注：本文为 “伽马函数” 相关合辑。
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如有内容异常，请看原文。
反常积分最重要的函数之伽马函数
不搞数学的汤老师 于 2021-02-11 16:45:26 发布
伽马函数是数学中具有跨分支意义的重要特殊函数，其理论基础源于数学分析与特殊函数理论，在复分析框架下实现了定义域（从整数域拓展至实数、复数域）与性质的深化，核心是将阶乘运算推广至更广泛数域。
一、伽马函数的定义
伽马函数的定义如下：
Γ ( α ) = ∫ 0 + ∞ x α − 1 e − x d x ( α > 0 ) \Gamma (\alpha ) = \int_{0}^{+ \infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} \, dx \quad (\alpha > 0) Γ(α)=∫0+∞xα−1e−xdx(α>0)
其中， α \alpha α 是一个正实数。该定义通过积分形式引入，具有良好的数学性质，能够将阶乘的概念推广到非整数域。
二、伽马函数的性质
伽马函数具有以下重要性质：
（一）递推关系
Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) \Gamma (\alpha + 1) = \alpha \Gamma (\alpha) Γ(α+1)=αΓ(α)
这一性质表明，伽马函数在参数增加 1 时，与原函数之间存在简单的线性关系。特别地，当 α \alpha α 为正整数 n n n 时，有：
Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma (n + 1) = n! Γ(n+1)=n!
这说明伽马函数是阶乘函数的推广形式，能够处理非整数参数的情况。
（二）特殊值
伽马函数在某些特殊点的值具有重要意义。例如：
Γ ( 1 2 ) = π \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} Γ(21)=π
这一结果在概率论和数理统计中频繁出现，尤其是在正态分布的计算中。
三、伽马函数的应用
伽马函数在数学和物理的多个领域中都有广泛应用。以下通过几个例题展示其应用。
（一）例题 1
计算积分：
∫ 0 + ∞ x 3 e − 2 x d x \int_{0}^{+ \infty} x^{3} e^{-2x} \, dx ∫0+∞x3e−2xdx
解题步骤：
-
变量代换：令 u = 2 x u = 2x u=2x，则 d u = 2 d x du = 2dx du=2dx，从而 d x = d u 2 dx = \frac{du}{2} dx=2du。
-
代入积分：
∫ 0 + ∞ x 3 e − 2 x d x = ∫ 0 + ∞ ( u 2 ) 3 e − u ⋅ d u 2 = 1 16 ∫ 0 + ∞ u 3 e − u d u \int_{0}^{+ \infty} x^{3} e^{-2x} \, dx = \int_{0}^{+ \infty} \left( \frac{u}{2} \right)^{3} e^{-u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{16} \int_{0}^{+ \infty} u^{3} e^{-u} \, du ∫0+∞x3e−2xdx=∫0+∞(2u)3e−u⋅2du=161∫0+∞u3e−udu
- 应用伽马函数定义：
1 16 ∫ 0 + ∞ u 3 e − u d u = 1 16 Γ ( 3 + 1 ) = 1 16 ⋅ 3 ! = 3 8 \frac{1}{16} \int_{0}^{+ \infty} u^{3} e^{-u} \, du = \frac{1}{16} \Gamma (3 + 1) = \frac{1}{16} \cdot 3! = \frac{3}{8} 161∫0+∞u3e−udu=161Γ(3+1)=161⋅3!=83
因此，原积分的值为 3 8 \frac{3}{8} 83。
（二）例题 2
计算积分：
∫ 0 + ∞ x 4 e − x 2 d x \int_{0}^{+ \infty} x^{4} e^{-x^{2}} \, dx ∫0+∞x4e−x2dx
解题步骤：
-
变量代换：令 u = x 2 u = x^{2} u=x2，则 d u = 2 x d x du = 2x \, dx du=2xdx，从而 d x = d u 2 x dx = \frac{du}{2x} dx=2xdu。
-
代入积分：
∫ 0 + ∞ x 4 e − x 2 d x = ∫ 0 + ∞ x 4 e − u ⋅ d u 2 x = 1 2 ∫ 0 + ∞ x 3 e − u d u \int_{0}^{+ \infty} x^{4} e^{-x^{2}} \, dx = \int_{0}^{+ \infty} x^{4} e^{-u} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} x^{3} e^{-u} \, du ∫0+∞x4e−x2dx=∫0+∞x4e−u⋅2xdu=21∫0+∞x3e−udu
-
用 u u u 表示 x 3 x^{3} x3：由于 x 2 = u x^{2} = u x2=u，则 x 3 = u 3 / 2 x^{3} = u^{3/2} x3=u3/2。
-
代入并化简：
1 2 ∫ 0 + ∞ u 3 / 2 e − u d u = 1 2 Γ ( 3 2 + 1 ) \frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} u^{3/2} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{3}{2} + 1 \right) 21∫0+∞u3/2e−udu=21Γ(23+1)
- 应用伽马函数的递推关系：
Γ ( 3 2 + 1 ) = 3 2 Γ ( 1 2 + 1 ) = 3 2 ⋅ 1 2 Γ ( 1 2 ) = 3 2 ⋅ 1 2 ⋅ π = 3 4 π \Gamma \left( \frac{3}{2} + 1 \right) = \frac{3}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{3}{4} \sqrt{\pi} Γ(23+1)=23Γ(21+1)=23⋅21Γ(21)=23⋅21⋅π=43π
- 最终结果：
1 2 ⋅ 3 4 π = 3 8 π \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\pi} = \frac{3}{8} \sqrt{\pi} 21⋅43π=83π
因此，原积分的值为 3 8 π \frac{3}{8} \sqrt{\pi} 83π。
特殊函数入门指南——伽马函数
fell 发布于 2021-04-10 17:33
一、伽马函数定义与性质
（一）定义方式
伽马函数（Gamma Function），又称欧拉第二积分，作为阶乘函数在实数与复数上的扩展，在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学等领域有着重要应用。其常见的定义方式有以下几种：
-
欧拉第二类积分定义：对于复数 z z z，当 Re ( z ) > 0 \text{Re}(z) > 0 Re(z)>0 时，伽马函数定义为
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-t} \, \text{d}t Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt
该积分在 t = 0 t = 0 t=0 附近，由于 t z − 1 t^{z - 1} tz−1 在 Re ( z ) > 0 \text{Re}(z) > 0 Re(z)>0 时是可积的，且当 t t t 足够大时，被积函数中的指数函数 e − t e^{-t} e−t 具有递降特性，保证了积分收敛。
-
泰勒展开拓展到复平面的定义：对上述定义中 e − t e^{-t} e−t 进行泰勒展开，可以将伽马函数的定义拓展到复平面，其表达式为
Γ ( z ) = ∫ 1 ∞ t z − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! ( z + n ) \Gamma(z) = \int_{1}^{\infty} \frac{t^{z - 1}}{e^{t}} \, \text{d}t + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!(z + n)} Γ(z)=∫1∞ettz−1dt+n=0∑∞n!(z+n)(−1)n
通过这种方式，伽马函数的定义域从 Re ( z ) > 0 \text{Re}(z) > 0 Re(z)>0 扩展到了整个复平面，除了一些特殊点。
-
无穷乘积定义：伽马函数还可以用无穷乘积来定义，即
Γ ( z ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ { ( 1 + z n ) − 1 ( 1 + 1 n ) z } \Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n = 1}^{\infty} \left\{ \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^z \right\} Γ(z)=z1n=1∏∞{(1+nz)−1(1+n1)z}
这种定义方式对于任何除了 z = − n z = -n z=−n（ n n n 为正整数）以外的 z z z 都是成立的，为伽马函数的研究提供了新的视角和方法。
（二）函数特性
伽马函数 Γ ( z ) \Gamma(z) Γ(z) 是亚纯函数。这意味着它在复平面上除了零和负整数点以外，其余部分都是解析的，零和负整数点是其奇点，且为一阶极点。在这些奇点处，函数的性质与解析区域有所不同，例如在极点处函数值趋于无穷大。
而 1 Γ ( z ) \frac{1}{\Gamma(z)} Γ(z)1 是全纯函数，即在整个复平面上处处解析。全纯函数具有良好的性质，如可以进行泰勒展开等，这使得 1 Γ ( z ) \frac{1}{\Gamma(z)} Γ(z)1 在一些理论分析和计算中具有特殊的优势。
二、递推关系
（一）递推公式
伽马函数满足递推关系：
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) \Gamma(z + 1) = z \Gamma(z) Γ(z+1)=zΓ(z)
这一性质可通过分部积分法进行证明。对于积分 Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t \Gamma(z + 1) = \int_{0}^{\infty} t^{z} e^{-t} \, \text{d}t Γ(z+1)=∫0∞tze−tdt，利用分部积分公式 ∫ a b u d v = u v ∣ a b − ∫ a b v d u \int_{a}^{b} u \, \text{d}v = uv|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \, \text{d}u ∫abudv=uv∣ab−∫abvdu，令 u = t z u = t^{z} u=tz， d v = e − t d t \text{d}v = e^{-t} \, \text{d}t dv=e−tdt，则 d u = z t z − 1 d t \text{d}u = z t^{z - 1} \, \text{d}t du=ztz−1dt， v = − e − t v = -e^{-t} v=−e−t。
代入分部积分公式可得：
Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t = [ − e − t t z ] 0 + ∞ + z ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t = z Γ ( z ) \begin{align*} \Gamma(z + 1) &= \int_{0}^{\infty} t^{z} e^{-t} \, \text{d}t \\ &= \left[ -e^{-t} t^{z} \right]_{0}^{+\infty} + z \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-t} \, \text{d}t \\ &= z \Gamma(z) \end{align*} Γ(z+1)=∫0∞tze−tdt=[−e−ttz]0+∞+z∫0∞tz−1e−tdt=zΓ(z)
其中 [ − e − t t z ] 0 + ∞ \left[ -e^{-t} t^{z} \right]_{0}^{+\infty} [−e−ttz]0+∞，当 t → + ∞ t \to +\infty t→+∞ 时，指数函数 e − t e^{-t} e−t 的衰减速度比任何幂函数 t z t^{z} tz 都快，所以 lim t → + ∞ ( − e − t t z ) = 0 \lim_{t \to +\infty} (-e^{-t} t^{z}) = 0 limt→+∞(−e−ttz)=0；当 t = 0 t = 0 t=0 时， − e − 0 t z = 0 -e^{-0} t^{z} = 0 −e−0tz=0（当 Re ( z ) > 0 \text{Re}(z) > 0 Re(z)>0 时）。
（二）整数情况
当 z z z 为整数时，通过递推关系可以得到：
Γ ( z + 1 ) = z ( z − 1 ) ⋯ 2 ⋅ 1 = z ! \Gamma(z + 1) = z (z - 1) \cdots 2 \cdot 1 = z! Γ(z+1)=z(z−1)⋯2⋅1=z!
例如，当 z = 1 z = 1 z=1 时， Γ ( 2 ) = Γ ( 1 + 1 ) = 1 × Γ ( 1 ) \Gamma(2) = \Gamma(1 + 1) = 1 \times \Gamma(1) Γ(2)=Γ(1+1)=1×Γ(1)，而 Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t = 1 \Gamma(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} \, \text{d}t = 1 Γ(1)=∫0∞e−tdt=1，所以 Γ ( 2 ) = 1 \Gamma(2) = 1 Γ(2)=1；当 z = 2 z = 2 z=2 时， Γ ( 3 ) = Γ ( 2 + 1 ) = 2 × Γ ( 2 ) = 2 × 1 = 2 \Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2 \times \Gamma(2) = 2 \times 1 = 2 Γ(3)=Γ(2+1)=2×Γ(2)=2×1=2；当 z = 3 z = 3 z=3 时， Γ ( 4 ) = Γ ( 3 + 1 ) = 3 × Γ ( 3 ) = 3 × 2 × 1 = 6 \Gamma(4) = \Gamma(3 + 1) = 3 \times \Gamma(3) = 3 \times 2 \times 1 = 6 Γ(4)=Γ(3+1)=3×Γ(3)=3×2×1=6，以此类推。这表明伽马函数是阶乘函数在实数与复数上的扩展，对于正整数 n n n， Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n) = (n - 1)! Γ(n)=(n−1)!。
（三）含正整数公式
设 n n n 为一正整数，此时有公式：
Γ ( z ) = 1 ( z ) n ∫ 0 ∞ t z + n − 1 e − t d t \Gamma(z) = \frac{1}{(z)_n} \int_{0}^{\infty} t^{z + n - 1} e^{-t} \, \text{d}t Γ(z)=(z)n1∫0∞tz+n−1e−tdt
其中 ( z ) n (z)_n (z)n 为波符曼符号（Pochhammer symbol），定义为：
( z ) n = z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = Γ ( z + n ) Γ ( z ) (z)_n = z(z + 1) \cdots (z + n - 1) = \frac{\Gamma(z + n)}{\Gamma(z)} (z)n=z(z+1)⋯(z+n−1)=Γ(z)Γ(z+n)
波符曼符号在许多数学领域，如超几何函数中经常出现，它与伽马函数之间存在着紧密的联系。通过这种联系，可以将伽马函数的一些性质和计算方法应用到涉及波符曼符号的问题中。
（四）奇点与留数
由前面所述，伽马函数 Γ ( z ) \Gamma(z) Γ(z) 是一半纯函数，所有的负整数点都是它的奇点，且为一阶极点。对于极点 z = − n z = -n z=−n（ n n n 为正整数），其留数计算如下：
Res [ Γ ( z ) ; − n ] = lim z → − n Γ ( z ) ( z + n ) = lim z → − n Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n + 1 ) = ( − 1 ) n n ! \begin{align*} \text{Res}[\Gamma(z); -n] &= \lim_{z \to -n} \Gamma(z)(z + n) \\ &= \lim_{z \to -n} \frac{\Gamma(z + n + 1)}{z(z + 1) \cdots (z + n + 1)} \\ &= \frac{(-1)^n}{n!} \end{align*} Res[Γ(z);−n]=z→−nlimΓ(z)(z+n)=z→−nlimz(z+1)⋯(z+n+1)Γ(z+n+1)=n!(−1)n
计算过程中，利用了伽马函数的递推关系 Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) \Gamma(z + 1) = z \Gamma(z) Γ(z+1)=zΓ(z)，将 Γ ( z ) \Gamma(z) Γ(z) 转化为 Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) \frac{\Gamma(z + n + 1)}{z(z + 1) \cdots (z + n)} z(z+1)⋯(z+n)Γ(z+n+1)，然后求极限得到极点处的留数。留数在复变函数的积分计算、级数展开等方面有着重要的应用，对于理解伽马函数在奇点附近的性质也具有关键作用。
三、无穷乘积
（一）欧拉无穷乘积
令
H n ( z ) = ∫ 0 n ( 1 − t n ) n t z − 1 d t H_n(z) = \int_{0}^{n} \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n t^{z - 1} \, \text{d}t Hn(z)=∫0n(1−nt)ntz−1dt
由于
e − t = lim n → ∞ ( 1 − t n ) n e^{-t} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n e−t=n→∞lim(1−nt)n
当 n → ∞ n \to \infty n→∞ 时， H n ( z ) → Γ ( z ) H_n(z) \to \Gamma(z) Hn(z)→Γ(z)。下面给出证明过程：
Γ ( z ) − lim n → ∞ H n ( z ) = lim n → ∞ { ∫ 0 n [ e − t − ( 1 − t n ) n ] t z − 1 d t + ∫ n ∞ e − t t z − 1 d t } = lim n → ∞ ∫ 0 n [ e − t − ( 1 − t n ) n ] t z − 1 d t \begin{align*} \Gamma(z) - \lim_{n \to \infty} H_n(z) &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \int_{0}^{n} \left[ e^{-t} - \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \right] t^{z - 1} \, \text{d}t + \int_{n}^{\infty} e^{-t} t^{z - 1} \, \text{d}t \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} \left[ e^{-t} - \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \right] t^{z - 1} \, \text{d}t \end{align*} Γ(z)−n→∞limHn(z)=n→∞lim{∫0n[e−t−(1−nt)n]tz−1dt+∫n∞e−ttz−1dt}=n→∞lim∫0n[e−t−(1−nt)n]tz−1dt
通过以下不等式关系来证明上式极限为 0 0 0：由不等式 1 + t ≤ e − t ≤ 1 1 − t 1 + t \leq e^{-t} \leq \frac{1}{1 - t} 1+t≤e−t≤1−t1（ t > 0 t > 0 t>0），可得
( 1 − t n ) n ≤ e − t ≤ ( 1 + t n ) − n \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \leq e^{-t} \leq \left(1 + \frac{t}{n}\right)^{-n} (1−nt)n≤e−t≤(1+nt)−n
进而有
0 ≤ e − t − ( 1 − t n ) n ≤ e − t ( 1 − e t ( 1 − t n ) n ) ≤ e − t ( 1 − ( 1 − t 2 n 2 ) n ) ≤ e − t ( t 2 n ) \begin{align*} 0 &\leq e^{-t} - \left(1 - \frac{t}{n}\right)^{n} \\ &\leq e^{-t} \left(1 - e^{t} \left(1 - \frac{t}{n}\right)^{n}\right) \\ &\leq e^{-t} \left(1 - \left(1 - \frac{t^2}{n^2}\right)^n\right) \\ &\leq e^{-t} \left(\frac{t^2}{n}\right) \end{align*} 0≤e−t−(1−nt)n≤e−t(1−et(1−nt)n)≤e−t(1−(1−n2t2)n)≤e−t(nt2)
这里最后一步用到了伯努利不等式 1 − n x ≤ ( 1 − x ) n 1 - nx \leq (1 - x)^n 1−nx≤(1−x)n（ x ∈ [ 0 , 1 ] x \in [0,1] x∈[0,1]）。
基于上述不等式，可得
lim n → ∞ ∣ ∫ 0 n [ e − t − ( 1 − t n ) n ] t z − 1 d t ∣ ≤ lim n → ∞ ∣ 1 n ∫ 0 n e − t t z + 1 d t ∣ = 0 \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left| \int_{0}^{n} \left[ e^{-t} - \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \right] t^{z - 1} \, \text{d}t \right| &\leq \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1}{n} \int_{0}^{n} e^{-t} t^{z + 1} \, \text{d}t \right| \\ &= 0 \end{align*} n→∞lim ∫0n[e−t−(1−nt)n]tz−1dt ≤n→∞lim n1∫0ne−ttz+1dt =0
从而证明了 n → ∞ n \to \infty n→∞ 时， H n ( z ) → Γ ( z ) H_n(z) \to \Gamma(z) Hn(z)→Γ(z)。
接下来推导 H n ( z ) H_n(z) Hn(z) 的表达式，对 H n ( z ) H_n(z) Hn(z) 进行变量代换，令 t n = u \frac{t}{n} = u nt=u，则 t = n u t = nu t=nu， d t = n d u \text{d}t = n \, \text{d}u dt=ndu，于是有
H n ( z ) = ∫ 0 n ( 1 − t n ) n t z − 1 d t = n z ∫ 0 1 ( 1 − u ) n u z − 1 d u = n z u z ( 1 − u ) n z ∣ 0 1 + n z n z ∫ 0 1 ( 1 − u ) n − 1 u z d t = ⋯ = n z n ( n − 1 ) ⋯ 2 ⋅ 1 z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) ∫ 0 1 u z + n − 1 d u = 1 ⋅ 2 ⋯ n z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) n z \begin{align*} H_n(z) &= \int_{0}^{n} \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n t^{z - 1} \, \text{d}t \\ &= n^z \int_{0}^{1} (1 - u)^n u^{z - 1} \, \text{d}u \\ &= n^z \frac{u^z (1 - u)^n}{z} \bigg|_{0}^{1} + \frac{n^{z} n}{z} \int_{0}^{1} (1 - u)^{n - 1} u^{z} \, \text{d}t \\ &= \cdots = \frac{n^z n (n - 1) \cdots 2 \cdot 1}{z (z + 1) \cdots (z + n - 1)} \int_{0}^{1} u^{z + n - 1} \, \text{d}u \\ &= \frac{1 \cdot 2 \cdots n}{z (z + 1) \cdots (z + n)} n^z \end{align*} Hn(z)=∫0n(1−nt)ntz−1dt=nz∫01(1−u)nuz−1du=nzzuz(1−u)n 01+znzn∫01(1−u)n−1uzdt=⋯=z(z+1)⋯(z+n−1)nzn(n−1)⋯2⋅1∫01uz+n−1du=z(z+1)⋯(z+n)1⋅2⋯nnz
所以
Γ ( z ) = lim n → ∞ 1 ⋅ 2 ⋯ n z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) n z = lim n → ∞ ( 1 z ) ( 1 z + 1 ) ( 2 z + 2 ) ⋯ ( n z + n ) ( 1 + 1 1 ) z ( 1 + 1 2 ) z ⋯ ( 1 + 1 n − 1 ) z = lim n → ∞ 1 z ∏ k = 1 n ( k z + k ) ∏ k = 1 n − 1 ( 1 + 1 k ) z = 1 z ∏ k = 1 ∞ { ( k z + k ) ( 1 + 1 k ) z } = 1 z ∏ n = 1 ∞ { ( 1 + z n ) − 1 ( 1 + 1 n ) z } \begin{align*} \Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdots n}{z (z + 1) \cdots (z + n)} n^z \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{z} \right) \left( \frac{1}{z + 1} \right) \left( \frac{2}{z + 2} \right) \cdots \left( \frac{n}{z + n} \right) \left(1 + \frac{1}{1}\right)^z \left(1 + \frac{1}{2}\right)^z \cdots \left(1 + \frac{1}{n - 1}\right)^z \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{z} \prod_{k = 1}^{n} \left( \frac{k}{z + k} \right) \prod_{k = 1}^{n - 1} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^z \\ &= \frac{1}{z} \prod_{k = 1}^{\infty} \left\{ \left( \frac{k}{z + k} \right) \left(1 + \frac{1}{k}\right)^z \right\} \\ &= \frac{1}{z} \prod_{n = 1}^{\infty} \left\{ \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^z \right\} \end{align*} Γ(z)=n→∞limz(z+1)⋯(z+n)1⋅2⋯nnz=n→∞lim(z1)(z+11)(z+22)⋯(z+nn)(1+11)z(1+21)z⋯(1+n−11)z=n→∞limz1k=1∏n(z+kk)k=1∏n−1(1+k1)z=z1k=1∏∞{(z+kk)(1+k1)z}=z1n=1∏∞{(1+nz)−1(1+n1)z}
这便是欧拉无穷乘积。这种定义方式对于任何除了 z = − n z = -n z=−n（ n n n 为正整数）以外的 z z z 都是成立的，因此可作为伽马函数的普遍定义，它从无穷乘积的角度刻画了伽马函数，为深入研究伽马函数的性质提供了新的工具和视角。
（二）魏氏无穷乘积
由前面得到的欧拉无穷乘积
Γ ( z ) = 1 z ∏ k = 1 ∞ ( 1 + z k ) − 1 ( lim n → ∞ n z ) \Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{k = 1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} \left( \lim_{n \to \infty} n^z \right) Γ(z)=z1k=1∏∞(1+kz)−1(n→∞limnz)
对 n z n^z nz 进行变形， n z = exp ( z ln n ) n^z = \exp{(z \ln n)} nz=exp(zlnn)，进一步展开为
n z = exp ( z ln n ) = exp ( z ( ln n − ∑ k = 1 n 1 k ) + ∑ k = 1 n z k ) = exp ( z ( ln n − ∑ k = 1 n 1 k ) ) ∏ k = 1 n e z k \begin{align*} n^z &= \exp{(z \ln n)} \\ &= \exp\left(z \left( \ln n - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \right) + \sum_{k = 1}^{n} \frac{z}{k} \right) \\ &= \exp{\left(z \left( \ln n - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \right)\right)} \prod_{k = 1}^{n} e^{\frac{z}{k}} \end{align*} nz=exp(zlnn)=exp(z(lnn−k=1∑nk1)+k=1∑nkz)=exp(z(lnn−k=1∑nk1))k=1∏nekz
当 n → ∞ n \to \infty n→∞ 时， lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − ln n ) = γ \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \right) = \gamma limn→∞(∑k=1nk1−lnn)=γ，这里的 γ \gamma γ 被称为欧拉常数（Euler - Mascheroni Constant），其近似值为 0.57721566490 ⋯ 0.57721566490 \cdots 0.57721566490⋯，是瑞士数学家莱昂哈德・欧拉（Leonhard Euler）在 1734 年提出的数学常数，目前尚无法论证其是有理数还是无理数。
将 n z n^z nz 的展开式代入欧拉无穷乘积中，可得
Γ ( z ) = 1 z ∏ k = 1 ∞ ( 1 + z k ) − 1 exp ( − γ z ) ∏ k = 1 ∞ e z k = 1 z e − γ z ∏ n = 1 ∞ { ( 1 + z n ) − 1 e z n } \begin{align*} \Gamma(z) &= \frac{1}{z} \prod_{k = 1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} \exp\left( -\gamma z \right) \prod_{k = 1}^{\infty} e^{\frac{z}{k}} \\ &= \frac{1}{z} e^{-\gamma z} \prod_{n = 1}^{\infty} \left\{ \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{\frac{z}{n}} \right\} \end{align*} Γ(z)=z1k=1∏∞(1+kz)−1exp(−γz)k=1∏∞ekz=z1e−γzn=1∏∞{(1+nz)−1enz}
为了形式上更加美观，魏氏乘积通常写成如下形式：
1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ { ( 1 + z n ) e − z n } \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n = 1}^{\infty} \left\{ \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}} \right\} Γ(z)1=zeγzn=1∏∞{(1+nz)e−nz}
魏氏无穷乘积公式从另一个角度展示了伽马函数的结构，与欧拉无穷乘积公式相互补充，共同揭示了伽马函数与无穷乘积、欧拉常数之间的紧密联系，对于研究伽马函数在复平面上的解析性质、函数的渐近行为等方面具有重要意义。
四、极限性质
伽马函数具有以下几个重要的极限性质：
-
lim z → 0 + Γ ( z ) = + ∞ \lim_{z \to 0^+} \Gamma(z) = +\infty limz→0+Γ(z)=+∞，该结论从伽马函数的定义和性质出发，当 z z z 从正方向趋近于 0 0 0 时，积分 Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-t} \, \text{d}t Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt 中， t z − 1 t^{z - 1} tz−1 在 t = 0 t = 0 t=0 附近的行为导致积分值趋于正无穷。例如，当 z z z 非常小时， t z − 1 t^{z - 1} tz−1 在 t = 0 t = 0 t=0 处的奇异性增强，而指数函数 e − t e^{-t} e−t 在 t t t 较小时的影响相对较小，所以整个积分值会趋向于正无穷。
-
Γ ( z ) = lim n → ∞ ∫ 0 n t z − 1 ( 1 − t n ) n d t \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} t^{z - 1} \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n \, \text{d}t Γ(z)=limn→∞∫0ntz−1(1−nt)ndt，此性质是通过前面介绍的 H n ( z ) = ∫ 0 n ( 1 − t n ) n t z − 1 d t H_n(z) = \int_{0}^{n} \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n t^{z - 1} \, \text{d}t Hn(z)=∫0n(1−nt)ntz−1dt，当 n → ∞ n \to \infty n→∞ 时， H n ( z ) → Γ ( z ) H_n(z) \to \Gamma(z) Hn(z)→Γ(z) 得到的，它体现了伽马函数与有限区间上积分的极限关系。
-
Γ ( z ) = lim n → ∞ 1 ⋅ 2 ⋯ n z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) n z \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdots n}{z (z + 1) \cdots (z + n)} n^z Γ(z)=limn→∞z(z+1)⋯(z+n)1⋅2⋯nnz，这是欧拉无穷乘积推导过程中的一个中间结果，从无穷乘积的角度反映了伽马函数与数列极限的联系。
-
lim n → ∞ Γ ( z + n ) Γ ( z ) n z = 1 \lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(z + n)}{\Gamma(z) n^z} = 1 limn→∞Γ(z)nzΓ(z+n)=1，下面对该性质进行证明：
已知：
Γ ( z ) = lim n → ∞ 1 ⋅ 2 ⋯ n z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) n z = lim n → ∞ Γ ( n + 1 ) Γ ( z ) Γ ( z + n + 1 ) n z \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 2 \cdots n}{z (z + 1) \cdots (z + n)} n^z = \lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(n + 1) \Gamma(z)}{\Gamma(z + n + 1)} n^z Γ(z)=n→∞limz(z+1)⋯(z+n)1⋅2⋯nnz=n→∞limΓ(z+n+1)Γ(n+1)Γ(z)nz
这里利用了伽马函数对于正整数 n n n， Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n) = (n - 1)! Γ(n)=(n−1)!，即 Γ ( n + 1 ) = n ! \Gamma(n + 1) = n! Γ(n+1)=n!，以及伽马函数的递推关系进行转化。
于是：
lim n → ∞ n Γ ( n ) ( z + n ) Γ ( z + n ) n z = lim n → ∞ Γ ( n ) Γ ( z + n ) n z = 1 \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{n \Gamma(n)}{(z + n) \Gamma(z + n)} n^z &= \lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(n)}{\Gamma(z + n)} n^z \\ &= 1 \end{align*} n→∞lim(z+n)Γ(z+n)nΓ(n)nz=n→∞limΓ(z+n)Γ(n)nz=1
在推导过程中，通过对伽马函数的表达式进行合理的变形和化简，利用极限的运算法则，最终证明了 lim n → ∞ Γ ( z + n ) Γ ( z ) n z = 1 \lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(z + n)}{\Gamma(z) n^z} = 1 limn→∞Γ(z)nzΓ(z+n)=1。这个性质在一些涉及伽马函数的极限计算、级数展开以及渐近分析等方面有着重要的应用，它为研究伽马函数在 n n n 趋于无穷时的行为提供了有力的工具。
五、欧拉反射公式（余元公式）
（一）公式推导
从魏氏无穷乘积公式
Γ ( z ) = 1 z e − γ z ∏ n = 1 ∞ { ( 1 + z n ) − 1 e z n } \Gamma(z) = \frac{1}{z} e^{-\gamma z} \prod_{n = 1}^{\infty} \left\{ \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{\frac{z}{n}} \right\} Γ(z)=z1e−γzn=1∏∞{(1+nz)−1enz}
出发，计算 Γ ( z ) Γ ( − z ) \Gamma(z) \Gamma(-z) Γ(z)Γ(−z)：
Γ ( z ) Γ ( − z ) = − 1 z 2 ∏ n = 1 ∞ { ( 1 + z n ) − 1 e z n } ∏ n = 1 ∞ { ( 1 − z n ) − 1 e − z n } = − 1 z 2 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) − 1 \begin{align*} \Gamma(z) \Gamma(-z) &= -\frac{1}{z^2} \prod_{n = 1}^{\infty} \left\{ \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{\frac{z}{n}} \right\} \prod_{n = 1}^{\infty} \left\{ \left(1 - \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{-\frac{z}{n}} \right\} \\ &= -\frac{1}{z^2} \prod_{n = 1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right)^{-1} \end{align*} Γ(z)Γ(−z)=−z21n=1∏∞{(1+nz)−1enz}n=1∏∞{(1−nz)−1e−nz}=−z21n=1∏∞(1−n2z2)−1
考虑正弦函数 sin π z π z \frac{\sin \pi z}{\pi z} πzsinπz 的无穷乘积展开式：
sin π z π z = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) \frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n = 1}^{\infty} \left(1 - \frac{z^2}{n^2}\right) πzsinπz=n=1∏∞(1−n2z2)
将 sin π z π z \frac{\sin \pi z}{\pi z} πzsinπz 的无穷乘积展开式代入 Γ ( z ) Γ ( − z ) \Gamma(z) \Gamma(-z) Γ(z)Γ(−z) 的表达式中，可得：
Γ ( z ) Γ ( − z ) = − π z sin π z \Gamma(z) \Gamma(-z) = -\frac{\pi}{z \sin \pi z} Γ(z)Γ(−z)=−zsinπzπ
又因为 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = Γ ( z ) ( − z ) Γ ( − z ) \Gamma(z) \Gamma(1 - z) = \Gamma(z) (-z) \Gamma(-z) Γ(z)Γ(1−z)=Γ(z)(−z)Γ(−z)，所以将 Γ ( z ) Γ ( − z ) = − π z sin π z \Gamma(z) \Gamma(-z) = -\frac{\pi}{z \sin \pi z} Γ(z)Γ(−z)=−zsinπzπ 代入 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = Γ ( z ) ( − z ) Γ ( − z ) \Gamma(z) \Gamma(1 - z) = \Gamma(z) (-z) \Gamma(-z) Γ(z)Γ(1−z)=Γ(z)(−z)Γ(−z)，最终得到著名的余元公式：
Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin π z \Gamma(z) \Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} Γ(z)Γ(1−z)=sinπzπ
余元公式建立了伽马函数在 z z z 与 1 − z 1 - z 1−z 处的关系，揭示了伽马函数的一种对称性，在伽马函数的计算、理论分析以及与其他函数的关系研究中都具有重要意义。
（二）特殊值与瓦里斯乘积
当 z = 1 2 z = \frac{1}{2} z=21 时，代入余元公式 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin π z \Gamma(z) \Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} Γ(z)Γ(1−z)=sinπzπ，可得：
Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 − 1 2 ) = π sin ( π × 1 2 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ) = π 1 ( Γ ( 1 2 ) ) 2 = π \begin{align*} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(1 - \frac{1}{2}\right) &= \frac{\pi}{\sin\left(\pi \times \frac{1}{2}\right)} \\ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{\pi}{1} \\ \left(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right)^2 &= \pi \end{align*} Γ(21)Γ(1−21)Γ(21)Γ(21)(Γ(21))2=sin(π×21)π=1π=π
从而得到 Γ ( 1 2 ) = π \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} Γ(21)=π。这是伽马函数在 z = 1 2 z = \frac{1}{2} z=21 处的一个重要特殊值，在很多涉及伽马函数的积分计算和公式推导中经常用到。
将 z = 1 2 z = \frac{1}{2} z=21 代入魏氏乘积进一步推导，可得：
π = Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 − 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) ( − 1 2 ) Γ ( − 1 2 ) = 1 2 1 ( 1 2 ) 2 ∏ n = 1 ∞ 1 1 − ( 1 2 n ) 2 = 2 ∏ n = 1 ∞ ( 2 n ) 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) \begin{align*} \pi &= \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(1 - \frac{1}{2}\right) \\ &= \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - \left(\frac{1}{2n}\right)^2} \\ &= 2 \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n - 1)(2n + 1)} \end{align*} π=Γ(21)Γ(1−21)=Γ(21)(−21)Γ(−21)=21(21)21n=1∏∞1−(2n1)21=2n=1∏∞(2n−1)(2n+1)(2n)2
即
∏ n = 1 ∞ ( 2 n ) 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) = π 2 \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{\pi}{2} n=1∏∞(2n−1)(2n+1)(2n)2=2π
这就是著名的瓦里斯（Wallis）乘积。瓦里斯乘积是关于圆周率 π \pi π 的一个无穷乘积表达式，它从无穷乘积的角度给出了 π \pi π 的一种表示形式，在数学分析、数值计算等领域有着一定的应用，例如在一些关于 π \pi π 的近似计算和理论研究中可以作为重要的参考公式。
六、乘法定理与勒让德倍元公式
（一）乘法定理
伽马函数的乘法定理公式为：
∏ k = 1 n − 1 Γ ( z + k n ) = ( 2 π ) n − 1 2 n 1 2 − n z Γ ( n z ) \prod_{k = 1}^{n - 1} \Gamma\left(z + \frac{k}{n}\right) = (2\pi)^{\frac{n - 1}{2}} n^{\frac{1}{2} - nz} \Gamma(nz) k=1∏n−1Γ(z+nk)=(2π)2n−1n21−nzΓ(nz)
下面进行证明：
记
ϕ n ( z ) = n n z n Γ ( n z ) ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n ) \phi_n(z) = \frac{n^{nz}}{n \Gamma(nz)} \prod_{k = 0}^{n - 1} \Gamma\left(z + \frac{k}{n}\right) ϕn(z)=nΓ(nz)nnzk=0∏n−1Γ(z+nk)
则：
ϕ n ( z ) = n n z − 1 Γ ( n z ) ∏ k = 0 n − 1 lim m → ∞ m ! ( z + k n ) ( z + k n + 1 ) ⋯ ( z + k n + m ) m z + k n = n n z − 1 Γ ( n z ) ∏ k = 0 n − 1 lim m → ∞ ( m − 1 ) ! ( z + k n ) ( z + k n + 1 ) ⋯ ( z + k n + m − 1 ) m z + k n = n n z − 1 ∏ k = 0 n − 1 lim m → ∞ ( m − 1 ) ! n m ( n z + k ) ( n z + k + n ) ⋯ ( n z + k + n m − n ) m z + k n lim τ → ∞ τ ! n z ( n z + 1 ) ⋯ ( n z + τ ) τ n z = n n z − 1 lim m → ∞ [ ( m − 1 ) ! ] n n n m ( n m − 1 ) ! ( n m ) n z m n z + 1 2 ( n − 1 ) = lim m → ∞ [ ( m − 1 ) ! ] n n n m − 1 ( n m − 1 ) ! m 1 2 ( n − 1 ) = ψ ( n ) \begin{align*} \phi_n(z) &= \frac{n^{nz - 1}}{\Gamma(nz)} \prod_{k = 0}^{n - 1} \lim_{m \to \infty} \frac{m!}{\left(z + \frac{k}{n}\right) \left(z + \frac{k}{n} + 1\right) \cdots \left(z + \frac{k}{n} + m\right)} m^{z + \frac{k}{n}} \\ &= \frac{n^{nz - 1}}{\Gamma(nz)} \prod_{k = 0}^{n - 1} \lim_{m \to \infty} \frac{(m - 1)!}{\left(z + \frac{k}{n}\right) \left(z + \frac{k}{n} + 1\right) \cdots \left(z + \frac{k}{n} + m - 1\right)} m^{z + \frac{k}{n}} \\ &= n^{nz - 1} \frac{\prod_{k = 0}^{n - 1} \lim_{m \to \infty} \frac{(m - 1)! n^m}{\left(nz + k\right) \left(nz + k + n\right) \cdots \left(nz + k + nm - n\right)} m^{z + \frac{k}{n}}}{\lim_{\tau \to \infty} \frac{\tau!}{nz(nz + 1) \cdots (nz + \tau)} \tau^{nz}} \\ &= n^{nz - 1} \lim_{m \to \infty} \frac{[(m - 1)!]^n n^{nm}}{(nm - 1)! (nm)^{nz}} m^{nz + \frac{1}{2}(n - 1)} \\ &= \lim_{m \to \infty} \frac{[(m - 1)!]^n n^{nm - 1}}{(nm - 1)!} m^{\frac{1}{2}(n - 1)} \\ &= \psi(n) \end{align*} ϕn(z)=Γ(nz)nnz−1k=0∏n−1m→∞lim(z+nk)(z+nk+1)⋯(z+nk+m)m!mz+nk=Γ(nz)nnz−1k=0∏n−1m→∞lim(z+nk)(z+nk+1)⋯(z+nk+m−1)(m−1)!mz+nk=nnz−1limτ→∞nz(nz+1)⋯(nz+τ)τ!τnz∏k=0n−1limm→∞(nz+k)(nz+k+n)⋯(nz+k+nm−n)(m−1)!nmmz+nk=nnz−1m→∞lim(nm−1)!(nm)nz[(m−1)!]nnnmmnz+21(n−1)=m→∞lim(nm−1)![(m−1)!]nnnm−1m21(n−1)=ψ(n)
上述推导过程中，通过多次利用伽马函数的无穷乘积定义形式，将 Γ ( z + k n ) \Gamma\left(z + \frac{k}{n}\right) Γ(z+nk) 和 Γ ( n z ) \Gamma(nz) Γ(nz) 展开为无穷乘积的极限形式，然后进行化简和整理。
这表明 ϕ n ( z ) \phi_n(z) ϕn(z) 的取值仅与变量 n n n 相关，而与 z z z 无关。
因此，令 z = 1 n z = \frac{1}{n} z=n1 即有：
ϕ n ( z ) = ∏ k = 0 n − 1 Γ ( 1 + k n ) = ∏ k = 1 n − 1 Γ ( k n ) = ∏ k = 1 n − 1 Γ ( n − k n ) \begin{align*} \phi_n(z) &= \prod_{k = 0}^{n - 1} \Gamma\left(\frac{1 + k}{n}\right) \\ &= \prod_{k = 1}^{n - 1} \Gamma\left(\frac{k}{n}\right) \\ &= \prod_{k = 1}^{n - 1} \Gamma\left(\frac{n - k}{n}\right) \end{align*} ϕn(z)=k=0∏n−1Γ(n1+k)=k=1∏n−1Γ(nk)=k=1∏n−1Γ(nn−k)
于是：
( ϕ n ( z ) ) 2 = ∏ k = 1 n − 1 Γ { ( k n ) Γ ( 1 − k n ) } = π n − 1 1 ∏ k = 1 n − 1 sin π k n = ( 2 π ) n − 1 n \begin{align*} \left(\phi_n(z)\right)^2 &= \prod_{k = 1}^{n - 1} \Gamma\left\{ \left(\frac{k}{n}\right) \Gamma\left(1 - \frac{k}{n}\right) \right\} \\ &= \pi^{n - 1} \frac{1}{\prod_{k = 1}^{n - 1} \sin \frac{\pi k}{n}} \\ &= \frac{(2\pi)^{n - 1}}{n} \end{align*} (ϕn(z))2=k=1∏n−1Γ{(nk)Γ(1−nk)}=πn−1∏k=1n−1sinnπk1=n(2π)n−1
在这一步推导中，利用了余元公式 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin π z \Gamma(z) \Gamma(1 - z) = \frac{\pi}{\sin \pi z} Γ(z)Γ(1−z)=sinπzπ，将 Γ ( k n ) Γ ( 1 − k n ) \Gamma\left(\frac{k}{n}\right) \Gamma\left(1 - \frac{k}{n}\right) Γ(nk)Γ(1−nk) 替换为 π sin π k n \frac{\pi}{\sin \frac{\pi k}{n}} sinnπkπ，然后通过三角函数的一些性质和特殊值进行化简得到结果。
将 ϕ n ( z ) = n n z n Γ ( n z ) ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n ) \phi_n(z) = \frac{n^{nz}}{n \Gamma(nz)} \prod_{k = 0}^{n - 1} \Gamma\left(z + \frac{k}{n}\right) ϕn(z)=nΓ(nz)nnz∏k=0n−1Γ(z+nk) 带入即得乘法定理：
∏ k = 1 n − 1 Γ ( z + k n ) = ( 2 π ) n − 1 2 n 1 2 − n z Γ ( n z ) \prod_{k = 1}^{n - 1} \Gamma\left(z + \frac{k}{n}\right) = (2\pi)^{\frac{n - 1}{2}} n^{\frac{1}{2} - nz} \Gamma(nz) k=1∏n−1Γ(z+nk)=(2π)2n−1n21−nzΓ(nz)
（二）勒让德倍元公式
当 n = 2 n = 2 n=2 时，代入乘法定理公式
∏ k = 1 n − 1 Γ ( z + k n ) = ( 2 π ) n − 1 2 n 1 2 − n z Γ ( n z ) \prod_{k = 1}^{n - 1} \Gamma\left(z + \frac{k}{n}\right) = (2\pi)^{\frac{n - 1}{2}} n^{\frac{1}{2} - nz} \Gamma(nz) k=1∏n−1Γ(z+nk)=(2π)2n−1n21−nzΓ(nz)
中，可得：
Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = ( 2 π ) 2 − 1 2 × 2 1 2 − 2 z Γ ( 2 z ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) \begin{align*} \Gamma(z) \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) &= (2\pi)^{\frac{2 - 1}{2}} \times 2^{\frac{1}{2} - 2z} \Gamma(2z) \\ &= 2^{1 - 2z} \sqrt{\pi} \Gamma(2z) \end{align*} Γ(z)Γ(z+21)=(2π)22−1×221−2zΓ(2z)=21−2zπΓ(2z)
该公式被称为勒让德倍元公式（Legendre’s duplication formula）。勒让德倍元公式在伽马函数的计算中有着重要的应用，例如在一些积分计算中，通过利用勒让德倍元公式可以将含有 Γ ( 2 z ) \Gamma(2z) Γ(2z) 形式的伽马函数转化为 Γ ( z ) \Gamma(z) Γ(z) 和 Γ ( z + 1 2 ) \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) Γ(z+21) 的形式，从而简化计算过程。它也在一些数学物理问题中频繁出现，为解决相关问题提供了有力的工具。
七、一些特殊取值
伽马函数在特定点的取值是理论分析与实际计算的重要基础，其结果可通过递推关系、余元公式等核心性质推导得出，常见特殊取值如下：
-
负半整数点： Γ ( − 1 2 ) = − 2 π \boldsymbol{\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \sqrt{\pi}} Γ(−21)=−2π
依据递推关系 Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) \Gamma(z + 1) = z \Gamma(z) Γ(z+1)=zΓ(z) 推导。例如令 z = − 3 2 z = -\frac{3}{2} z=−23，可得 Γ ( − 1 2 ) = − 3 2 Γ ( − 3 2 ) \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} \Gamma\left(-\frac{3}{2}\right) Γ(−21)=−23Γ(−23)，结合已知的 Γ ( 1 2 ) = π \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} Γ(21)=π，逐步推导即可得到该值。 -
核心半整数点： Γ ( 1 2 ) = π \boldsymbol{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}} Γ(21)=π
伽马函数最关键的特殊值之一，应用场景广泛。在余元公式推导中是核心依据，同时可用于计算高斯积分 ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} \, \text{d}x ∫−∞∞e−x2dx，通过变量代换能建立该积分与 Γ ( 1 2 ) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) Γ(21) 的联系，最终得出积分结果为 π \sqrt{\pi} π。 -
半整数点延伸： Γ ( 3 2 ) = π 2 \boldsymbol{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}} Γ(23)=2π
直接运用递推关系计算。由 Γ ( 3 2 ) = 1 2 Γ ( 1 2 ) \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) Γ(23)=21Γ(21)，代入 Γ ( 1 2 ) = π \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} Γ(21)=π，可直接得到结果。 -
半整数点通式： Γ ( n + 1 2 ) = ( 2 n ) ! n ! 4 n π \boldsymbol{\Gamma\left(n + \frac{1}{2}\right) = \frac{(2n)!}{n! 4^n} \sqrt{\pi}} Γ(n+21)=n!4n(2n)!π（ n \boldsymbol{n} n 为正整数）
基于递推关系与组合数学规则推导。以 Γ ( 1 2 ) = π \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} Γ(21)=π 为起点，反复应用 Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) \Gamma(z + 1) = z \Gamma(z) Γ(z+1)=zΓ(z)，并对过程中的阶乘项进行整理，最终得到该通用公式。 -
纯虚数点模： ∣ Γ ( i y ) ∣ = ( π y sinh ( π y ) ) 1 2 \boldsymbol{|\Gamma(iy)| = \left(\frac{\pi}{y \sinh (\pi y)}\right)^{\frac{1}{2}}} ∣Γ(iy)∣=(ysinh(πy)π)21
反映伽马函数在纯虚数点的模的特性，推导过程较复杂。需结合复变函数中的积分变换、无穷乘积等方法，同时关联伽马函数的复杂性质与双曲函数知识。 -
实部为 1 2 \boldsymbol{\frac{1}{2}} 21的复数点： ∣ Γ ( 1 2 + i y ) ∣ 2 = π cosh ( π y ) \boldsymbol{\left|\Gamma\left(\frac{1}{2} + iy\right)\right|^2 = \frac{\pi}{\cosh(\pi y)}} Γ(21+iy) 2=cosh(πy)π
公式左边可展开为 Γ ( 1 2 + i y ) Γ ( 1 2 − i y ) \Gamma\left(\frac{1}{2} + iy\right) \Gamma\left(\frac{1}{2} - iy\right) Γ(21+iy)Γ(21−iy)，推导时需利用余元公式与双曲余弦函数的性质，通过代入与化简得到最终结果。 -
实部分别为 1 4 \boldsymbol{\frac{1}{4}} 41与 3 4 \boldsymbol{\frac{3}{4}} 43的复数点： Γ ( 1 4 + i y ) Γ ( 3 4 − i y ) = 2 π cosh ( π y ) + i sinh ( π y ) \boldsymbol{\Gamma\left(\frac{1}{4} + iy\right) \Gamma\left(\frac{3}{4} - iy\right) = \frac{\sqrt{2} \pi}{\cosh(\pi y) + i \sinh(\pi y)}} Γ(41+iy)Γ(43−iy)=cosh(πy)+isinh(πy)2π
体现两类复数点间的关联，推导需综合多方面知识。需结合伽马函数的各类性质、复数运算规则，以及双曲函数的相关特性，通过多步推导得到结果。
下面探讨 Γ ( a + b i ) \Gamma(a + bi) Γ(a+bi) 的取值情况，其中 a , b ∈ R a, b \in \mathbb{R} a,b∈R。
将伽马函数通过对 e − t e^{-t} e−t 在复平面上做泰勒展开后得到的定义式为：
Γ ( z ) = ∫ 1 ∞ t z − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! ( z + n ) \Gamma(z) = \int_{1}^{\infty} \frac{t^{z - 1}}{e^{t}} \, \text{d}t + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!(z + n)} Γ(z)=∫1∞ettz−1dt+n=0∑∞n!(z+n)(−1)n
将 z = a + b i z = a + bi z=a+bi 代入上式可得：
Γ ( a + b i ) = ∫ 1 ∞ t a + b i − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! ( n + a + b i ) = ∫ 1 ∞ e i b ln t t a − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! n + a − b i ( n + a ) 2 + b 2 = ∫ 1 ∞ ( cos ( b ln t ) + i sin ( b ln t ) ) t a − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! n + a − b i ( n + a ) 2 + b 2 \begin{align*} \Gamma(a + bi) &= \int_{1}^{\infty} \frac{t^{a + bi - 1}}{e^{t}} \, \text{d}t + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!(n + a + bi)} \\ &= \int_{1}^{\infty} e^{i b \ln t} \frac{t^{a - 1}}{e^{t}} \, \text{d}t + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{n + a - bi}{(n + a)^2 + b^2} \\ &= \int_{1}^{\infty} \left(\cos (b \ln t) + i \sin (b \ln t)\right) \frac{t^{a - 1}}{e^{t}} \, \text{d}t + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{n + a - bi}{(n + a)^2 + b^2} \end{align*} Γ(a+bi)=∫1∞etta+bi−1dt+n=0∑∞n!(n+a+bi)(−1)n=∫1∞eiblntetta−1dt+n=0∑∞n!(−1)n(n+a)2+b2n+a−bi=∫1∞(cos(blnt)+isin(blnt))etta−1dt+n=0∑∞n!(−1)n(n+a)2+b2n+a−bi
进一步分离实部和虚部：
Γ ( a + b i ) = { ∫ 1 ∞ cos ( b ln t ) t a − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! n + a ( n + a ) 2 + b 2 } + i { ∫ 1 ∞ sin ( b ln t ) t a − 1 e t d t − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! b ( n + a ) 2 + b 2 } \begin{align*} \Gamma(a + bi) &= \left\{ \int_{1}^{\infty} \cos (b \ln t) \frac{t^{a - 1}}{e^{t}} \, \text{d}t + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{n + a}{(n + a)^2 + b^2} \right\} \\ &\quad + i \left\{ \int_{1}^{\infty} \sin (b \ln t) \frac{t^{a - 1}}{e^{t}} \, \text{d}t - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{b}{(n + a)^2 + b^2} \right\} \end{align*} Γ(a+bi)={∫1∞cos(blnt)etta−1dt+n=0∑∞n!(−1)n(n+a)2+b2n+a}+i{∫1∞sin(blnt)etta−1dt−n=0∑∞n!(−1)n(n+a)2+b2b}
通过上述步骤，将 Γ ( a + b i ) \Gamma(a + bi) Γ(a+bi) 表示为实部和虚部的形式，这对于研究伽马函数在复数域上的性质、进行复数域上的积分计算以及与其他复数函数的关系研究等方面都具有重要的作用。例如，在一些涉及复数积分的物理问题中，通过将伽马函数表示为实部和虚部的形式，可以更好地理解和分析问题的物理意义。
via：
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反常积分最重要的函数之伽马函数-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/u013570834/article/details/113790920 -
特殊函数入门指南——伽马函数 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/350992875 -
伽马函数（Gamma函数）全面解析（包含课外扩展知识）与其在考研数学应用中的分析（具体举出了例题并附上解析）-优快云博客
https://blog.youkuaiyun.com/qq_74326393/article/details/145889946
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