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- 线性代数 · 几何意义 | 基础、向量、行列式与线性方程组（上篇）-优快云博客
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三、行列式的几何意义
（一）行列式的定义
行列式是由若干个数按照一定顺序排列成的方阵，通过规定的计算方法得到的一个数值；若行列式中含有未知数，则行列式成为一个多项式。行列式的本质是一个数值，这一点需要与矩阵明确区分——矩阵仅仅是一个数表，不代表具体的数值；而行列式需要对这个数表按照特定的规则（如展开法则）进行进一步计算，最终得到一个实数、复数或多项式。
- 一阶行列式（注意：一阶行列式不是绝对值）：对于一阶方阵 [ a 11 ] [a_{11}] [a11]，其行列式的计算结果为 ∣ a 11 ∣ = a 11 |a_{11}| = a_{11} ∣a11∣=a11，即一阶行列式的值等于其唯一的元素本身。
- 二阶行列式
二阶行列式的计算遵循对角线法则，对于二阶方阵 [ a 1 a 2 b 1 b 2 ] \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{bmatrix} [a1b1a2b2]，其行列式的表达式为：
∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 ⋅ ∣ b 2 ∣ − a 2 ⋅ ∣ b 1 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} = a_{1} \cdot |b_{2}| - a_{2} \cdot |b_{1}| = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} a1b1a2b2 =a1⋅∣b2∣−a2⋅∣b1∣=a1b2−a2b1
其中， a 1 b 2 a_{1}b_{2} a1b2 是主对角线元素的乘积， a 2 b 1 a_{2}b_{1} a2b1 是副对角线元素的乘积，二阶行列式的值等于主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。 - 三阶行列式
三阶行列式的计算可采用展开法则（如按第一行展开），对于三阶方阵 [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{bmatrix} a1b1c1a2b2c2a3b3c3 ，其行列式的表达式为：
∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = a 1 ⋅ ∣ b 2 b 3 c 2 c 3 ∣ − a 2 ⋅ ∣ b 1 b 3 c 1 c 3 ∣ + a 3 ⋅ ∣ b 1 b 2 c 1 c 2 ∣ = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 − a 1 b 3 c 2 − a 2 b 1 c 3 − a 3 b 2 c 1 \begin{align*} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} &= a_{1} \cdot \begin{vmatrix} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} - a_{2} \cdot \begin{vmatrix} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{vmatrix} + a_{3} \cdot \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix} \\ &= a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} - a_{1}b_{3}c_{2} - a_{2}b_{1}c_{3} - a_{3}b_{2}c_{1} \end{align*} a1b1c1a2b2c2a3b3c3 =a1⋅ b2c2b3c3 −a2⋅ b1c1b3c3 +a3⋅ b1c1b2c2 =a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a1b3c2−a2b1c3−a3b2c1 -
N
N
N 阶行列式
对于 n n n 阶方阵 [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann ，其行列式的一般表达式可通过按第一行展开得到：
∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = a 11 ⋅ ∣ a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 2 ⋯ a n n ∣ − a 12 ⋅ ∣ a 21 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∣ + ⋯ + ( − 1 ) n + 1 a 1 n ⋅ ∣ a 21 ⋯ a 2 ( n − 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n ( n − 1 ) ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11} \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} - a_{12} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \cdots + (-1)^{n+1}a_{1n} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n(n-1)} \end{vmatrix} a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann =a11⋅ a22⋮an2⋯⋱⋯a2n⋮ann −a12⋅ a21⋮an1⋯⋱⋯a2n⋮ann +⋯+(−1)n+1a1n⋅ a21⋮an1⋯⋱⋯a2(n−1)⋮an(n−1)
同时， n n n 阶行列式也可以用排列的方式表示为：
= ∑ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) ( − 1 ) t a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n = \sum_{(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} (-1)^{t}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}} =(j1j2⋯jn)∑(−1)ta1j1a2j2⋯anjn
式中， j 1 j 2 ⋯ j n j_{1}j_{2}\cdots j_{n} j1j2⋯jn 是 1 , 2 , ⋯ , n 1, 2, \cdots, n 1,2,⋯,n 的一个排列， ∑ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) \sum_{(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} ∑(j1j2⋯jn) 表示对所有 1 , 2 , ⋯ , n 1, 2, \cdots, n 1,2,⋯,n 的排列进行求和， t t t 为排列 j 1 j 2 ⋯ j n j_{1}j_{2}\cdots j_{n} j1j2⋯jn 的逆序数（即该排列中逆序对的个数）。
（二）行列式的几何意义
行列式的几何意义可以从静态和动态两个视角进行概括，这两种解释本质相同，但体现的几何内涵有所差异：
- 静态视角：行列式是其行向量或列向量所构成的超平行多面体的有向面积（二维情况下）或有向体积（三维及以上情况下）。这里的“有向”指的是面积或体积具有正负性，正负性由向量的排列顺序（定向）决定。
- 动态视角：矩阵 A A A 的行列式 det ( A ) \det(A) det(A) 是线性变换 A A A 下图形面积或体积的伸缩因子。即当图形经过线性变换 A A A 后，其面积或体积的变化比例等于矩阵 A A A 的行列式的绝对值，而行列式的正负性则反映了线性变换是否改变图形的定向。
1. 不同阶行列式的几何意义
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二阶行列式： 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵 A A A 的行列式，在几何上表示由矩阵 A A A 的行向量（或列向量）所确定的平行四边形的有向面积。
对于二阶行列式 D = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ D = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} D= a1b1a2b2 ，其对应的平行四边形以行向量 a = ( a 1 , a 2 ) a = (a_{1}, a_{2}) a=(a1,a2) 和 b = ( b 1 , b 2 ) b = (b_{1}, b_{2}) b=(b1,b2) 为邻边，且有向面积的正负性遵循以下规则：
- 若平行四边形是由向量 a a a 沿逆时针方向转动到向量 b b b 所得到的，那么面积取正值；
- 若平行四边形是由向量 a a a 沿顺时针方向转动到向量 b b b 所得到的，那么面积取负值；
- 若两组向量张成的平行四边形的有向面积符号相同，则称这两组向量具有相同的定向，在平面内，平行四边形共有两种不同的定向。
此外，二阶行列式的数值等于两个行向量或列向量叉积的数值（当忽略叉积的单位向量 n 0 n^0 n0 时，二阶行列式与两向量的叉积完全等价）。根据向量叉积的表达式 a × b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ ⋅ n 0 a \times b = |a||b|\sin\theta \cdot n^0 a×b=∣a∣∣b∣sinθ⋅n0，其 z z z 轴分量（在二维平面中，可将 z z z 轴正向想象为指向读者的方向）的数值即为二阶行列式的值，若该数值为正值，则与 z z z 轴正方向同向；若为负值，则与 z z z 轴正方向反向。
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三阶行列式： 3 × 3 3 \times 3 3×3 矩阵的行列式，在几何上表示由矩阵的三个行向量（或列向量）在 O x y z Oxyz Oxyz 三维空间中所张成的平行六面体的有向体积。与二阶行列式类似，该有向体积的正负性由三个向量的排列顺序（右手定则或左手定则）决定，体积的绝对值等于平行六面体的实际体积。
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n n n 阶行列式： n × n n \times n n×n 矩阵 A A A 的行列式，在几何上表示由矩阵 A A A 的行向量（或列向量）在 n n n 维空间中所张成的 n n n 维超平行多面体的有向体积，同时也是线性变换 A A A 将 n n n 维空间中的单位超立方体映射为该超平行多面体时的体积伸缩因子。由于 n n n 维空间无法直接直观呈现，但其几何意义可通过低维（二维、三维）行列式的几何意义进行推广理解。
2. 线性变换视角下的几何意义
线性变换会改变图形的形状和大小，而行列式则定量地描述了这种大小变化的比例，具体情况如下：
- 二阶线性变换：设 A A A 是列向量（或行向量）为 a a a、 b b b 的 2 × 2 2 \times 2 2×2 矩阵，线性变换 A A A 会将 R 2 \mathbb{R}^2 R2（二维欧几里得空间）中的单位正方形（边长为 1 1 1 的正方形，以单位向量 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0) 和 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 为邻边）映射为以向量 a a a、 b b b 为邻边的平行四边形；若原图形为圆形，线性变换 A A A 会将其映射为椭圆，且椭圆的面积与原圆形面积的比值等于矩阵 A A A 行列式的绝对值。
- 三阶线性变换： 3 × 3 3 \times 3 3×3 矩阵 A A A 会将 R 3 \mathbb{R}^3 R3（三维欧几里得空间）中的单位立方体（边长为 1 1 1 的立方体，以单位向量 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) (1,0,0)、 ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) (0,1,0) 和 ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) (0,0,1) 为棱）映射为以矩阵 A A A 的列向量为棱的平行六面体；若原图形为球体，线性变换 A A A 会将其映射为椭球，且椭球的体积与原球体体积的比值等于矩阵 A A A 行列式的绝对值。
- n n n 阶线性变换： n × n n \times n n×n 矩阵 A A A 会将 R n \mathbb{R}^n Rn（ n n n 维欧几里得空间）中的单位 n n n 立方体（以 n n n 个单位向量为棱的 n n n 维立方体）映射为以矩阵 A A A 的列向量为棱的 n n n 维超平行体，其体积伸缩因子为 变换后图形的容积 原图形的容积 \frac{\text{变换后图形的容积}}{\text{原图形的容积}} 原图形的容积变换后图形的容积，该伸缩因子的数值等于 n n n 阶行列式 det ( A ) \det(A) det(A) 的绝对值，伸缩因子的正负性由行列式的正负性决定，反映了线性变换是否改变 n n n 维空间的定向。
（三）行列式性质的几何解释
行列式具有多种代数性质，这些性质从几何角度能够得到直观的解释，不同阶行列式的性质在几何意义上具有相似性，以下分别以二阶和三阶行列式为例进行说明。
1. 二阶行列式性质的几何解释
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性质 1：对于任意实数 k k k，有 k ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ k a 1 k a 2 b 1 b 2 ∣ k \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} ka_{1} & ka_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} k a1b1a2b2 = ka1b1ka2b2 。
几何解释：该性质表明，用常数 k k k 乘以向量 a a a（即矩阵的某一行），由向量 a a a、 b b b 张成的平行四边形的一条邻边长度变为原来的 k k k 倍，而另一条邻边长度保持不变，因此平行四边形的面积也相应地增大为原来的 k k k 倍，这与行列式值变为原来的 k k k 倍的代数性质一致。
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性质 2： ∣ a 1 a 2 b 1 + c 1 b 2 + c 2 ∣ = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ + ∣ a 1 a 2 c 1 c 2 ∣ \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} + c_{1} & b_{2} + c_{2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix} a1b1+c1a2b2+c2 = a1b1a2b2 + a1c1a2c2 。
几何解释：对于向量 a = ( a 1 , a 2 ) a = (a_{1}, a_{2}) a=(a1,a2)、 b = ( b 1 , b 2 ) b = (b_{1}, b_{2}) b=(b1,b2)、 c = ( c 1 , c 2 ) c = (c_{1}, c_{2}) c=(c1,c2)，由向量 a a a 与 b + c b + c b+c 张成的平行四边形的有向面积，等于由向量 a a a 与 b b b 张成的平行四边形的有向面积，加上由向量 a a a 与 c c c 张成的平行四边形的有向面积，即 S ( a , b + c ) = S ( a , b ) + S ( a , c ) S(a, b + c) = S(a, b) + S(a, c) S(a,b+c)=S(a,b)+S(a,c)，这一几何关系验证了行列式的加法分解性质。
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性质 3： ∣ a 1 a 2 k a 1 k a 2 ∣ = 0 \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ ka_{1} & ka_{2} \end{vmatrix} = 0 a1ka1a2ka2 =0（ k k k 为实数）。
几何解释：当向量 b = k a b = ka b=ka 时，向量 a a a 与 b b b 共线（即两向量在同一条直线上），此时由这两个向量无法构成平行四边形（图形退化为一条线段），其面积为零，因此对应的行列式值也为零，该性质直观地体现了行列式与图形面积之间的关系。 -
性质 4： ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = − ∣ b 1 b 2 a 1 a 2 ∣ \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} \\ a_{1} & a_{2} \end{vmatrix} a1b1a2b2 =− b1a1b2a2 。
几何解释：交换行列式的两行，相当于交换向量 a a a 和 b b b 的叉积顺序。根据向量叉积的性质 a × b = − b × a a \times b = -b \times a a×b=−b×a，叉积的方向发生反转，因此由向量张成的平行四边形的定向改变，有向面积的符号也随之反转，这导致行列式值变为原来的相反数，从而验证了该性质。 -
性质 5：对于任意常数 λ \lambda λ，有 ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ a 1 a 2 b 1 + λ a 1 b 2 + λ a 2 ∣ \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} + \lambda a_{1} & b_{2} + \lambda a_{2} \end{vmatrix} a1b1a2b2 = a1b1+λa1a2b2+λa2 。
几何解释：将行列式一行的 λ \lambda λ 倍加到另一行，相当于将向量 b b b 变为 b + λ a b + \lambda a b+λa。从几何图形上看，这一操作属于平行四边形的切变变换，切变变换过程中，平行四边形的底（向量 a a a 对应的边）长度和高（从向量 b b b 端点到向量 a a a 所在直线的距离）均保持不变，因此平行四边形的面积不变，对应的行列式值也保持不变，即 S ( a , b ) = S ( a , λ a + b ) S(a, b) = S(a, \lambda a + b) S(a,b)=S(a,λa+b)。
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性质 6： ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} a1b1a2b2 = a1a2b1b2 。
几何解释：该性质表明矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。从几何角度看，矩阵转置后，行向量与列向量互换，但由这些向量张成的平行四边形的形状和大小均未改变，因此平行四边形的有向面积也保持不变，对应的行列式值相等。例如：
∣ 5 2 3 7 ∣ = 5 × 7 − 2 × 3 = 29 \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 5 \times 7 - 2 \times 3 = 29 5327 =5×7−2×3=29
∣ 5 3 2 7 ∣ = 5 × 7 − 3 × 2 = 29 \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = 5 \times 7 - 3 \times 2 = 29 5237 =5×7−3×2=29
两个行列式的值相等，验证了该性质。
2. 三阶行列式性质的几何解释
一个 3×3 阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。
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性质 1： det ( a , b , c + d ) = det ( a , b , c ) + det ( a , b , d ) \det(a, b, c + d) = \det(a, b, c) + \det(a, b, d) det(a,b,c+d)=det(a,b,c)+det(a,b,d)。
几何解释：将三阶行列式的某一列向量拆分为两个向量的和（如将 c c c 拆分为 c + d c + d c+d），从几何角度看，相当于将以向量 a a a、 b b b、 c + d c + d c+d 为棱的平行六面体分解为以向量 a a a、 b b b、 c c c 为棱的平行六面体和以向量 a a a、 b b b、 d d d 为棱的平行六面体，且分解后的两个平行六面体的有向体积之和等于原平行六面体的有向体积，这一关系验证了行列式的加法分解性质。
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性质 2： det ( a , a , c ) = 0 \det(a, a, c) = 0 det(a,a,c)=0。
几何解释：当三阶行列式中有两行（或两列）元素相同时，对应的向量中有两个向量相同（如向量 a a a 重复），此时以这三个向量为棱的平行六面体的两条邻边重合，三维空间中的平行六面体被压成高度为零的二维平面，其三维体积为零，因此对应的行列式值为零。
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性质 3： det ( a , b , c ) = − det ( b , a , c ) \det(a, b, c) = - \det(b, a, c) det(a,b,c)=−det(b,a,c)。
几何解释：交换三阶行列式的两列（或两行），相当于交换向量 a a a 和 b b b 的顺序。根据向量混合积的性质，交换两个向量的顺序会导致混合积的符号反转，即 ( a × b ) ⋅ c = − ( b × a ) ⋅ c (a \times b) \cdot c = - (b \times a) \cdot c (a×b)⋅c=−(b×a)⋅c，因此平行六面体的有向体积符号反转，对应的行列式值变为原来的相反数。当 det ( A ) \det(A) det(A) 为负值时，表明线性变换改变了原象的定向（如将右手坐标系变为左手坐标系）。例如：
det ( a , b , c ) = ( a × b ) ⋅ c = − ( b × a ) ⋅ c = − det ( b , a , c ) = det ( b , a , − c ) \det(a, b, c) = (a \times b) \cdot c = - (b \times a) \cdot c = - \det(b, a, c) = \det(b, a, -c) det(a,b,c)=(a×b)⋅c=−(b×a)⋅c=−det(b,a,c)=det(b,a,−c)
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性质 4：对于任意常数 k k k，有 k det ( a , b , c ) = det ( k a , b , c ) = det ( a , k b , c ) = det ( a , b , k c ) k\det(a, b, c) = \det(ka, b, c) = \det(a, kb, c) = \det(a, b, kc) kdet(a,b,c)=det(ka,b,c)=det(a,kb,c)=det(a,b,kc)。
几何解释：将三阶行列式的某一列（或某一行）向量乘以常数 k k k，相当于将平行六面体对应棱的长度变为原来的 k k k 倍，而平行六面体的另外两条棱长度保持不变，因此平行六面体的体积变为原来的 k k k 倍，对应的行列式值也变为原来的 k k k 倍，这与立方体沿某一棱方向放大 k k k 倍后体积变化的规律一致。
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性质 5：对于任意常数 k k k，有 det ( a , b , c ) = det ( a , b , k a + c ) \det(a, b, c) = \det(a, b, ka + c) det(a,b,c)=det(a,b,ka+c)。
几何解释：将三阶行列式某一列向量的 k k k 倍加到另一列向量上（如将向量 a a a 的 k k k 倍加到向量 c c c 上，得到 k a + c ka + c ka+c），从几何角度看，这一操作属于平行六面体的切变变换。在切变变换过程中，平行六面体以 a × b a \times b a×b 为底面积的底面大小和高（从向量 c c c 端点到 a × b a \times b a×b 所在平面的距离）均保持不变，因此平行六面体的体积不变，对应的行列式值也保持不变。
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性质 6： det ( A ) = det ( A T ) \det(A) = \det(A^T) det(A)=det(AT)（其中 A T A^T AT 为矩阵 A A A 的转置）。
几何解释：矩阵转置后，行向量与列向量互换，但由这些向量张成的平行六面体的形状和大小均未改变，因此平行六面体的有向体积保持不变，对应的行列式值相等。例如：
det ( A ) = ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = a 1 ⋅ ∣ b 2 b 3 c 2 c 3 ∣ − a 2 ⋅ ∣ b 1 b 3 c 1 c 3 ∣ + a 3 ⋅ ∣ b 1 b 2 c 1 c 2 ∣ = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 − a 1 b 3 c 2 − a 2 b 1 c 3 − a 3 b 2 c 1 \begin{align*} \det(A) &= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} \\ &= a_{1} \cdot \begin{vmatrix} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} - a_{2} \cdot \begin{vmatrix} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{vmatrix} + a_{3} \cdot \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix} \\ &= a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} - a_{1}b_{3}c_{2} - a_{2}b_{1}c_{3} - a_{3}b_{2}c_{1} \end{align*} det(A)= a1b1c1a2b2c2a3b3c3 =a1⋅ b2c2b3c3 −a2⋅ b1c1b3c3 +a3⋅ b1c1b2c2 =a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a1b3c2−a2b1c3−a3b2c1
det ( A T ) = ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ = a 1 ⋅ ∣ b 2 c 2 b 3 c 3 ∣ − b 1 ⋅ ∣ a 2 c 2 a 3 c 3 ∣ + c 1 ⋅ ∣ a 2 b 2 a 3 b 3 ∣ = a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 − a 1 c 2 b 3 − b 1 a 2 c 3 − c 1 b 2 a 3 \begin{align*} \det(A^T) &= \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix} \\ &= a_{1} \cdot \begin{vmatrix} b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3} \end{vmatrix} - b_{1} \cdot \begin{vmatrix} a_{2} & c_{2} \\ a_{3} & c_{3} \end{vmatrix} + c_{1} \cdot \begin{vmatrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{vmatrix} \\ &= a_{1}b_{2}c_{3} + b_{1}c_{2}a_{3} + c_{1}a_{2}b_{3} - a_{1}c_{2}b_{3} - b_{1}a_{2}c_{3} - c_{1}b_{2}a_{3} \end{align*} det(AT)= a1a2a3b1b2b3c1c2c3 =a1⋅ b2b3c2c3 −b1⋅ a2a3c2c3 +c1⋅ a2a3b2b3 =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3−a1c2b3−b1a2c3−c1b2a3
通过计算可以发现， det ( A ) \det(A) det(A) 与 det ( A T ) \det(A^T) det(AT) 的结果相等，验证了该性质。
（四）行列式化为对角形的几何解释
行列式的一个重要代数性质是：将行列式的第 i i i 行加上第 j j j 行的 k k k 倍，可使第 i i i 行的某一个元素变为 0 0 0，且行列式的值保持不变。这一性质在化简行列式（如化为对角行列式）时具有重要作用，其几何意义如下：
以二阶行列式为例，通过上述行变换可将二阶行列式化为对角行列式：
∣
a
1
a
2
b
1
b
2
∣
=
∣
a
1
0
0
a
1
b
2
−
a
2
b
1
a
1
∣
\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1} & 0 \\ 0 & \frac{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}}{a_{1}} \end{vmatrix}
a1b1a2b2
=
a100a1a1b2−a2b1
几何解释：这一变换过程对应的几何操作是将二阶行列式所表示的平行四边形，通过切变变换转化为对角行列式所表示的正（长）方形。在切变变换过程中，平行四边形的面积保持不变，因此变换前后的行列式值相等，且正（长）方形的长和宽分别对应对角线上元素的绝对值，其面积等于对角线上元素的乘积，与对角行列式的数值一致。
同理，对于三阶行列式，通过类似的行变换（将某一行的倍数加到另一行）可将其化为对角行列式，这一过程对应的几何操作是将平行六面体通过切变变换转化为等体积的立方体或长方体。在变换过程中，平行六面体的体积保持不变，因此三阶行列式的值与对角行列式的值相等，且立方体或长方体的长、宽、高分别对应对角线上元素的绝对值，其体积等于对角线上元素的乘积。
推广到 n n n 阶行列式，通过一系列行变换（将某一行的倍数加到另一行）可将其化为对角行列式，对应的几何意义是将 n n n 维超平行多面体通过切变变换转化为等体积的 n n n 维超长方体，且 n n n 阶行列式的值等于对角行列式的值，即等于对角线上所有元素的乘积。
（五）行列式乘积项的几何意义
行列式的展开式由多个乘积项组成，这些乘积项从几何角度来看，分别对应不同的几何图形的面积或体积，具体情况如下：
1. 二阶行列式乘积项
二阶行列式的展开式为 ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} a1b1a2b2 =a1b2−a2b1，其几何意义是由向量 a a a、 b b b 张成的平行四边形的有向面积。
从几何组成来看，该有向面积由 a 1 b 2 a_{1}b_{2} a1b2 和 − a 2 b 1 -a_{2}b_{1} −a2b1 两个乘积项的代数和构成：
- 乘积项 a 1 b 2 a_{1}b_{2} a1b2 对应一个以 a 1 a_{1} a1 和 b 2 b_{2} b2 为邻边的矩形的面积，该矩形位于平面直角坐标系的第一象限（假设 a 1 a_{1} a1、 b 2 b_{2} b2 均为正值），面积取正值；
- 乘积项 − a 2 b 1 -a_{2}b_{1} −a2b1 对应一个以 a 2 a_{2} a2 和 b 1 b_{1} b1 为邻边的矩形的面积，该矩形位于平面直角坐标系的第四象限（假设 a 2 a_{2} a2、 b 1 b_{1} b1 均为正值），面积取负值；
- 两个乘积项的代数和即为平行四边形的有向面积，面积方向由叉积的右手定则确定（与二阶行列式有向面积的方向一致）。
2. 三阶行列式乘积项
三阶行列式的展开式为：
∣
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
∣
=
a
1
b
2
c
3
+
a
2
b
3
c
1
+
a
3
b
1
c
2
−
a
1
b
3
c
2
−
a
2
b
1
c
3
−
a
3
b
2
c
1
\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} - a_{1}b_{3}c_{2} - a_{2}b_{1}c_{3} - a_{3}b_{2}c_{1}
a1b1c1a2b2c2a3b3c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a1b3c2−a2b1c3−a3b2c1
其几何意义是由向量
a
a
a、
b
b
b、
c
c
c 张成的平行六面体的有向体积。与二阶行列式类似，三阶行列式的展开式中的每一个乘积项，都可以看作是一个具有方向的小长方体的体积：
- 正项 a 1 b 2 c 3 a_{1}b_{2}c_{3} a1b2c3、 a 2 b 3 c 1 a_{2}b_{3}c_{1} a2b3c1、 a 3 b 1 c 2 a_{3}b_{1}c_{2} a3b1c2 分别对应三个不同的小长方体的体积，这些小长方体的体积方向与平行六面体的体积正方向一致（由右手定则确定），因此取正值；
- 负项 − a 1 b 3 c 2 -a_{1}b_{3}c_{2} −a1b3c2、 − a 2 b 1 c 3 -a_{2}b_{1}c_{3} −a2b1c3、 − a 3 b 2 c 1 -a_{3}b_{2}c_{1} −a3b2c1 分别对应另外三个不同的小长方体的体积，这些小长方体的体积方向与平行六面体的体积正方向相反，因此取负值；
- 六个乘积项的代数和即为平行六面体的有向体积，这表明三阶方阵张成的三维平行六面体可以分解为六个由各坐标分量混合积构成的小长方体，这些小长方体的体积具有方向（正负），其代数和等于平行六面体的总体积。
3. n n n 阶行列式乘积项
n n n 阶行列式的展开式为 ∑ ( j 1 j 2 ⋯ j n ) ( − 1 ) t a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n \sum_{(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})} (-1)^{t}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}} ∑(j1j2⋯jn)(−1)ta1j1a2j2⋯anjn，其几何意义是由行向量（或列向量）张成的 n n n 维超平行多面体的有向体积。从几何分解角度来看：
- n n n 阶行列式对应的 n n n 维超平行多面体与一个 n n n 维超长方体等体积，该超长方体的棱长对应行列式化为对角形后的对角线上元素的绝对值；
- n n n 阶行列式的展开式中共有 n ! n! n! 个乘积项，每一个乘积项 ( − 1 ) t a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n (-1)^{t}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}} (−1)ta1j1a2j2⋯anjn 对应一个 n n n 维小长方体的有向体积，其中 ( − 1 ) t (-1)^{t} (−1)t 决定了小长方体体积的方向（ t t t 为排列的逆序数）， a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}} a1j1a2j2⋯anjn 为小长方体棱长的乘积（即小长方体的体积大小）；
- n ! n! n! 个小长方体的有向体积的代数和即为 n n n 维超平行多面体的有向体积，这表明 n n n 阶行列式可以分拆为 n ! n! n! 个只有坐标轴分向量组成的 n n n 阶对角行列式，而每一个对角行列式对应的几何图形就是一个 n n n 维小长方体。
例如，二阶行列式可分拆为：
∣
a
1
a
2
b
1
b
2
∣
=
∣
a
1
0
b
1
b
2
∣
+
∣
0
a
2
b
1
b
2
∣
=
∣
a
1
0
b
1
0
∣
+
∣
a
1
0
0
b
2
∣
+
∣
0
a
2
b
1
0
∣
+
∣
0
a
2
0
b
2
∣
=
∣
a
1
0
0
b
2
∣
+
∣
0
a
2
b
1
0
∣
=
a
1
b
2
−
a
2
b
1
\begin{align*} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_{1} & 0 \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{1} & 0 \\ b_{1} & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1} & 0 \\ 0 & b_{2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{2} \\ b_{1} & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{2} \\ 0 & b_{2} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{1} & 0 \\ 0 & b_{2} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{2} \\ b_{1} & 0 \end{vmatrix} \\ &= a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} \end{align*}
a1b1a2b2
=
a1b10b2
+
0b1a2b2
=
a1b100
+
a100b2
+
0b1a20
+
00a2b2
=
a100b2
+
0b1a20
=a1b2−a2b1
其中，非零的两个对角行列式分别对应两个小矩形，其面积的代数和即为平行四边形的面积。
三阶行列式可分拆为（其余行列式值为零）：
∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ = ∣ a 1 0 0 0 b 2 0 0 0 c 3 ∣ + ∣ 0 a 2 0 0 0 b 3 c 1 0 0 ∣ + ∣ 0 0 a 3 b 1 0 0 0 c 2 0 ∣ + ∣ a 1 0 0 0 0 b 3 0 c 2 0 ∣ + ∣ 0 a 2 0 b 1 0 0 0 0 c 3 ∣ + ∣ 0 0 a 3 0 b 2 0 c 1 0 0 ∣ = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 − a 1 b 3 c 2 − a 2 b 1 c 3 − a 3 b 2 c 1 \begin{align*} \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & b_{2} & 0 \\ 0 & 0 & c_{3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & b_{3} \\ c_{1} & 0 & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{3} \\ b_{1} & 0 & 0 \\ 0 & c_{2} & 0 \end{vmatrix} \\ &\quad + \begin{vmatrix} a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{3} \\ 0 & c_{2} & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{2} & 0 \\ b_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c_{3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & 0 & a_{3} \\ 0 & b_{2} & 0 \\ c_{1} & 0 & 0 \end{vmatrix} \\ &= a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} - a_{1}b_{3}c_{2} - a_{2}b_{1}c_{3} - a_{3}b_{2}c_{1} \end{align*} a1b1c1a2b2c2a3b3c3 = a1000b2000c3 + 00c1a2000b30 + 0b1000c2a300 + a10000c20b30 + 0b10a20000c3 + 00c10b20a300 =a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2−a1b3c2−a2b1c3−a3b2c1
六个非零的对角行列式分别对应六个小长方体，其体积的代数和即为平行六面体的体积。
综上，行列式的整体几何意义可概括为：一阶行列式对应有向线段的长度，二阶行列式对应有向面积，三阶及以上行列式对应有向体积。其本质是由各坐标轴上的有向线段围起来的所有有向面积或有向体积的代数和，在累加过程中，方向相同的面积或体积相加，方向相反的面积或体积相减，最终的累加结果即为行列式的数值。
（六）克莱姆法则的几何意义
1750 年，瑞士数学家克莱姆（Cramer）发现了用行列式求解线性方程组的克莱姆法则。该法则在表述上简洁自然，思想深刻，不仅包含对多重行列式的计算，还深刻揭示了行列式与线性方程组之间的内在关系。若要全面理解向量、行列式和线性方程组之间的联系，就需要从几何角度对克莱姆法则进行解释。
1. 二阶克莱姆法则的几何意义
-
二阶线性方程组
二阶线性方程组的一般形式为：
{ a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 \begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases} {a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2
其中， x x x、 y y y 为未知数， a 1 , a 2 , b 1 , b 2 a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} a1,a2,b1,b2 为系数， c 1 , c 2 c_{1}, c_{2} c1,c2 为常数项。 -
克莱姆法则的解
根据克莱姆法则，二阶线性方程组的解为：
x = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ , y = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ x = \frac{\begin{vmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}} x= a1a2b1b2 c1c2b1b2 ,y= a1a2b1b2 a1a2c1c2
其中，分母为方程组的系数行列式，记为 D = ∣ a 1 b 1 a 2 b 2 ∣ D = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} D= a1a2b1b2 ；分子分别为将系数行列式中对应未知数的系数列替换为常数项列后得到的行列式，记为 D x = ∣ c 1 b 1 c 2 b 2 ∣ D_x = \begin{vmatrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix} Dx= c1c2b1b2 （对应 x x x 的分子）和 D y = ∣ a 1 c 1 a 2 c 2 ∣ D_y = \begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix} Dy= a1a2c1c2 （对应 y y y 的分子）。 -
向量表示与推导
为了从几何角度解释克莱姆法则，首先将二阶线性方程组用向量形式表示。设二阶列向量 a = ( a 1 a 2 ) a = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{pmatrix} a=(a1a2)、 b = ( b 1 b 2 ) b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix} b=(b1b2)、 c = ( c 1 c 2 ) c = \begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \end{pmatrix} c=(c1c2)、 x = ( x y ) x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} x=(xy)，则上述二阶线性方程组可表示为 ( a , b ) x = c (a, b)x = c (a,b)x=c，即 x a + y b = c xa + yb = c xa+yb=c。对于系数行列式 D = ∣ a , b ∣ D = |a, b| D=∣a,b∣，构造如下等式：
x ∣ a , b ∣ = ∣ x a , b ∣ x|a, b| = |xa, b| x∣a,b∣=∣xa,b∣
由于 x a + y b = c xa + yb = c xa+yb=c，则 x a = c − y b xa = c - yb xa=c−yb，代入上式可得：
x ∣ a , b ∣ = ∣ c − y b , b ∣ = ∣ c , b ∣ − y ∣ b , b ∣ x|a, b| = |c - yb, b| = |c, b| - y|b, b| x∣a,b∣=∣c−yb,b∣=∣c,b∣−y∣b,b∣
又因为 ∣ b , b ∣ = 0 |b, b| = 0 ∣b,b∣=0（由行列式性质 3，两列向量相同，行列式值为零），因此：
x ∣ a , b ∣ = ∣ c , b ∣ x|a, b| = |c, b| x∣a,b∣=∣c,b∣
从而推出 x = ∣ c , b ∣ ∣ a , b ∣ = D x D x = \frac{|c, b|}{|a, b|} = \frac{D_x}{D} x=∣a,b∣∣c,b∣=DDx。同理，构造等式 y ∣ a , b ∣ = ∣ a , y b ∣ y|a, b| = |a, yb| y∣a,b∣=∣a,yb∣，结合 x a + y b = c xa + yb = c xa+yb=c 可得 y b = c − x a yb = c - xa yb=c−xa，代入后：
y ∣ a , b ∣ = ∣ a , c − x a ∣ = ∣ a , c ∣ − x ∣ a , a ∣ y|a, b| = |a, c - xa| = |a, c| - x|a, a| y∣a,b∣=∣a,c−xa∣=∣a,c∣−x∣a,a∣
由于 ∣ a , a ∣ = 0 |a, a| = 0 ∣a,a∣=0，因此 y ∣ a , b ∣ = ∣ a , c ∣ y|a, b| = |a, c| y∣a,b∣=∣a,c∣，推出 y = ∣ a , c ∣ ∣ a , b ∣ = D y D y = \frac{|a, c|}{|a, b|} = \frac{D_y}{D} y=∣a,b∣∣a,c∣=DDy。
-
几何意义
从几何角度来看，系数行列式 D = ∣ a , b ∣ D = |a, b| D=∣a,b∣ 的绝对值表示由向量 a a a、 b b b 张成的平行四边形的面积，记为 S ( a , b ) S(a, b) S(a,b)；分子行列式 D x = ∣ c , b ∣ D_x = |c, b| Dx=∣c,b∣ 的绝对值表示由向量 c c c、 b b b 张成的平行四边形的面积，记为 S ( c , b ) S(c, b) S(c,b)；分子行列式 D y = ∣ a , c ∣ D_y = |a, c| Dy=∣a,c∣ 的绝对值表示由向量 a a a、 c c c 张成的平行四边形的面积，记为 S ( a , c ) S(a, c) S(a,c)。因此， x = S ( c , b ) S ( a , b ) x = \frac{S(c, b)}{S(a, b)} x=S(a,b)S(c,b)， y = S ( a , c ) S ( a , b ) y = \frac{S(a, c)}{S(a, b)} y=S(a,b)S(a,c)，即未知数 x x x、 y y y 分别表示平行四边形面积从 S ( a , b ) S(a, b) S(a,b) 伸缩（或切变）到 S ( c , b ) S(c, b) S(c,b)、 S ( a , c ) S(a, c) S(a,c) 的比例，是面积变化前后的比值。这一几何意义直观地体现了克莱姆法则中行列式与线性方程组解之间的关系。
2. 三阶克莱姆法则的几何意义
- 三阶线性方程组
三阶线性方程组的一般形式为：
{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 \begin{cases} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3
其中， x x x、 y y y、 z z z 为未知数， a 1 , a 2 , a 3 , b 1 , b 2 , b 3 , c 1 , c 2 , c 3 a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, c_{1}, c_{2}, c_{3} a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3 为系数， d 1 , d 2 , d 3 d_{1}, d_{2}, d_{3} d1,d2,d3 为常数项。 - 克莱姆法则的解
根据克莱姆法则，三阶线性方程组的解为：
x = ∣ d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 ∣ ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ , y = ∣ a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3 ∣ ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ , z = ∣ a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 ∣ ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ x = \frac{\begin{vmatrix} d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}, \quad z = \frac{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}} x= a1a2a3b1b2b3c1c2c3 d1d2d3b1b2b3c1c2c3 ,y= a1a2a3b1b2b3c1c2c3 a1a2a3d1d2d3c1c2c3 ,z= a1a2a3b1b2b3c1c2c3 a1a2a3b1b2b3d1d2d3
其中，分母为方程组的系数行列式，记为 D = ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ D = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix} D= a1a2a3b1b2b3c1c2c3 ；分子分别为将系数行列式中对应未知数的系数列替换为常数项列后得到的行列式，记为 D x = ∣ d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 ∣ D_x = \begin{vmatrix} d_{1} & b_{1} & c_{1} \\ d_{2} & b_{2} & c_{2} \\ d_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix} Dx= d1d2d3b1b2b3c1c2c3 （对应 x x x 的分子）、 D y = ∣ a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3 ∣ D_y = \begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} & c_{1} \\ a_{2} & d_{2} & c_{2} \\ a_{3} & d_{3} & c_{3} \end{vmatrix} Dy= a1a2a3d1d2d3c1c2c3 （对应 y y y 的分子）和 D z = ∣ a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 ∣ D_z = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & d_{2} \\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix} Dz= a1a2a3b1b2b3d1d2d3 （对应 z z z 的分子）。 - 几何意义
与二阶克莱姆法则类似，三阶克莱姆法则的几何意义可通过体积的比例关系来解释。系数行列式 D D D 的绝对值表示由向量 a = ( a 1 a 2 a 3 ) a = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} a= a1a2a3 、 b = ( b 1 b 2 b 3 ) b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} b= b1b2b3 、 c = ( c 1 c 2 c 3 ) c = \begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{pmatrix} c= c1c2c3 张成的平行六面体的体积，记为 V ( a , b , c ) V(a, b, c) V(a,b,c)；分子行列式 D x D_x Dx 的绝对值表示由向量 d = ( d 1 d 2 d 3 ) d = \begin{pmatrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{pmatrix} d= d1d2d3 、 b b b、 c c c 张成的平行六面体的体积，记为 V ( d , b , c ) V(d, b, c) V(d,b,c)；分子行列式 D y D_y Dy 的绝对值表示由向量 a a a、 d d d、 c c c 张成的平行六面体的体积，记为 V ( a , d , c ) V(a, d, c) V(a,d,c)；分子行列式 D z D_z Dz 的绝对值表示由向量 a a a、 b b b、 d d d 张成的平行六面体的体积，记为 V ( a , b , d ) V(a, b, d) V(a,b,d)。
因此， x = V ( d , b , c ) V ( a , b , c ) x = \frac{V(d, b, c)}{V(a, b, c)} x=V(a,b,c)V(d,b,c)， y = V ( a , d , c ) V ( a , b , c ) y = \frac{V(a, d, c)}{V(a, b, c)} y=V(a,b,c)V(a,d,c)， z = V ( a , b , d ) V ( a , b , c ) z = \frac{V(a, b, d)}{V(a, b, c)} z=V(a,b,c)V(a,b,d)，即未知数 x x x、 y y y、 z z z 分别表示平行六面体体积从 V ( a , b , c ) V(a, b, c) V(a,b,c) 伸缩（或切变）到 V ( d , b , c ) V(d, b, c) V(d,b,c)、 V ( a , d , c ) V(a, d, c) V(a,d,c)、 V ( a , b , d ) V(a, b, d) V(a,b,d) 的比例，是体积变化前后的比值。其推导过程与二阶克莱姆法则类似，均基于行列式的性质和向量的线性组合关系。
3. 克莱姆法则的意义与局限
- 意义：克莱姆法则的重要意义在于，它建立了线性方程组的解与行列式之间的直接联系，能够用方程组的系数和常数项构成的行列式，将方程组的解以简洁的分式形式表示出来。这种表达方式不仅形式优美，还深刻揭示了线性代数中向量、行列式和线性方程组三者之间的内在几何联系，为理解线性代数的基本概念提供了重要的理论支撑。
- 局限：尽管克莱姆法则在理论上具有重要意义，但在实际工程应用中存在明显的局限性。对于 n n n 元线性方程组，使用克莱姆法则求解需要计算 n + 1 n + 1 n+1 个 n n n 阶行列式，而 n n n 阶行列式的计算量随着 n n n 的增大呈指数增长（如计算一个 n n n 阶行列式需要 n ! n! n! 次乘法运算）。因此，对于大型线性方程组（如 n > 10 n > 10 n>10），克莱姆法则的计算效率极低，通常不被采用。在实际应用中，求解大型线性方程组常采用高斯消元法、LU 分解法、QR 分解法等计算量更小、效率更高的数值方法。
参考资料
- 【线性代数的几何意义】什么是线性代数 - AndyJee - 博客园 posted @ 2013-12-25 21:57 AndyJee
https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491443.html - 【线性代数的几何意义】向量的基本几何意义 - AndyJee - 博客园 posted @ 2013-12-25 22:04 AndyJee
https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491458.html - 【线性代数的几何意义】行列式的几何意义 - AndyJee - 博客园 posted @ 2013-12-25 22:17 AndyJee
https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491487.html
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