傅里叶级数复指数形式 | 复信号傅里叶变换

注：本文为 “傅里叶级数复指数形式 | 复信号傅里叶变换” 相关文章合辑。

如有内容异常，请看原文。

---

复指数形式的傅里叶级数

武恒文 2010 - 04 - 03 10:24:56

本文详细介绍了傅里叶级数的指数变换形式，并将其与三角形式相联系。

一、傅里叶级数的指数形式推导

时域上周期函数展开为三角函数形式的傅里叶级数，可写为：

$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (n\Omega t)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin (n\Omega t)\text{\hspace{1em}(4-0)}$$

利用三角函数的复指数表示：

$$\cos (x)=\frac{e^{-jx}+e^{jx}}{2}$$

$$\sin (x)=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$$

将式 $(4-0)$ 中的正余弦项用复指数形式表示：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =a_0+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\left(\frac{e^{-jn\Omega t}+e^{jn\Omega t}}{2}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\left(\frac{e^{jn\Omega t}-e^{-jn\Omega t}}{2j}\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\left(\frac{e^{-jn\Omega t}+e^{jn\Omega t}}{2}\right)+a_0-\sum _{n=1}^{\infty }j{b}_n\left(\frac{e^{jn\Omega t}-e^{-jn\Omega t}}{2}\right)\end{array}$$

合并相同频率的项：

$$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn\Omega t}+a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n+j{b}_n}{2}{e}^{-jn\Omega t}$$

令 $c_0=a_0$ ， $c_{-n}=\frac{a_n+j{b}_n}{2}$ ， $c_n=\frac{a_n-j{b}_n}{2}$ ，则有：

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{jn\Omega t}\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

为求解系数 $c_n$ ，将上式两边同乘以 $e^{-jm\Omega t}$ 并在 $T$ 内取积分：

$${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jm\Omega t}dt={\int }_{-T/2}^{T/2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{jn\Omega t}{e}^{-jm\Omega t}dt$$

将累加符号及 $c_n$ 放到积分号外面：

$${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jm\Omega t}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{\int }_{-T/2}^{T/2}{e}^{j(n-m)\Omega t}dt\text{\hspace{1em}(4-2)}$$

令 $n-m=k$ ，则

$${\int }_{-T/2}^{T/2}{e}^{j(n-m)\Omega t}dt={\int }_{-T/2}^{T/2}{e}^{jk\Omega t}={\int }_{-T/2}^{T/2}\cos (k\Omega t)dt-j{\int }_{-T/2}^{T/2}\sin (k\Omega t)dt$$

分情况讨论积分结果：

1. 若 $n\ne m$ ，即 $k\ne 0$ ， $\cos (k\Omega t)$ 和 $\sin (k\Omega t)$ 在一个周期内正负部分抵消，积分结果为零。

2. 若 $n=m$ ， $k=0$ ，积分结果为 $c_{n}T$ 。

所以可得：

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jn\Omega t}dt(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\text{\hspace{1em}(4-3)}$$

至此得到了复指数形式的傅里叶级数表达式 $(4-1)$ 及系数表达式 $(4-3)$ 。

二、指数形式傅里叶级数的优势分析

1、数学简洁性

1. 表达简洁：
   $$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{jn\Omega t}$$
   优于三角形式，源于欧拉公式：$e^{jx}=\cos (x)+j\sin (x)$.

   系数易计算：
   $$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)e^{-jn\Omega t}dt$$

2. 运算简便：

   求导/积分形式不变：$\frac{d}{dt}{e}^{jn\Omega t}=jn\Omega e^{jn\Omega t}$.

   信号叠加仅需系数相加。

2、频谱分析的直观性

1. 直接反映频谱：
   $c_n$ 直接给出幅度谱 $|c_n|$ 和相位谱 $\text{arg}(c_n)$.
   实信号满足共轭对称性：$c_n=c_{-n}^{\ast }$.

2. 频域能量分析：

   $|c_n{|}^2$ 表示频率 $n\Omega$ 上的能量。

   Parseval 定理：
   $$\frac{1}{T}{\int }_T|f(t){|}^{2}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_n{|}^2$$

3、信号处理与系统分析优势

1. 便于滤波分析：

   频域滤波为系数相乘：$Y(n\Omega )=H(n\Omega )C(n\Omega )$.

2. LTI 系统分析：

   LTI 系统特征函数为复指数。 输入 $e^{jn\Omega t}$，输出 $H(n\Omega )e^{jn\Omega t}$，其中 $H(n\Omega )$ 即为系统的频率响应。

4、应用差异

 

特性	指数形式	三角形式
计算	简便	复杂
物理直观	抽象	直观
频谱分析	直观，便捷	不直接
应用场景	通信，数字信号处理，控制等	音频处理，振动分析，谐波分析等

---

复信号的傅里叶变换相关问题解析

一枚雷达信号处理领域的小白 2021 - 12 - 16 10:09:27

一、复信号的数学表达式

1. 构成原理：复数由实数与虚数组成，复信号可由一个实信号和一个虚信号构成。

2. 数学表达式呈现：

$S(t)=S_r(t)+j{S}_i(t)(1)$

同时，经典的欧拉公式为：

$e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t(2)$

在复平面（横坐标为实数，纵坐标为虚数）中，复变函数 $e^{j\omega t}$ 是绕原点旋转的圆，

其中 $\theta =\omega t=2\pi t/T$ ，可看作是角速度为 $\omega$ 、周期为 $T$ 、绕原点旋转且半径为 $R$ 的圆，当 $R=1$ 时为单位圆。

二、复信号的傅里叶变换

1. 求解思路分析：直接对公式 $(1)$ 套用连续傅里叶变换（ $CFT$ ）公式较难，可类比公式 $(2)$ ，将复信号写成实部是余弦函数、虚部是正弦函数的组合形式。

2. 具体推导过程：

假设 $A=1$ ，则 $S(t)=\cos {\omega }_{s}t+j\sin {\omega }_{s}t(4)$

对 $S(t)$ 求 $CFT$ ：

$$\begin{array}{rl}F[S(t)]& ={\int }_{-\infty }^{\infty }(\cos {\omega }_{s}t+j\sin {\omega }_{s}t)e^{-j\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }(\cos {\omega }_{s}t)e^{-j\omega t}dt+j{\int }_{-\infty }^{\infty }(\sin {\omega }_{s}t)e^{-j\omega t}dt\end{array}$$

已知正弦函数和余弦函数的傅式变换分别为：

$-j\pi \delta (\omega -{\omega }_s)+j\pi \delta (\omega +{\omega }_s)(6)$

$\pi \delta (\omega -{\omega }_s)+\pi \delta (\omega +{\omega }_s)(7)$

所以复信号 $S(t)$ 的傅式变换为 $(6)$ 式与 $(7)$ 式之和，即：

$F[S(t)]=\pi \delta (\omega -{\omega }_s)+\pi \delta (\omega +{\omega }_s)+j[-j\pi \delta (\omega -{\omega }_s)+j\pi \delta (\omega +{\omega }_s)]=2\pi \delta (\omega -{\omega }_s)(8)$

三、复信号的频谱图

从公式 $(8)$ 可知，复信号 $S(t)$ 的傅式变换是 $\delta$ 冲激函数向右频移的 $2\pi$ 倍，即频点 $W_s$ 对应的冲激的 $2\pi$ 倍，其频谱呈现为一根简单的谱线。

四、复信号 3D 频谱图

若要将频谱画到三维图里面，在 Matlab 中可以使用 mesh 函数来实现，

但需注意 $X,Y,Z$ 参数设置正确，否则会出现矩阵维度不一致的情况。

五、Matlab 仿真验证

以下是用于验证复信号的傅式变换并且仿真复信号的频谱的 Matlab 代码：

%%=======================================================================================
% 程序说明：本程序验证复信号的傅式变换并且仿真复信号的频谱
% 程序名称：复信号的频谱分析
% 作者：hill5678
% 当前版本：1.0
%%=======================================================================================
clear all;
close all;
clc;
N = 128; % 采样点数
n = 0:N - 1;
fm = 1000; % 载波频率
fs = 1e4; % 采样频率
t = 1/fs*n; % 时间向量
s3 = cos(2*pi*fm*t)+1j*sin(2*pi*fm*t); % 构造复信号
s3_1 = repmat(s3,N,1);
y1 = zeros(length(s3_1)/2 - 1,length(s3_1));
y2 = zeros(length(s3_1)/2,length(s3_1));
s3_1(1:end/2 - 1,:)=y1;
s3_1(end/2 + 1:end,:)=y2;
f = [0:N - 1]*fs/N; % 真实频率
mag1 = abs((fft(s3_1,N,2))); % FFT 点数与采样点数相同
mag2 = abs((fft(s3,N,2)));
figure(1)
plot(f,mag2);
xlabel('频率 f/Hz');
ylabel('幅度');
title('复信号 s3 的频谱');
grid on;
figure(2)
plot(t,s3);
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
title('复信号的时域波形');
grid on;
figure(3)
mesh(f,n,mag1)
set(gca, 'color', [202/255, 234/255, 206/255]);
xlabel('频率/Hz','FontSize', 15, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'r');
ylabel('FFT 点数','FontSize', 15, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'r');
zlabel('幅值','FontSize', 15, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'r');
title('复信号 s3 的 3D 频谱图','FontSize', 15, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'k')

---

傅里叶变换中的狄利克雷条件

卓晴于 2021-03-24 00:40:53 发布

• 简介：对于傅里叶变换，傅里叶级数分解中存在的狄利克雷条件进行实验展示，说明这些条件是如何影响信号的傅里叶变换结果的。
• 关键词：傅里叶变换，FFT，狄利克雷条件

傅里叶在提出傅里叶级数时坚持认为，任何一个周期信号都可以展开成傅里叶级数，虽然这个结论在当时引起许多争议，但持异议者却不能给出有力的不同论据。直到 1829 年狄利克雷才对这个问题作出了令人信服的回答，狄利克雷认为，只有在满足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级数。这个条件被称为狄利克雷条件（Dirichlet Condition）。

下面对于经常看到的不符合 Dirichlet 条件的波形，通过 FFT 来研究使用部分它的系数来合成对应的信号时，随着系数的增加，合成波形的变化规律。

1. 有限个间断点

定义一个在 $(0,1)$ 之内具有无限间断点的函数。从 $0$ 到 $1$ 之间每前进当前剩余区间一半的时候，函数值就降低一倍。

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}{2}^0,& 2^0<t<2^{-1}\\ ⋮& \\ 2^{-n},& 1-2^n<t<1-2^{n+1}\\ ⋮& \end{array}$$

根据上面的表达式可以绘制出对应的函数，如下图所示。这个函数具有无穷多个间断点，它的面积为：

${\int }_0^{1}f(t)dt=\frac{1}{2}{\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{4^n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}$

▲ $f(t)$ 一个周期内的波形

#------------------------------------------------------------
def setfv(t):
    tn = len(t)
    f = zeros(tn)
    for i in range(20):
        v = 2**(-i)
        startn = int(tn - v*tn)
        f[startn:] = v
    return f
#------------------------------------------------------------
t = linspace(0, 1, 100000)
data = setfv(t)
plt.plot(t, data)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

将信号抽取 $100000$ 数据，利用 FFT 计算对应的离散傅里叶系数。下面绘制出前面 $200$ 个系数的幅值。可以看到该信号的频谱幅度随着 $n$ 增加迅速降低到 $0$ 。

▲ 信号 $f(t)$ 的 FFT 前 200 个系数的幅值

下面给出了利用信号 $f(t)$ 的前 $1\sim 200$ 个系数合成信号的过程。可以看到信号在间断点处出现 Gibbs 过冲现象。但是误差信号还是随着 $n$ 增加逐步能量降低。

▲ 使用前 200 个系数合成信号波形

▲ 使用前2000个系数合成信号波形

▲ 使用前20000个系数合成信号波形

2. 无限个极值

下面表达式给出了一个在周期 $(0,1)$ 内的具有无限多个极大值、极小值的函数：

$f_1(t)=\sin (\frac{\pi }{t}),t\in (0,1)$

▲ 函数 $sin(\pi /t)$ 的信号波形

对这个函数进行离散傅里叶变换（DFT），从 $0.0001\sim 1$ 之间采集 $10^5$ 个数据的，利用 FFT 计算 DFT 的系数，下图绘制了前 $200$ 个系数的幅值。可以看到它的频率迅速衰减到 $0$ 。如果计算后的系数重新进行逆运算，合成后的波形就会与原来信号保持一致。

▲ $sin(\pi /t)$ DFT前 200 个系数幅值

▲ 使用 100000000 采样后计算的 DFT 系数

t = linspace(0.0000000001, 1, 100000000)
data = sin(1/t*pi)
fftdata = fft.fft(data)

plt.plot(abs(fftdata[:20000]))
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("abs(fft(data))")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

下面分别使用 $\sin (\frac{1}{t})$ DFT 前面若干系数来合成对应的波形。

f N ( t ) = real { IFFT [ X [ m : − m ] ] } \large f_N(t)=\text{real}\{\text{IFFT}[X[m:-m]]\} fN​(t)=real{IFFT[X[m:−m]]}

下图显示了合成系数的个数分别从 $1$ 演变到 $300$ 过程中，合成信号波形的变化。毫不夸张的说，这个波形与 $\sin (\frac{1}{t})$ 之间几乎毫无关系。

▲ 使用 $sin(\pi /t)$ DFT前200个系数合成信号的波形演变过程

如果将合成系数的数量增加 $10$ 倍，合成之后的波形在左边的高频波形逐步丰富 ，在右端则会出现越来越高的尖峰。

▲ 使用 $sin(\pi /t)$ DFT前 2000 个系数合成信号的波形演变过程`

▲ 使用 $sin(\pi /t)$ DFT前 30000 个系数合成信号的波形演变过程

3. 绝对可积

下图是在 $(0,1)$ 之间函数：

$f(t)=\frac{1}{t}$

它的面积为无穷大。但是信号的能量为：

$E_f={\int }_0^1{f}^2(t)dt={\int }_0^1\frac{1}{t^2}dt=-\frac{1}{t}{|}_0^{\infty }=\infty$

▲ 信号 $f(t)$ 在 0~1 之间的波形

下面使用信号的 FFT 前 $20000$ 项系数合成信号，随着 $n$ 增加合成信号的变化过程。

▲ 使用信号的 FFT 前 20000 个系数重新合成信号

▌附件

#------------------------------------------------------------
t = linspace(0.0001, 1, 100000)
data = 1/t**2
#------------------------------------------------------------
#area = sum(data)/len(data)
#printf(area)
'''
m = 100
plt.draw()
plt.pause(.25)

pltgif = PlotGIF()
for i in range(200):
    startm = m * (i+1)
    dataf = fft.fft(data)
    dataf[startm:-startm] = 0

    plt.clf()
    plt.plot(t, real(fft.ifft(dataf)))
    plt.xlabel("t")
    plt.ylabel("ifft(data)")
    plt.grid(True)
    plt.title('n = %d'%startm)
    plt.tight_layout()
    plt.axis([0, 1, 0, 20])
    plt.draw()
    plt.pause(.01)
    pltgif.append(plt)

pltgif.save(r'd:\temp\1.gif')
printf('\a')
'''
#------------------------------------------------------------
'''
datafft = fft.fft(data)
plt.plot(abs(datafft[:200]))
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("abs(fft(data))")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()
'''
#------------------------------------------------------------


plt.plot(t, data)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.axis([0,1, 0, 20])
plt.tight_layout()
plt.show()
#------------------------------------------------------------
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

狄利克雷条件（Dirichlet Condition）.

狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。

狄利克雷条件包括三方面：

（1）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；

（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；

（3）在一周期内，信号是绝对可积的。

---

via：

• 复指数形式的傅里叶级数_武恒文_新浪博客 2010 - 04 - 03 10:24:56
  https://blog.sina.com.cn/s/blog_66585b7f0100hmhq.html

• 复信号的傅里叶变换是什么？频谱是什么样子的？3D 频谱图长啥样子？ - 优快云 博客 一枚雷达信号处理领域的小白于 2021 - 12 - 16 10:09:27 发布
  https://blog.youkuaiyun.com/hill5678/article/details/121955419

• 傅里叶变换中的狄利克雷条件-优快云博客 卓晴 于 2021-03-24 00:40:53 发布
  https://blog.youkuaiyun.com/zhuoqingjoking97298/article/details/115107590