采用不同的定义方式。为确保旋转描述的一致性，需明确以下四项约定：

1.1 旋转轴的组合顺序

三维空间中，围绕 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 轴的旋转可形成多种组合顺序，主要分为两类：

Proper Euler 角（经典欧拉角）：旋转轴包含两次同一坐标轴的旋转，剩余一次为其他坐标轴，共 6 种组合： $z$ - $x$ - $z$ 、 $x$ - $y$ - $x$ 、 $y$ - $z$ - $y$ 、 $z$ - $y$ - $z$ 、 $x$ - $z$ - $x$ 、 $y$ - $x$ - $y$ ；
Tait-Bryan 角：旋转轴为三个不同坐标轴的组合，共 6 种组合： $x$ - $y$ - $z$ 、 $y$ - $z$ - $x$ 、 $z$ - $x$ - $y$ 、 $x$ - $z$ - $y$ 、 $z$ - $y$ - $x$ 、 $y$ - $x$ - $z$ 。这类角度也被称为 Cardan 角、航海角（heading-elevation-bank）或姿态角（yaw-pitch-roll）。

两类欧拉角的本质区别在于：Proper Euler 角通过“同一轴两次旋转+另一轴一次旋转”实现三维覆盖，而 Tait-Bryan 角通过“三轴各一次旋转”实现，后者在机器人学、航空航天等领域应用更广泛。

1.2 旋转的参考坐标系

根据旋转轴的参考基准，欧拉角可分为：

外旋（Extrinsic Rotations）：所有旋转均围绕固定坐标系（如世界坐标系）的坐标轴进行，旋转轴方向始终不变；
内旋（Intrinsic Rotations）：每次旋转围绕物体自身坐标系的坐标轴进行，旋转轴方向随物体姿态变化而改变。

结合 1.1 中的 12 种旋转顺序，外旋与内旋可形成 $12 \times 2 = 24$ 种欧拉角定义组合。外旋在计算机图形学、游戏编程中更易理解（统一世界坐标系），内旋则在物理学、刚体动力学中应用较多。

1.3 旋转角度的正负规则

旋转角度的正负由坐标系的左右手定则确定（与坐标系本身的左右手属性无关）：

右手定则：大拇指指向旋转轴正方向，四指弯曲方向为角度正方向；
等价描述：从旋转轴正方向的反方向观察，逆时针旋转为正角度，顺时针旋转为负角度。

PositiveAngle

1.4 旋转角的常用记法

不同领域对欧拉角的三个旋转参数有不同命名，下表列出常见记法对应关系：

顺序	飞行器领域	望远镜领域	符号表示	角速度对应
第一旋转	Heading（航向角）	Azimuth（方位角）	$\theta$	Yaw（偏航）
第二旋转	Attitude（姿态角）	Elevation（仰角）	$\phi$	Pitch（俯仰）
第三旋转	Bank（横滚角）	Tilt（倾斜角）	$\psi$	Roll（横滚）

欧拉角的物理意义示意图如下：

EulerAngle

2. 欧拉角的连续旋转特性

若物体先经过欧拉角 $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 描述的旋转，再经过 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3)$ 描述的旋转，其总效果不能通过直接叠加角度 $(\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \alpha_3+\beta_3)$ 实现。这是因为欧拉角的旋转顺序存在耦合关系，角度叠加不满足线性性。

工程实践中，连续旋转的计算通常采用以下流程：

将两次旋转对应的欧拉角分别转换为旋转矩阵或四元数；
通过矩阵乘法或四元数乘法实现旋转效果的叠加；
（可选）将叠加后的旋转结果转换回欧拉角。

需注意：多次转换可能引入累积误差，因此连续旋转场景中更推荐直接使用旋转矩阵或四元数进行计算，避免频繁的欧拉角转换。

3. 万向节死锁（Gimbal Lock）

3.1 现象描述

万向节死锁是欧拉角的固有缺陷，指旋转过程中因两个旋转轴重合导致丢失一个旋转自由度的现象。这种情况通常发生在第二次旋转角度为 $±90∘ \pm 90^\circ$ （即 $\pi/2$ 弧度）时，此时第三次旋转与第一次旋转的效果完全等价，无法实现三维空间的任意姿态调整。

3.2 典型示例

3.2.1 二维万向节死锁

用固定望远镜跟踪飞机时，望远镜可通过水平（方位角）和垂直（仰角）旋转调整指向。当飞机飞至望远镜正上方并转向 $90^\circ$ 飞行时，仅通过水平旋转无法继续跟踪，必须中断连续调整并重新设定垂直角度，此时望远镜的旋转自由度被限制为一维，即出现万向节死锁。

3.2.2 三维万向节死锁

以航空航天领域的姿态角（yaw-pitch-roll）为例：

初始状态：飞机水平飞行，pitch（俯仰角）= $0^\circ$ ；
当 pitch 旋转至 $90^\circ$ 时，飞机机头垂直向上，此时 yaw（偏航角）对应的旋转轴与 roll（横滚角）对应的旋转轴重合；
后续调整 yaw 或 roll 时，两者效果完全一致，飞机无法实现绕原偏航轴的旋转，即丢失一个自由度。

万向节死锁

3.3 数学本质

以 Tait-Bryan 角 $z$ - $y$ - $x$ 顺序（外旋）为例，其对应的旋转矩阵为：
$R_z(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_x(\gamma)$

当 $\beta = \pi/2$ 时， $R_y(\pi/2) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，代入旋转矩阵展开后得到：
$\begin{bmatrix} 0 & \sin(\alpha-\gamma) & \cos(\alpha-\gamma) \\ 0 & \cos(\alpha-\gamma) & -\sin(\alpha-\gamma) \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

可见，矩阵中仅包含 $\alpha-\gamma$ 这一组合项，调整 $\alpha$ 或 $\gamma$ 对最终旋转效果的影响完全等价，即两个角度的自由度相互抵消，导致旋转矩阵无法表示三维空间的任意姿态，从而出现万向节死锁。

4. 欧拉角的应用注意事项与替代方案

4.1 应用建议

若必须使用欧拉角，需注意以下两点：

严格统一欧拉角的定义约定（旋转顺序、参考坐标系、角度正负规则），避免不同模块间的描述冲突；
根据应用场景选择合适的旋转顺序，尽量避开易触发万向节死锁的角度范围（如避免第二次旋转角度接近 $±90∘ \pm 90^\circ$ ）。

4.2 替代方案

为解决欧拉角的耦合性与万向节死锁问题，推荐采用以下更优的旋转描述方式：

旋转矩阵：无万向节死锁问题，支持直接的旋转叠加计算，适用于大多数工程场景；
四元数：仅需 4 个参数即可描述三维旋转，计算效率高于旋转矩阵，且无万向节死锁，是机器人学、计算机视觉中的首选方案；
旋转轴-旋转角：通过一个单位向量（旋转轴）和一个角度（旋转量）描述旋转，直观且无自由度丢失，适用于需要明确旋转方向的场景。

欧拉角 (Euler Angle)

thefist11 原创于 2022-08-30 06:11:09

本文介绍了在三维空间中使用欧拉角表示物体朝向的方法，包括俯仰角、偏航角和滚转角的数学计算过程及应用实例。

1. 定义

在三维空间中，通过指定与三个旋转轴相关联的三个角度，可以最小参数化地表示任意方向。具体而言，依次围绕三个轴旋转三次后得到的三个值，可用于表示物体的朝向。需注意以下两点：

轴的旋转顺序并无严格要求。
每次旋转后，围绕的轴会发生变化。

如图所示，分别绕原坐标系的 $z$ 轴（蓝色）、一次旋转后的 $x$ 轴（绿色）以及两次旋转后的 $z$ 轴（红色）旋转，最终生成的红色坐标系即表示目标方向。

1.1 数学计算

新生成的坐标系 $(X, Y, Z)$ 可通过原坐标系 $(x, y, z)$ 乘以旋转矩阵得到。
$\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$\begin{aligned} M &= \text{Rot}(z, \gamma) \cdot \text{Rot}(x, \beta) \cdot \text{Rot}(z, \alpha) \\ &= \begin{pmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & -\sin \beta \\ 0 & \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & \sin \beta \sin \gamma \\ \cos \alpha \sin \gamma + \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma & -\sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma & -\sin \beta \cos \gamma \\ \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix} \end{aligned}$

2. 三种欧拉角

欧拉角包括俯仰角（Pitch）、偏航角（Yaw）和滚转角（Roll）。

2.1 俯仰角（Pitch）

设俯仰角为 $\theta$ ，y 值等于 $\sin \theta$
direction.y = sin(glm::radians(pitch)); // 注意先把角度转为弧度

direction.x = cos(glm::radians(pitch));
direction.z = cos(glm::radians(pitch));
2.2 偏航角（Yaw）

设偏航角为 $\phi$ ，则方向向量的计算公式为：
// 计算方向向量的 x 分量
direction.x = cos(glm::radians(pitch)) * cos(glm::radians(yaw));
//译注：direction 表示摄像机的前轴（Front），其方向与本文第一幅图中的第二个摄像机方向向量相反。

// 计算方向向量的 y 分量
direction.y = sin(glm::radians(pitch));

// 计算方向向量的 z 分量
direction.z = cos(glm::radians(pitch)) * sin(glm::radians(yaw));

旋转变换（三）四元数

csxiaoshui 原创于 2017-03-29 11:59:38 发布

1. 简介

四元数（Quaternion）是描述三维旋转的高效数学工具，通过 4 个分量（1 个实部 + 3 个虚部）实现旋转表达，其形式为：
$\quad (s,x,y,z \in \mathbb{R})$
其中虚部满足运算规则：
$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$

四元数的设计灵感源于复数对二维旋转的描述能力，因此先从复数的旋转特性入手理解四元数的本质。

1.1 复数与二维旋转

复数的基本定义为：
$\quad (a,b \in \mathbb{R}, i^2 = -1)$

1.1.1 复数的运算

共轭复数：将虚部取反，记为 $z^* = a - bi$ ；
复数的模： $\sqrt{a^2 + b^2}$ ；
复数乘法： $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ 。

1.1.2 复数的旋转意义

复数可映射到复平面（实轴对应 $x$ 轴，虚轴对应 $y$ 轴），若定义旋转因子：
$\cos\theta + i\sin\theta$
则任意复数 $z = a + bi$ 与 $q$ 相乘的结果为：
$\cdot z = (a\cos\theta - b\sin\theta) + (a\sin\theta + b\cos\theta)i$

写成矩阵形式为：
$\begin{bmatrix} a' \\ b' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$
这与二维旋转矩阵完全一致，说明复数乘法可等价描述复平面内绕原点的旋转。

2. 四元数的定义与运算

复数可描述二维旋转，但直接拓展为“三维复数”（ $z = a + bi + c j$ ）会导致乘法不闭合（运算结果超出三维空间）。威廉·哈密顿（William Hamilton）于 1843 年提出四元数，通过引入第四个分量解决了这一问题，并将公式刻于爱尔兰布鲁姆桥（Broom Bridge）。

2.1 四元数的表示形式

四元数有两种常用表示法：

拆分形式： $\boldsymbol{v}]$ （ $\in \mathbb{R}$ 为实部， $\boldsymbol{v} = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ 为虚部向量）；
完整形式： $q = s + x i + y j + z k$ （ $i, j, k$ 为虚部单位，满足 $i^2=j^2=k^2=-1$ ，且 $ij = k, ji = - k, jk = i, kj = - i, ki = j, ik = - j$ ）。

2.2 四元数的基本运算

以下实现基于四元数类 Quat，其成员 _v[4] 存储 $(x, y, z, w)$ （ $w$ 对应实部 $s$ ）。

2.2.1 加减法

加法：对应分量相加， $q_1 + q_2 = (s_1+s_2, x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$ ；
```
inline Quat operator + (const Quat& rhs) const
{
    return Quat(
        _v[0] + rhs._v[0],
        _v[1] + rhs._v[1],
        _v[2] + rhs._v[2],
        _v[3] + rhs._v[3]
    );
}
```
减法：对应分量相减， $q_1 - q_2 = (s_1-s_2, x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2)$ ；
```
inline Quat operator - (const Quat& rhs) const
{
    return Quat(
        _v[0] - rhs._v[0],
        _v[1] - rhs._v[1],
        _v[2] - rhs._v[2],
        _v[3] - rhs._v[3]
    );
}
```

2.2.2 乘法

四元数乘法遵循多项式展开规则，结合虚部运算规则，最终展开式为：
$\begin{align*} &(s_1+x_1i+y_1j+z_1k)(s_2+x_2i+y_2j+z_2k) \\ =& (s_1s_2 - x_1x_2 - y_1y_2 - z_1z_2) \\ &+ (s_1x_2 + x_1s_2 + y_1z_2 - z_1y_2)i \\ &+ (s_1y_2 - x_1z_2 + y_1s_2 + z_1x_2)j \\ &+ (s_1z_2 + x_1y_2 - y_1x_2 + z_1s_2)k \end{align*}$

实现代码：

inline const Quat operator*(const Quat& rhs) const
{
    return Quat( 
        rhs._v[3]*_v[0] + rhs._v[0]*_v[3] + rhs._v[1]*_v[2] - rhs._v[2]*_v[1],
        rhs._v[3]*_v[1] - rhs._v[0]*_v[2] + rhs._v[1]*_v[3] + rhs._v[2]*_v[0],
        rhs._v[3]*_v[2] + rhs._v[0]*_v[1] - rhs._v[1]*_v[0] + rhs._v[2]*_v[3],
        rhs._v[3]*_v[3] - rhs._v[0]*_v[0] - rhs._v[1]*_v[1] - rhs._v[2]*_v[2] 
    );
}

2.2.3 除法（逆运算）

四元数乘法不满足交换律，因此除法定义为 $q_1 / q_2 = q_1 \cdot q_2^{-1}$ ，其中逆四元数 $q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2}$ （ $q^*$ 为共轭四元数， $q|^2$ 为模的平方）。

实现：

// 共轭四元数（虚部取反）
inline Quat conj () const
{
    return Quat( -_v[0], -_v[1], -_v[2], _v[3] );
}

// 模的平方
value_type length2() const
{
    return _v[0]*_v[0] + _v[1]*_v[1] + _v[2]*_v[2] + _v[3]*_v[3];
}

// 逆四元数
inline const Quat inverse () const
{
    return conj() / length2();
}

// 除法
inline const Quat operator/(const Quat& denom) const
{
    return ( (*this) * denom.inverse() );
}

3. 四元数与三维旋转

四元数是三维旋转的最优描述方式之一，无万向节死锁问题，且插值平滑、计算高效。其思想是：任意三维旋转可表示为绕单位向量 $\boldsymbol{u}$ 旋转 $\theta$ 角，对应的四元数由旋转轴和旋转角构造。

3.1 绕任意轴旋转的四元数构造

设旋转轴为单位向量 $\boldsymbol{u} = (u_x, u_y, u_z)$ ，旋转角为 $\theta$ ，则对应的四元数为：
$\cos\frac{\theta}{2} + (u_xi + u_yj + u_zk)\sin\frac{\theta}{2}$

实现代码：

void makeRotate(value_type angle, value_type x, value_type y, value_type z)
{
    const value_type epsilon = 1e-7;
    value_type length = sqrt(x*x + y*y + z*z);
    if (length < epsilon)
    {
        *this = Quat(); // 零旋转
        return;
    }

    value_type inversenorm = 1.0 / length; // 单位化旋转轴
    value_type coshalfangle = cos(0.5*angle);
    value_type sinhalfangle = sin(0.5*angle);

    _v[0] = x * sinhalfangle * inversenorm;
    _v[1] = y * sinhalfangle * inversenorm;
    _v[2] = z * sinhalfangle * inversenorm;
    _v[3] = coshalfangle;
}

3.2 从向量旋转构造四元数

已知初始向量 $\boldsymbol{u}$ 和目标向量 $\boldsymbol{v}$ ，构造旋转四元数的逻辑：

旋转轴为 $\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}$ ；
旋转角为 $\boldsymbol{u}$ 与 $\boldsymbol{v}$ 的夹角；
特殊处理向量共线（夹角 $0^\circ$ 或 $180^\circ$ ）的情况。

3.2.1 基础实现（含特殊处理）

void makeRotate(const Vec3<value_type>& from, const Vec3<value_type>& to)
{
    const value_type epsilon = 1e-7;
    value_type length1 = from.length();
    value_type length2 = to.length();
    value_type cosangle = from*to / (length1*length2); // 点乘求夹角余弦

    // 向量同向（夹角0°）
    if (fabs(cosangle - 1) < epsilon)
    {
        makeRotate(0.0, 0.0, 0.0, 1.0); // 零旋转
    }
    // 向量反向（夹角180°）
    else if (fabs(cosangle + 1.0) < epsilon)
    {
        // 构造垂直于from的任意轴
        Vec3<value_type> tmp;
        if ((fabs(from.x())) < fabs(from.y()))
        {
            tmp = (fabs(from.x()) < fabs(from.z())) ? Vec3<value_type>(1,0,0) : Vec3<value_type>(0,0,1);
        }
        else
        {
            tmp = (fabs(from.y()) < fabs(from.z())) ? Vec3<value_type>(0,1,0) : Vec3<value_type>(0,0,1);
        }
        Vec3<value_type> axis = from ^ tmp; // 叉乘得旋转轴
        axis.normalize();
        _v[0] = axis[0]; _v[1] = axis[1]; _v[2] = axis[2]; _v[3] = 0.0; // 旋转角180°
    }
    // 一般情况
    else
    {
        Vec3<value_type> axis = from ^ to;
        value_type angle = acos(cosangle);
        makeRotate(angle, axis.x(), axis.y(), axis.z());
    }
}

3.2.2 优化实现（避免反三角函数）

利用三角恒等式 $\sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$ 、 $\cos\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$ ，简化计算：

// 替换一般情况的代码块
else
{
    value_type normFromAndTo = sqrt(from.length2()*to.length2());
    value_type cos_theta = from * to / normFromAndTo;
    value_type half_cos = sqrt(0.5 * (1+cos_theta));
    Vec3<value_type> axis = (from ^ to) / (normFromAndTo * 2 * half_cos);

    _v[0] = axis[0];
    _v[1] = axis[1];
    _v[2] = axis[2];
    _v[3] = half_cos;
}

3.3 从四元数提取旋转轴与旋转角

已知四元数 $q = w + x i + y j + z k$ ，反推旋转参数的公式：
$\begin{align*} \theta &= 2\arccos(w) \\ \boldsymbol{u} &= \frac{(x,y,z)}{\sqrt{1-w^2}} \quad (w \neq \pm1) \end{align*}$

特殊处理：

$w = 1$ （旋转角 $0^\circ$ ）：分母为 0，直接取 $(x, y, z)$ 为旋转轴；
$w = - 1$ （旋转角 $180^\circ$ ）： $\boldsymbol{u} = (x,y,z)$ 。

实现代码：

void getRotate(value_type& angle, value_type& x, value_type& y, value_type& z) const 
{
    Quat q1 = *this;
    if (_v[3] > 1) q1.normalize(); // 确保单位四元数

    angle = 2 * acos(q1._v[3]);
    value_type s = sqrt(1 - q1._v[3]*q1._v[3]);

    if (s < 1e-6) // 旋转角0°
    {
        x = q1._v[0]; y = q1._v[1]; z = q1._v[2];
    }
    else // 一般情况
    {
        x = q1._v[0] / s; y = q1._v[1] / s; z = q1._v[2] / s;
    }
}

3.4 四元数旋转向量

将向量 $\boldsymbol{v}$ 转换为纯虚四元数 $p = 0 + v_xi + v_yj + v_zk$ ，旋转后的向量为：
$\boldsymbol{v}' = q \cdot p \cdot q^*$

优化实现（避免直接四元数乘法，降低计算量）：

Vec3<value_type> operator* (const Vec3<value_type>& v)
{
    // nVidia SDK 优化实现
    Vec3<value_type> uv, uuv;
    Vec3<value_type> qvec(_v[0], _v[1], _v[2]);
    uv = qvec ^ v;          // 叉乘
    uuv = qvec ^ uv;        // 二次叉乘
    uv *= (2.0f * _v[3]);   // 实部缩放
    uuv *= 2.0f;            // 缩放
    return v + uv + uuv;    // 最终旋转向量
}

3.5 四元数的球面插值（SLERP）

四元数的球面插值（Spherical Linear Interpolation）可实现平滑的旋转过渡，公式为：
$q_t = \frac{\sin((1-t)\theta)}{\sin\theta}q_a + \frac{\sin(t\theta)}{\sin\theta}q_b$
其中 $\theta$ 为 $q_a$ 与 $q_b$ 的夹角（ $\cos\theta = q_a \cdot q_b$ ）， $\in [0,1]$ 为插值因子。

实现代码：

void slerp(value_type t, const Quat& from, const Quat& to )
{
    const double epsilon = 0.00001;
    double omega, cosomega, sinomega, scale_from, scale_to ;

    Quat quatTo(to);
    cosomega = from.asVec4() * to.asVec4(); // 点乘求夹角余弦

    // 确保插值方向最短
    if (cosomega < 0.0)
    {
        cosomega = -cosomega;
        quatTo = -to;
    }

    if( (1.0 - cosomega) > epsilon )
    {
        // 非近距离插值：球面插值
        omega = acos(cosomega);
        sinomega = sin(omega);
        scale_from = sin((1.0-t)*omega)/sinomega;
        scale_to = sin(t*omega)/sinomega;
    }
    else
    {
        // 近距离插值：线性插值
        scale_from = 1.0 - t;
        scale_to = t;
    }

    *this = (from*scale_from) + (quatTo*scale_to);
}