数学实验 | 解析函数平面向量场应用 / 复变函数积分变换 MATLAB 应用

注：本文为 “数学实验” 相关合辑。
略作重排，如有内容异常，请看原文。

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数学实验一：解析函数对平面向量场的应用

1. 平面向量场

首先以流速场为例阐述稳定平面向量场的概念。在流体力学中，不可压缩流体指密度不随压力变化的流体。通常情况下，液体可视为不可压缩流体；当空气流速不超过音速 $330\text{m/s}$ 的 $0.6$ 至 $0.8$ 倍时，亦可视为不可压缩流体。

流体的平面流动是指在垂直于某平面的每一垂线上，所有质点的速度相同且与指定平面平行。对于平面流动，仅需研究指定平面上的流动情况。若平面流动中各质点的速度仅与位置相关，且不随时间变化，则称其为平面稳定流动。

在 $z$ 平面上的某一区域 $D$ 内，若每一点均对应一个大小和方向均不随时间变化的速度向量，则在 $D$ 内确定了一个稳定平面向量场。在不可压缩流体的平面稳定流动中，以 $C$ 为准线、垂直于 $C$ 的直线为母线作高为 $1$ 的柱面，单位时间内通过该柱面流向某一侧的流体质量（假设密度为 $1$），称为通过 $C$ 流向该侧的流量。规定流体向 $C$ 某一侧的流量为正，相反一侧为负。

取曲线 $C$ 上的弧元素 $ds$，规定 $C$ 的方向并相应确定法线方向，使得沿 $C$ 按规定方向前进时，法线始终指向 $C$ 的右侧。设点 $A$ 处的速度向量为 $\mathbf{v}=a+ib$（其中 $a=a(x,y)$、$b=b(x,y)$ 分别为 $\mathbf{v}$ 的实部和虚部），$v_n$、$v_t$ 分别为 $\mathbf{v}$ 在法线方向和切线方向的投影，则单位时间内通过 $ds$ 流向法线指定侧的流量为

$$v_{n}ds$$

其本质是由 $ds$ 及 $\mathbf{v}$ 构成的平行四边形面积。因此，单位时间内流体通过曲线 $C$ 流向取定一侧的总流量 $Q$ 为：

$$Q={\int }_C{v}_{n}ds$$

设沿 $C$ 正向的切线与实轴夹角为 $\alpha$，则法线方向与实轴夹角为 $\beta =\alpha -\frac{\pi }{2}$。切线向量的方向余弦为 $\cos \alpha$、$\sin \alpha$，法线向量的方向余弦为 $\cos \beta =\sin \alpha$、$\sin \beta =-\cos \alpha$，由此可得：

$$\begin{gathered} v_t=\mathbf{v}\cdot (\cos \alpha ,\sin \alpha )=a\cos \alpha +b\sin \alpha \\ {v}_n=\mathbf{v}\cdot (\sin \alpha ,-\cos \alpha )=a\sin \alpha -b\cos \alpha \end{gathered}$$

进而流量公式可转化为：

$$Q={\int }_C(a\sin \alpha -b\cos \alpha )ds={\int }_C-bdx+ady$$

若曲线 $C$ 为闭合曲线，规定反时针方向为正向，则法线正向指向 $C$ 的外部。当流入内部的流体多于流出时，流量为正；反之，流量为负。若区域 $D$ 内无流体放出或吸入，称 $D$ 内流速场 $\mathbf{v}$ 既无源又无汇。此时，对于 $D$ 内任一闭曲线 $C$，必有 $Q={\int }_C-bdx+ady=0$。根据格林公式，可得如下定理：

定理 1：设 $D$ 为单连通区域，$a$、$b$ 在 $D$ 内具有连续偏导数，则 $D$ 内流速场既无源又无汇的充要条件为：

$$\frac{\partial a}{\partial x}=\frac{\partial (-b)}{\partial y}$$

定义 ${\int }_C{v}_{t}ds$ 为流体在单位时间内沿闭曲线 $C$ 的环量。若 $D$ 内任一简单闭曲线的环量为零，则称流动为无旋的。根据环量定义，无旋流动的条件为：

$$\begin{array}{rl}{\int }_C{v}_{t}ds& ={\int }_C(a\cos \alpha +b\sin \alpha )ds\\ & ={\int }_{C}adx+bdy\\ & =0\end{array}$$

根据格林公式，可得如下定理：

定理 2：设 $D$ 为单连通区域，$a$、$b$ 在 $D$ 内具有连续偏导数，则 $D$ 内流速场为无旋场的充要条件为：

$$\frac{\partial a}{\partial y}=\frac{\partial b}{\partial x}$$

上述结论可推广至其他稳定平面向量场。以静电场为例，取静电场所在平面为 $z$ 平面，单位电荷在该平面某点所受的力称为该点的电场强度。若 $z$ 平面某区域 $D$ 内每一点的电场强度向量大小和方向均不随时间变化，则构成稳定平面向量场，设电场强度向量为 $\mathbf{w}=u+iv$。

对于 $D$ 内任一简单闭曲线 $C$，定义通过 $C$ 的通量为：

$$Q={\int }_C-vdx+udy$$

根据静电理论，通量与 $C$ 包围区域内的总电荷成正比。类似流速场的结论，$D$ 内无电荷的充要条件为：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (-v)}{\partial y}$$

对于 $D$ 中任一简单闭曲线 $C$，同样可定义沿 $C$ 的环量为：

$${\int }_{C}udx+vdy$$

其物理意义为单位正电荷沿 $C$ 移动时电场力所作的功。静电场为无旋场（环量为零）的充要条件为：

$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}$$

2. 平面场的复势

设区域 $D$ 内给定稳定平面向量场 $\mathbf{w}=u+iv$，若对于 $D$ 内任一简单闭曲线 $C$，通过 $C$ 的流量和环量均为零，则称 $\mathbf{w}$ 在 $D$ 上无源、无汇且无旋（在静电场中，等价于场内无电荷，单位正电荷沿闭曲线移动时电场力做功为零）。

定理 3：设 $D$ 为单连通区域，$u$、$v$ 在 $D$ 内具有连续偏导数，则 $\mathbf{w}=u+iv$ 在 $D$ 上无源、无汇且无旋的充要条件为：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}$$

该条件等价于：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (-v)}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial (-v)}{\partial x}$$

单连通区域内平面向量场与解析函数

由柯西-黎曼条件可知，函数 $u+i(-v)=u-iv$ 在区域 $D$ 内解析。$u$ 与 $v$ 均为 $D$ 内的调和函数。

基于上述条件，两个微分表达式分别对应特定函数的全微分：
$$d\phi =udx+vdy,d\psi =-vdx+udy$$
其中 $\phi (x,y)$ 与 $\psi (x,y)$ 是由 $u$、$v$ 唯一确定的函数（不计常数差异）。

由此可直接推出偏导数关系：
$$\begin{array}{rlrl}\frac{\partial \phi }{\partial x}& =u,& \frac{\partial \phi }{\partial y}& =v,\\ \frac{\partial \psi }{\partial x}& =-v,& \frac{\partial \psi }{\partial y}& =u.\end{array}$$

因 $\phi (x,y)$ 和 $\psi (x,y)$ 满足柯西-黎曼条件，构造复势函数：
$$f(z)=\phi (x,y)+i\psi (x,y)$$
该函数在 $D$ 内解析，且 $\phi$、$\psi$ 均为调和函数。

对 $f(z)$ 求导可得：
$$f^{\prime }(z)=\frac{\partial \phi }{\partial x}+i\frac{\partial \psi }{\partial x}=u-iv$$
进而有 $\overline{f^{\prime }(z)}=u+iv=\mathbf{w}$，即 $f(z)$ 与给定平面向量场 $\mathbf{w}$ 直接对应。

定义 $f(z)$ 为平面向量场 $\mathbf{w}$ 的复势，$\phi (x,y)$ 为势函数，$\psi (x,y)$ 为流函数。

1. 势函数 $\phi (x,y)$

• 因 $d\phi =udx+vdy$，曲线族 $\phi (x,y)=常数$ 称为等势线。
• 满足微分方程 $udx+vdy=0$，等势线上任一点的斜率为 $\frac{dy}{dx}=-\frac{u}{v}$。

2. 流函数 $\psi (x,y)$

• 因 $d\psi =-vdx+udy$，曲线族 $\psi (x,y)=常数$ 称为流线。
• 满足微分方程 $-vdx+udy=0$，流线上任一点的斜率为 $\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}$。

向量场 $\mathbf{w}$ 在每一点的方向与流线切线方向一致，等势线与流线彼此正交。

结论（充要条件）

设 $D$ 为单连通区域，平面定常向量场 $\mathbf{w}=(u(x,y),v(x,y))$ 满足以下三个条件：

1. 无源（无散度）：散度为零，即 $\nabla \cdot \mathbf{w}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$；
2. 无旋：旋度为零（平面向量场旋度仅含 $z$ 方向分量），即 $\nabla \times \mathbf{w}$ 的 $z$ 分量 $\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0$；
3. 光滑：分量 $u(x,y)$、$v(x,y)$ 在 $D$ 内具有连续一阶偏导数；

当且仅当存在 $D$ 内的解析函数 $f(z)=\phi (x,y)+i\psi (x,y)$（满足柯西-黎曼方程 $\frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{\partial \psi }{\partial y}$、$\frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$），使得 $\mathbf{w}=\left(\frac{\partial \psi }{\partial y},-\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)$，且 $f(z)$ 为 $\mathbf{w}$ 的复势（$\phi$ 为势函数，$\psi$ 为流函数）。

逆命题

设 $D$ 为单连通区域，$f(z)=\phi (x,y)+i\psi (x,y)$ 为 $D$ 内的任意解析函数（满足柯西-黎曼方程）。则由 $f(z)$ 的导数 $f^{\prime }(z)=u-iv$ 定义的平面定常向量场 $\mathbf{w}=(u(x,y),v(x,y))$（其中 $u=\frac{\partial \phi }{\partial x}=\frac{\partial \psi }{\partial y}$、$v=\frac{\partial \phi }{\partial y}=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$），必满足上述“无源、无旋、光滑”条件，且 $f(z)$ 是该向量场的复势。

2.1 复势应用实例

• 实例 1：复势 $f(z)=az$（其中 $a>0$，为实常数）

  • 场向量：$\overline{f^{\prime }(z)}=a$

  • 势函数：$\phi (x,y)=ax$，等势线为直线 $x=C_2$（其中 $C_2$ 为实常数）

  • 流函数：$\psi (x,y)=ay$，流线为直线 $y=C_1$（其中 $C_1$ 为实常数）

  • 物理意义：流体以等速度 $a$ 从平面左侧向右侧流动。

• 实例 2：复势 $f(z)=\frac{1}{z}$（其中 $z\ne 0$）

  • 场向量：$\overline{f^{\prime }(z)}=-\frac{1}{z^2}$

  • 势函数：$\phi (x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$，等势线为 $\frac{x}{x^2+y^2}=C$（等价于 ${\left(x-\frac{1}{2C}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4C^2}$，即与虚轴相切的一族圆）

  • 流函数：$\psi (x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}$，流线为 $\frac{y}{x^2+y^2}=C$（等价于 $x^2+{\left(y+\frac{1}{2C}\right)}^2=\frac{1}{4C^2}$，即与实轴相切于原点的一族圆）

  • 物理意义：流体从 $z=0$ 右侧流进，左侧流出，$z=0$ 可视为极相近的一个源和一个汇的合成。

• 实例 3：复势 $f(z)=\ln z$（其中 $z\ne 0$）

  • 场向量：$\overline{f^{\prime }(z)}=\frac{1}{z}$

  • 势函数：$\phi (x,y)=\ln |z|$，等势线为圆 $|z|=C$（其中 $C$ 为正常数）

  • 流函数：$\psi (x,y)=\arg z$，流线为直线 $\arg z=C$（其中 $C$ 为实常数）

  • 物理意义：流体从 $z=0$ 向各方向流向无穷远，$z=0$ 可视为源，$z=\infty$ 可视为汇。任意围绕原点的简单闭曲线 $\gamma$，单位时间内通过 $\gamma$ 流向无穷远的流量为 ${\int }_{\gamma }-vdx+udy=\text{Im}\left[{\int }_{\gamma }\frac{dz}{z}\right]=2\pi$。

• 拓展实例：复势 $w=-i\ln z$

  • 流线与等势线：恰好是 $w=\ln z$ 的等势线与流线

  • 物理意义：在 $z=0$ 处存在一个涡旋，单位时间内沿任何围绕原点的简单闭曲线 $\gamma$ 的环量为 $2\pi$。

3. 解析函数在平面向量场中的应用

3.1 对流体力学的应用：机翼升力计算

3.1.1 问题建模

当飞机以不超过音速 $0.6$ 至 $0.8$ 倍的速度飞行时，可将坐标系固定在飞机上，此时飞机静止，空气冲向飞机流动。由于机翼较长，且远离机身和翼端的截面全等、气流情况相同，问题可简化为不可压缩流体的平面稳定流动问题。该流动满足无源、无汇且无旋的特性。

取远离机身和翼端的机翼剖面所在平面为 $z$ 平面，剖面边界为简单闭曲线 $C$（流线）。已知 $C$ 的形状和无穷远处气流速度 $w_{\infty }$（设为正实数），需通过复势 $f(z)$ 和环量 $\Gamma$ 计算机翼所受升力。

3.1.2 压力与升力公式推导

对于不可压缩流体的平面稳定流动，任一点的压力 $p$ 满足公式：

$$p=A-\frac{\rho }{2}|\mathbf{w}{|}^2$$

其中 $A$ 为实常数，$\rho$ 为流体密度，$\mathbf{w}=\overline{f^{\prime }(z)}$ 为速度向量。

由于 $C$ 是流线，压力方向沿法线向内。作用在弧长元素 $ds=|dz|$ 上的压力向量模为 $p|dz|$，辐角为 $dz$ 的辐角加 $\frac{\pi }{2}$，因此压力向量为 $pdz\cdot e^{i\frac{\pi }{2}}=Aidz-\frac{\rho i}{2}|\mathbf{w}{|}^{2}dz$。

作用在曲线 $C$ 上的总压力向量 $P$ 为各弧长元素压力向量的向量和：

$$P={\int }_{C}pidz=-\frac{\rho i}{2}{\int }_C|\mathbf{w}{|}^{2}dz$$

设 $dz=e^{i\phi }ds$，则 $\mathbf{w}=\pm |\mathbf{w}|e^{i\phi }$（符号根据实际流动方向确定），结合 $\mathbf{w}=\overline{f^{\prime }(z)}$，可推得：

$$P=-\frac{\rho i}{2}{\int }_C{\left[\overline{f^{\prime }(z)}\right]}^2\overline{dz}$$

取共轭复数后：

$$\overline{P}=\frac{\rho i}{2}{\int }_C{\left[f^{\prime }(z)\right]}^{2}dz$$

由于 ${\lim }_{z\to \infty }\overline{f^{\prime }(z)}=w_{\infty }$，无穷远点是 $f^{\prime }(z)$ 的可去奇异点，在原点某圆外，$f^{\prime }(z)$ 有罗朗级数展开：

$$f^{\prime }(z)=w_{\infty }+\frac{\Gamma }{2\pi i}\cdot \frac{1}{z}+\frac{c_{-2}}{z^2}+\cdots$$

其中 $\Gamma ={\int }_C{f}^{\prime }(z)dz$ 为环量（实数）。

对 $[f^{\prime }(z){]}^2$ 展开并代入积分，最终可得茹可夫斯基升力公式：

$$P=-i\rho w_{\infty }\Gamma$$

3.1.3 升力特性

• 升力大小：$|P|=\rho w_{\infty }|\Gamma |$

• 升力方向：与 $w_{\infty }$ 方向正交；当 $\Gamma >0$ 时，指向虚轴下方；当 $\Gamma <0$ 时，指向虚轴上方。

• 工程意义：升力大小与机翼截面形状相关，航空工业中需根据升力需求设计翼型，以满足飞行、起飞和降落要求。

3.2 对电学的应用：静电场求解（基于保形映照）

3.2.1 实例 4：两同心金属圆柱间的静电场

设两同心金属圆柱与 $z$ 平面的截线为 $|z|=r_1$ 和 $|z|=r_2$（其中 $0<r_1<r_2<+\infty$），两柱间电势差为 $2V_0$。

需构造解析函数，使其虚部在 $|z|=r_1$ 上取值 $-V_0$，在 $|z|=r_2$ 上取值 $V_0$。利用多值解析函数 $\Phi (z)=ia\ln z+ib$（虚部在 $|z|=r$ 上为常数），结合边界条件确定 $a$、$b$，最终得到复势：

$$\Phi (z)=\frac{i{V}_0}{\ln r_2-\ln r_1}\left[2\ln z-(\ln r_2+\ln r_1)\right]$$

3.2.2 实例 5：两相离平行金属圆柱间的静电场

设两平行金属圆柱较长，与 $z$ 平面的截线为圆 $C_1$（圆心 $a_1$）和 $C_2$（圆心 $a_2$），电势差为 $2V_0$。

求解步骤如下：

1. 找到 $z_1$、$z_2$ 两点（$a_1{a}_2$ 联线与圆 $C^{\ast }$ 的交点，$C^{\ast }$ 以 $C_1$、$C_2$ 外公切线端点 $b_1$、$b_2$ 为直径），$z_1$、$z_2$ 关于 $C_1$、$C_2$ 均对称。

2. 作分式线性函数 $w=\frac{z-z_1}{z-z_2}$，将 $C_1$、$C_2$ 映照为 $w$ 平面上以 $w=0$ 为心的两同心圆。

3. 结合实例 4 的结果，得到所求复势。

3.2.3 实例 6：两平行金属平板间的静电场

设两金属平板与 $z$ 平面垂直，截线为射线 $x\ge a$（$y=0$）和 $x\le -a$（$y=0$）（其中 $a>0$），端点距离为 $2a$，电势差为 $2V_0$。

求解步骤如下：

1. 作分式线性函数 $\zeta =\frac{z+a}{z-a}$，将两射线（视为过 $\infty$ 的“圆弧”）映照为 $\zeta$ 平面的正实轴，原区域映照为 $\zeta$ 平面除去正实轴的区域。

2. 作函数 $\omega =\sqrt{\zeta }$，将上述区域映照为上半 $\omega$ 平面。

3. 作分式线性函数 ${\omega }_1=k\frac{1+\omega }{1-\omega }$（其中 $k>0$），保持上半平面映照特性。

4. 作映照 $w = \frac{2V_0}{\pi}\ln\omega_1 + $常数，将区域映照为 $w$ 平面的带形 $-V_0<\text{Im}(w)<V_0$，得到复势。

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数学实验二：MATLAB 在复变函数与积分变换的应用

一、基础运算实验

实验 0：复数的运算

0.1 计算任务

1. 复数运算：
   $$\frac{1}{i}-\frac{3i}{1-i},\frac{(3+4i)(2-5i)}{2i}$$

2. 复数特性分析（实部、虚部、共轭复数、模、辐角）：
   $$\frac{1}{3+2i},1-i-i,2i,i^8-4i^{21}+i$$

0.2 MATLAB 实现与结果

在 MATLAB 命令窗口输入以下代码：

% 定义所有待计算复数，存入复矩阵 a
a = [1/(3+2i), 1/i - 3i/(1-i), (3+4i)*(2-5i)/(2i), i^8 - 4*i^21 + i];
% 分别计算实部、虚部、共轭复数、模、辐角
real_a = real(a);      % 实部
imag_a = imag(a);      % 虚部
conj_a = conj(a);      % 共轭复数
abs_a = abs(a);        % 模
angle_a = angle(a);    % 辐角（弧度制）

输出结果整理：

复数表达式	计算结果	实部	虚部	共轭复数	模	辐角（弧度）
$\frac{1}{3+2i}$	$0.2308-0.1538i$	$0.2308$	$-0.1538$	$0.2308+0.1538i$	$0.2774$	$-0.5880$
$\frac{1}{i}-\frac{3i}{1-i}$	$1.5000-2.5000i$	$1.5000$	$-2.5000$	$1.5000+2.5000i$	$2.9155$	$-1.0304$
$\frac{(3+4i)(2-5i)}{2i}$	$-3.5000-13.0000i$	$-3.5000$	$-13.0000$	$-3.5000+13.0000i$	$13.4629$	$-1.8338$
$i^8-4i^{21}+i$	$1.0000-3.0000i$	$1.0000$	$-3.0000$	$1.0000+3.0000i$	$3.1623$	$-1.2490$

0.3 补充说明

MATLAB 支持复数的乘除、平方根、幂、指数、对数、三角函数等运算，可通过 sqrt()、^、exp()、log()、sin() 等函数直接实现，语法与实数运算一致。

实验 1：微分的计算

1.1 计算任务

设函数 $f(z)=\frac{e^z}{(1+z)\sin z}$，求其导数 $f^{\prime }(z)$。

1.2 MATLAB 实现与结果

syms z;  % 定义符号变量 z
% 定义函数 f(z)
f = exp(z) / ((1 + z) * sin(z));
% 求导并化简
f_prime = diff(f);  % 求一阶导数
pretty(f_prime);    % 美化输出格式

输出结果：

$$f^{\prime }(z)=\frac{e^z}{(1+z)\sin z}-\frac{e^z}{(1+z{)}^2\sin z}-\frac{e^z\cos z}{(1+z){\sin }^{2}z}$$

实验 2：积分的计算

2.1 计算任务

计算定积分 ${\int }_a^b\frac{3z+2}{z-1}dz$（其中 $a$、$b$ 为积分上下限，符号变量）。

2.2 MATLAB 实现与结果

syms z a b;  % 定义符号变量 z、a、b
% 定义被积函数
f = (3*z + 2)/(z - 1);
% 计算定积分
integral_f = int(f, z, a, b);
disp(integral_f);

输出结果：

$${\int }_a^b\frac{3z+2}{z-1}dz=3b+5\ln (b-1)-3a-5\ln (a-1)$$

实验 3：函数的泰勒级数展开

3.1 展开任务

将函数 $f(z)=\tan (z)$ 在 $z_0=\frac{\pi }{4}$ 处展开为泰勒级数（默认展开至 5 阶）。

3.2 MATLAB 实现与结果

syms z;  % 定义符号变量 z
% 在 z0 = pi/4 处展开泰勒级数
taylor_f = taylor(tan(z), z, 'ExpansionPoint', pi/4, 'Order', 6);
disp(taylor_f);

输出结果（整理后）：

$$\tan (z)=1+2\left(z-\frac{\pi }{4}\right)+2{\left(z-\frac{\pi }{4}\right)}^2+\frac{8}{3}{\left(z-\frac{\pi }{4}\right)}^3+\frac{10}{3}{\left(z-\frac{\pi }{4}\right)}^4+\frac{64}{15}{\left(z-\frac{\pi }{4}\right)}^5$$

实验 4：留数的计算

4.1 计算任务

求函数 $f(z)=\frac{z}{(2z+1)(z-2)}$ 在其奇点处的留数。

4.2 MATLAB 实现原理

MATLAB 中 residue 函数用于计算有理函数的留数，语法格式：[r, p, k] = residue(B, A)，其中：

• $B$：分子多项式按降幂排列的系数矩阵

• $A$：分母多项式按降幂排列的系数矩阵

• $r$：留数向量（与奇点一一对应）

• $p$：奇点向量

• $k$：多项式部分系数（本题无多项式部分，故 $k=[]$）

4.3 代码与结果

% 分子多项式：z → 系数矩阵 [1, 0]（对应 z^1 + 0*z^0）
B = [1, 0];
% 分母多项式：(2z+1)(z-2) = 2z² - 3z - 2 → 系数矩阵 [2, -3, -2]
A = [2, -3, -2];
% 计算留数、奇点
[r, p, k] = residue(B, A);
disp(['留数：', num2str(r)]);
disp(['对应奇点：', num2str(p)]);

输出结果：

• 奇点：$z=2.0000$、$z=-0.5000$

• 对应留数：$\text{Res}[f(z),2]=0.4$、$\text{Res}[f(z),-0.5]=0.1$

实验 5：保形映射（分式线性函数）

5.1 映射任务

求将单位圆 $|z|\le 1$ 映照成上半平面 $\text{Im}(w)\ge 0$ 的分式线性函数 $w=\frac{az+b}{cz+d}$。

5.2 映射原理

分式线性函数满足“三点确定映射”：在单位圆上取三点 $z_1,z_2,z_3$，在上半平面的实轴（边界）取三点 $w_1,w_2,w_3$（取 $w_3=\infty$ 简化计算），由交叉比不变性得映射公式：

$$\frac{w-w_1}{w-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}\cdot \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$$

5.3 MATLAB 实现与结果

选取 $z_1=i$、$z_2=-1$、$z_3=1$，对应 $w_1=0$、$w_2=1$、$w_3=\infty$，代码如下：

syms z1 z2 z3 w1 w2 w3 w z;
% 定义选取的对应点
z1 = i; z2 = -1; z3 = 1;
w1 = 0; w2 = 1; w3 = inf;
% 计算交叉比系数 A
A = (z3 - z1)/(z3 - z2);
% 计算分式线性函数系数 a、b、c、d
a = A*w1 - w2;
b = z1*w2 - A*w1*z2;
c = A - 1;
d = z1 - A*z2;
% 构造映射函数
w = (a*z + b)/(c*z + d);
disp('分式线性映射函数：');
pretty(w);

输出结果：

$$w=\frac{-z+i}{(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i)z+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i}$$

验证：当 $z=0$ 时，$w=1.0000+1.0000i$（位于上半平面，符合映射要求）。

实验 6：傅里叶变换

6.1 变换任务

求函数 $f(t)=e^{-t^2}$ 的傅里叶变换（定义：$\mathcal{F}[f(t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iwt}dt$）。

6.2 MATLAB 实现与结果

syms t w;  % 定义符号变量 t（时域）、w（频域）
% 计算傅里叶变换
F_w = fourier(exp(-t^2), t, w);
disp('傅里叶变换结果：');
disp(F_w);

输出结果：

$$\mathcal{F}[e^{-t^2}]=\sqrt{\pi }{e}^{-\frac{w^2}{4}}$$

实验 7：傅里叶逆变换

7.1 逆变换任务

求函数 $F(w)=e^{-iw}$ 的傅里叶逆变换（定义：${\mathcal{F}}^{-1}[F(w)]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)e^{iwt}dw$）。

7.2 MATLAB 实现与结果

syms w t;  % 定义符号变量 w（频域）、t（时域）
% 计算傅里叶逆变换
f_t = ifourier(exp(-1i*w), w, t);
disp('傅里叶逆变换结果：');
disp(f_t);

输出结果：

$${\mathcal{F}}^{-1}[e^{-iw}]=\delta (t-1)$$

其中 $\delta (\cdot )$ 为狄拉克函数（Dirac 函数）。

实验 8：拉普拉斯变换

8.1 变换任务

求函数 $f(t)=t^6$ 的拉普拉斯变换（定义：$\mathcal{L}[f(t)]={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$）。

8.2 MATLAB 实现与结果

syms t s;  % 定义符号变量 t（时域）、s（复频域）
% 计算拉普拉斯变换
F_s = laplace(t^6, t, s);
disp('拉普拉斯变换结果：');
disp(F_s);

输出结果：

$$\mathcal{L}[t^6]=\frac{720}{s^7}$$

（注：$6!=720$，符合拉普拉斯变换公式 $\mathcal{L}[t^n]=\frac{n!}{s^{n+1}}$）

实验 9：拉普拉斯逆变换

9.1 逆变换任务

求函数 $F(s)=\frac{s}{s^2+a^2}$ 的拉普拉斯逆变换（其中 $a$ 为常数）。

9.2 MATLAB 实现与结果

syms a s t;  % 定义符号变量 a（常数）、s（复频域）、t（时域）
% 计算拉普拉斯逆变换
f_t = ilaplace(s/(s^2 + a^2), s, t);
disp('拉普拉斯逆变换结果：');
disp(f_t);

输出结果：

$${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+a^2}\right]=\cos (at)$$

二、数学软件介绍

2.1 MATLAB 语言

2.1.1 简介

MATLAB（MATrix LABoratory，矩阵实验室）是美国 The MathWorks 公司开发的高度集成计算机语言，起源于矩阵运算，现具备科学运算、程序设计、图形可视化、跨语言接口等强大功能，在科学界（尤其自动控制领域）应用广泛。2002 年 9 月推出 MATLAB 7.0 正式版（Release 13）。

2.1.2 发展历程

1. 1980 年前后，Cleve Moler 教授为简化线性代数教学，基于 Fortran 语言开发免费版本 MATLAB，依赖 EISPACK 和 LINPACK 数值代数程序包。

2. 1984 年，The MathWorks 公司成立，推出商业版 MATLAB，改用 C 语言改写，新增图形处理、符号运算等功能。

3. 1992 年推出 MATLAB 4.0，1993 年推出微机版，适配 Windows 系统；后续 5.0、6.0、7.0 版本逐步完善数据结构（单元数组、结构体等）、核心算法、界面设计和外部接口。

4. 交互式编程（无需编译链接）、强大的数学运算与绘图能力、丰富的专业工具箱，能将用户从底层编程中解放，提升科研与工程效率。

2.1.3 应用场景

已成为国际流行的科学与工程计算工具，广泛应用于自动控制、数值分析、信号处理、图像处理、机器学习等领域，是高校和研究机构的教学与科研软件。

2.2 Mathematica 语言

2.2.1 简介

Mathematica 是美国 Wolfram 公司开发的著名数学软件，由 C 语言开发，具备跨平台移植性，以突出的符号运算和高质量图形处理为主要优势，面向具有数学基础但计算机知识有限的用户，在科研单位和高校应用广泛。

2.2.2 功能特点

1. 符号运算：支持微积分（极限、导数、积分、级数展开）、微分方程求解、线性代数（矩阵运算、特征值）等精确运算。
2. 数值计算：可实现任意精度的整数、有理数、实数和复数计算。
3. 图形绘制：支持二维平面图形与三维立体图形的快速绘制，图形质量高。
4. 扩展功能：提供拉普拉斯变换等专用软件包，支持命令式操作，无需复杂编程。

2.2.3 发展历程

1. 1988 年发布 1.0 版，以统一处理科技计算全场景为目标，被视为现代科技计算的开端。
2. 1991 年、1997 年、1999 年分别推出 2.0、3.0、4.0 版本，持续扩充功能与适用范围。

2.2.4 应用场景

覆盖工程、计算机科学、生物医学、金融、数理化和社会科学等领域，是“数学模型”“数学实验”课程的常用工具，全球用户超 100 万。尤其在科学院所和高等院校广为流行。Mathematica 的用户大部分是科技人员。但Mathematica也被大量地用于教育，在英国和日本都有大学将 Mathematica 作为理工科学生必修的计算机课程之一。它也是“数学模型”和“数学实验”课程最好的工具之一。随着各种学生版的发布，Mathematica 也已成为全世界各种不同专业学生的重要工具。

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via:

• 数学实验一：解析函数对平面向量场的应用
  https://netedu.xauat.edu.cn/jpkc/netclass/jpkc/fbhs/dir/other/数学实验一.pdf
• 数学实验二：MATLAB 在复变函数与积分变换的应用
  https://netedu.xauat.edu.cn/jpkc/netclass/jpkc/fbhs/dir/other/数学实验二.pdf