Lloyd 定理 | 在编码理论与组合数学中的应用

注：本文为 “纠错码理论 | 劳埃德定理” 相关合辑。
英文引文，机翻未校。
中文引文，略作重排。
如有内容异常，请看原文。

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The Theory of Error-Correcting Codes Lloyd’s theorem: a necessary condition for perfect error correction

纠错码理论 劳埃德定理：完美纠错的一个必要条件

Recall that we promised to show that, while the identity $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{90}{2}\right)+90+1=4096=2^{12}$ (equivalent to Ramanujan’s $181^2+7=2^{15}$) suggests that there might be a perfect 2-error-correcting code of length 90, in fact there is no binary [90, 78, 5] code, nor even a (90, $2^{7}8$, 5) code. We prove this next, and generalize to Lloyd’s criterion that gives a strong necessary condition on the parameters of a perfect code. Along the way we encounter the Krawtchouk polynomials which we’ll also use to improve on our asymptotic upper bounds on error-correcting codes.
回想一下，我们曾承诺要证明：尽管恒等式 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{90}{2}\right)+90+1=4096=2^{12}$（等价于拉马努金的 $181^2+7=2^{15}$）暗示可能存在长度为 90 的完美 2 - 纠错码，但实际上不存在二元 [90, 78, 5] 码，甚至不存在 (90, $2^{7}8$, 5) 码。接下来我们将证明这一点，并推广到劳埃德准则，该准则给出了完美码参数的一个强必要条件。在此过程中，我们会遇到克拉夫楚克多项式，我们还将用它来改进纠错码的渐近上界。

We use the group ring (a.k.a. group algebra) of $F^n$. We already introduced the group ring $\mathbb{Z}[X]/(X^n-1)$ of a cyclic group $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$. In general, for a commutative ring $A$ and any finite group $G$ we have an associative group ring $A[G]$, which is commutative iff $G$ is (and we’ll use only commutative groups here). As an $A$-module, it is just $A^{|G|}$; we think of an element of $A^G$ as a formal $A$-linear combination ${\sum }_{g\in G}{a}_{g}g$ of elements of $G$, or a map $G\to A$, $g\mapsto a_g$. We define multiplication as the $A$-bilinear map $A[G]\times A[G]\to A[G]$ that takes (the characteristic functions of) group elements $g$, $h$ to (the characteristic functions of) their product $gh$. The product of functions $g\mapsto a_g$, $h\mapsto b_h$ is their convolution $s\mapsto {\sum }_{gh=s}{a}_g{b}_h$. The identity element of $A[G]$ is (the characteristic function of) the identity of $G$.
我们使用 $F^n$ 的群环（也称为群代数）。我们已经介绍过循环群 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 的群环 $\mathbb{Z}[X]/(X^n-1)$。一般来说，对于交换环 $A$ 和任意有限群 $G$，我们有一个结合群环 $A[G]$，它是交换的当且仅当 $G$ 是交换群（并且我们这里只使用交换群）。作为 $A$- 模，它就是 $A^{|G|}$；我们将 $A^G$ 中的元素视为 $G$ 中元素的形式 $A$- 线性组合 ${\sum }_{g\in G}{a}_{g}g$，或者视为一个映射 $G\to A$，即 $g\mapsto a_g$。我们将乘法定义为 $A$- 双线性映射 $A[G]\times A[G]\to A[G]$，它将群元素 $g$、$h$（的特征函数）映射到它们的乘积 $gh$（的特征函数）。函数 $g\mapsto a_g$ 与 $h\mapsto b_h$ 的乘积是它们的卷积 $s\mapsto {\sum }_{gh=s}{a}_g{b}_h$。$A[G]$ 的单位元是 $G$ 的单位元（的特征函数）。

This is relevant to us for the following reason. Let $C$ be any subset of $F^n$, and $1_C\in A[F^n]$ its characteristic function, representing the formal sum ${\sum }_{c\in C}c$. $C$ is a perfect $e$-error-correcting code in $F^n$ iff $1_C{1}_{B_e}=1$ in $A[G]$, where $B_e$ is the closed ball { w ∈ F n ∣ wt ( w ) ≤ e } \{w \in F^n \mid \text {wt}(w) \leq e\} {w∈Fn∣wt(w)≤e}, and plain “1” is the constant function 1 on $F^n$, representing the formal sum of all $w\in F^n$.
这与我们相关的原因如下：设 $C$ 是 $F^n$ 的任意子集，$1_C\in A[F^n]$ 是它的特征函数，表示形式和 ${\sum }_{c\in C}c$。$C$ 是 $F^n$ 中的完美 $e$- 纠错码当且仅当在 $A[G]$ 中 $1_C{1}_{B_e}=1$，其中 $B_e$ 是闭球 { w ∈ F n ∣ wt ( w ) ≤ e } \{w \in F^n \mid \text {wt}(w) \leq e\} {w∈Fn∣wt(w)≤e}（$\text{wt}(w)$ 表示 $w$ 的重量），而简单的 “1” 是 $F^n$ 上的常值函数 1，表示所有 $w\in F^n$ 的形式和。

Now take $A=\mathbb{C}$, and suppose $\chi :F^n\to {\mathbb{C}}^{\ast }$ is any nontrivial character (a.k.a. nonzero element of the Pontrjagin dual of $(F^n,+)$). Then $\chi$ extends linearly to a ring homomorphism $\mathbb{C}[F^n]\to \mathbb{C}$ such that $\chi (1)=0$. Therefore, either $\chi (1_C)=0$ or $\chi (1_{B_e})=0$. That is, either ${\sum }_{c\in C}\chi (c)=0$ or ${\sum }_{\text{wt}(w)\le e}\chi (w)=0$.
现在取 $A=\mathbb{C}$，并设 $\chi :F^n\to {\mathbb{C}}^{\ast }$ 是任意非平凡特征（也称为 $(F^n,+)$ 的庞特里亚金对偶中的非零元素）。则 $\chi$ 可以线性延拓为环同态 $\mathbb{C}[F^n]\to \mathbb{C}$，使得 $\chi (1)=0$。因此，要么 $\chi (1_C)=0$，要么 $\chi (1_{B_e})=0$。也就是说，要么 ${\sum }_{c\in C}\chi (c)=0$，要么 ${\sum }_{\text{wt}(w)\le e}\chi (w)=0$。

In our first application, we take $F=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. The characters $F^n\to {\mathbb{C}}^{\ast }$ are just the maps ${\chi }_v:w\mapsto (-1{)}^{⟨v,w⟩}$ for $v\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. By symmetry $\chi (1_{B_e})$ depends only on the weight of $v$, call it $x$. It is easier to find the character of a Hamming sphere S i = { w ∈ F n ∣ wt ( w ) = i } S_i = \{w \in F^n \mid \text {wt}(w) = i\} Si​={w∈Fn∣wt(w)=i}, and then sum over $0\le i\le e$. We find that
在我们的第一个应用中，取 $F=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。从 $F^n$ 到 ${\mathbb{C}}^{\ast }$ 的特征就是映射 ${\chi }_v:w\mapsto (-1{)}^{⟨v,w⟩}$，其中 $v\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。由对称性，$\chi (1_{B_e})$ 仅依赖于 $v$ 的重量，记为 $x$。找到汉明球 S i = { w ∈ F n ∣ wt ( w ) = i } S_i = \{w \in F^n \mid \text {wt}(w) = i\} Si​={w∈Fn∣wt(w)=i} 的特征更简单，然后对 $0\le i\le e$ 求和。我们发现

$$\chi \left(1_{S_i}\right)=\sum _{j=0}^i(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{j}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-x}{i-j}),$$

the polynomial in $x$ of degree $i$ is called the $i$-th Krawtchouk polynomial, which we denote by $K_i(x)$. Then $\chi (1_{B_e})={\sum }_{i=0}^e{K}_i(x)$; this too is a polynomial of degree $e$ in $x$, which we shall call $L_e(x)$ (with “L” for Lloyd). So for all nonzero $v$ whose weight is not a root of $L_e$, ${\sum }_{c\in C}(-1{)}^{⟨c,v⟩}=0$. Now for $n=90$ and $e=2$ we compute $L_2(x)=2(x^2-91x+2^{11})$, which is irreducible (discriminant 89—in general $\text{disc}(L_2/2)=n-1$), so $L_2(x)\ne 0$ for all integers $x$. But then a perfect $(90,2^{78},5)$ code $C$ would have $\chi (1_C)=0$ for all nontrivial $\chi$, which is impossible because $1_C$ would then be a constant function (in general ${\chi }_v(a)$ is the value at $v$ of the discrete Fourier transform $\hat{a}$ of the map $w\mapsto a_w$, and if $\hat{a}$ is supported on the identity then $a$ is constant). This proves that there is no such code $C$, as claimed.
$x$ 的 $i$ 次多项式称为第 $i$ 个克拉夫楚克多项式，记为 $K_i(x)$。则 $\chi (1_{B_e})={\sum }_{i=0}^e{K}_i(x)$；这也是 $x$ 的 $e$ 次多项式，我们称之为 $L_e(x)$（“L” 代表劳埃德（Lloyd））。因此，对于所有非零 $v$，若其重量不是 $L_e$ 的根，则 ${\sum }_{c\in C}(-1{)}^{⟨c,v⟩}=0$。对于 $n=90$ 和 $e=2$，我们计算得 $L_2(x)=2(x^2-91x+2^{11})$，它是不可约的（判别式为 89—— 一般来说，$\text{disc}(L_2/2)=n-1$），因此对于所有整数 $x$，$L_2(x)\ne 0$。但这样一来，完美的 (90, $2^{78}$, 5) 码 $C$ 对于所有非平凡的 $\chi$ 都有 $\chi (1_C)=0$，这是不可能的，因为此时 $1_C$ 将是一个常值函数（一般来说，${\chi }_v(a)$ 是映射 $w\mapsto a_w$ 的离散傅里叶变换 $\hat{a}$ 在 $v$ 处的值，并且如果 $\hat{a}$ 的支集在单位元上，那么 $a$ 是常值的）。这就证明了不存在这样的码 $C$，正如所声称的那样。

What happens for values of $n$ for which we do know a perfect code? For $e=2$, these are $n=2$ (single-word) and $n=5$ (repetition), and indeed in each case $n-1$ is a square; we find that $L_2(x)=2(x-1)(x-2)$ and $2(x-2)(x-4)$ respectively. Moreover we can now show that there are no further perfect 2-error-correcting binary codes. If there were such a code of length $n$ then $\#(B_2)$ would be a power of 2 and $L_2$ would have rational roots. But $\#(B_2)$ is the image of $1_{B_2}$ under the trivial character, which is $L_2(0)$. If $L_2$ has integer roots then both are powers of 2 (because $L_2$ has integer coefficients, leading coefficient 2, and power-of-2 constant term). But the roots are $(n+1\pm \sqrt{n-1})/2$, and thus not equal but too close to be distinct powers of 2 once $n>5$. Once we have Lloyd’s criterion we’ll be able to generalize this argument to prove the theorem of Tietäväinen and van Lint that the known list of parameters of perfect codes over alphabets of prime-power order is complete.
对于我们已知存在完美码的 $n$ 值，情况如何呢？对于 $e=2$，这些 $n$ 值是 $n=2$（单字码）和 $n=5$（重复码），事实上在这两种情况下，$n-1$ 都是平方数；我们发现 $L_2(x)$ 分别为 $2(x-1)(x-2)$ 和 $2(x-2)(x-4)$。此外，我们现在可以证明不存在更多的二元完美 2 - 纠错码。如果存在这样的长度为 $n$ 的码，则 $\#(B_2)$ 将是 2 的幂，且 $L_2$ 将有有理根。但 $\#(B_2)$ 是 $1_{B_2}$ 在平凡特征下的像，即 $L_2(0)$。如果 $L_2$ 有整数根，则这些根都是 2 的幂（因为 $L_2$ 具有整数系数、首项系数为 2 且常数项为 2 的幂）。但根的形式为 $(n+1\pm \sqrt{n-1})/2$，因此当 $n>5$ 时，它们不相等但过于接近，无法成为不同的 2 的幂。一旦我们有了劳埃德准则，就能推广这一论证，以证明蒂埃瓦伊宁（Tietäväinen）和范林特（van Lint）的定理：素数幂阶字母表上的完美码的已知参数列表是完整的。

First let’s see what $L_e$ does for $e=3$, for which we know a nontrivial perfect code $G_{23}$ as well as the trivial perfect codes: here $L_3(x)$ factors as
首先我们来看 $e=3$ 时 $L_e$ 的情况，对于这种情况，我们已知存在一个非平凡完美码 $G_{23}$ 以及平凡完美码：此时 $L_3(x)$ 的因式分解为

$$\begin{array}{rl}& -\frac{4}{3}(m-1)(m-2)(m-3),\\ & -\frac{4}{3}(m-2)(m-4)(m-6),\\ & -\frac{4}{3}(m-8)(m-12)(m-16)\end{array}$$

for $n=3,7,23$ respectively. This is quite suggestive; not only does $L_3$ factor completely (so far we knew only that it had to vanish at one integer $x\in [1,n]$), but in each case, including the sporadic $G_{23}$, we recognize the roots as the nonzero weights of the dual code! The same was true for the $n=2$ and $n=5$ cases of perfect codes of length $e=2$.
分别对应 $n=3,7,23$。这很有启发性：不仅 $L_3$ 可以完全因式分解（到目前为止，我们只知道它必须在某个整数 $x\in [1,n]$ 处取值为 0），而且在每种情况下，包括散在码 $G_{23}$，我们都发现这些根是对偶码的非零重量！对于 $e=2$ 的完美码的 $n=2$ 和 $n=5$ 情况，也是如此。

What happens to this analysis for finite fields $F$ with $q=\#F$ other than 2? Again $C\subseteq F^n$ is a perfect $e$-error-correcting code iff $1_C{1}_{B_e}=1$ in $A[G]$, which again implies that for every nontrivial $\chi$ in the Pontrjagin dual of $(F^n,+)$ either $\chi (1_C)$ or $\chi (1_{B_e})$ vanishes. As usual we identify this Pontrjagin dual with $F^n$ by fixing a nontrivial character $\psi :F\to {\mathbb{C}}^{\ast }$ and writing an arbitrary $\chi$ as ${\chi }_v:w\mapsto \psi (⟨v,w⟩)$. Then we see as before that ${\sum }_{w\in B_e}{\chi }_v(w)$ depends only on $x=\text{wt}(v)$, and write the sum as $L_e(x)={\sum }_{i=0}^e{K}_i(x)$ where for general $q$ the Krawtchouk polynomial is defined by
对于 $q=\#F\ne 2$ 的有限域 $F$，上述分析会如何呢？同样，$C\subseteq F^n$ 是完美 $e$- 纠错码当且仅当在 $A[G]$ 中 $1_C{1}_{B_e}=1$，这同样意味着对于 $(F^n,+)$ 的庞特里亚金对偶中的每个非平凡 $\chi$，要么 $\chi (1_C)=0$，要么 $\chi (1_{B_e})=0$。像往常一样，我们通过固定一个非平凡特征 $\psi :F\to {\mathbb{C}}^{\ast }$，并将任意 $\chi$ 写为 ${\chi }_v:w\mapsto \psi (⟨v,w⟩)$，来将这个庞特里亚金对偶与 $F^n$ 等同起来。然后我们如前所述发现，${\sum }_{w\in B_e}{\chi }_v(w)$ 仅依赖于 $x=\text{wt}(v)$，并将这个和记为 $L_e(x)={\sum }_{i=0}^e{K}_i(x)$，其中对于一般的 $q$，克拉夫楚克多项式定义为

$$K_i(x)=\sum _{j=0}^i(-1{)}^j(q-1{)}^{i-j}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-x}{i-j}\right).$$

We argue as before that $L_e$ must have at least one integer root, and shall show that in fact all $e$ roots must be integers. For example, the ternary Golay code with $q=3$, $n=11$, and $e=2$ yields $L_2(x)=(9/2)(x-6)(x-9)$, with roots at the nonzero weights 6 and 9 of ${\mathcal{G}}_{11}^{\perp }$.
我们如前所述论证，$L_e$ 必须至少有一个整数根，并且将证明实际上所有 $e$ 个根都必须是整数。例如，对于 $q=3$、$n=11$、$e=2$ 的三元格雷码，有 $L_2(x)=(9/2)(x-6)(x-9)$，其根为对偶码 ${\mathcal{G}}_{11}^{\perp }$ 的非零重量 6 和 9。

We now prove Lloyd’s theorem: if there is a perfect $e$-error-correcting code $C\subseteq F^n$ then the associated polynomial $L_e={\sum }_{i=0}^e{K}_i$ has all $e$ roots integral. Suppose not. Then there is a nonzero polynomial $P(x)$ of degree strictly below $e$ such that $P(x)=0$ on every integral root of $L_e$. We can write $P$ as a nonzero linear combination ${\sum }_{i=0}^{e-1}{p}_i{K}_i$ of Krawtchouk polynomials of degree $i<e$. Then the function $P(\text{wt}(\cdot ))$ is the discrete Fourier transform of $\beta :={\sum }_{i=0}^{e-1}{p}_i{1}_{S_i}$, so $\chi (1_C\beta )=0$ for all nonzero $\chi$, whence $1_C\beta$ is a constant function. But this is impossible because the $C$-translates of $S_i(0\le i<e)$ are disjoint and do not cover $F^n$, Q.E.D.
我们现在证明劳埃德定理：如果存在完美 $e$- 纠错码 $C\subseteq F^n$，则相关多项式 $L_e={\sum }_{i=0}^e{K}_i$ 的所有 $e$ 个根都是整数。假设不是这样，则存在一个次数严格小于 $e$ 的非零多项式 $P(x)$，使得 $P(x)=0$ 在 $L_e$ 的每个整数根处成立。我们可以将 $P$ 写为次数 $i<e$ 的克拉夫楚克多项式的非零线性组合 ${\sum }_{i=0}^{e-1}{p}_i{K}_i$。则函数 $P(\text{wt}(\cdot ))$ 是 $\beta :={\sum }_{i=0}^{e-1}{p}_i{1}_{S_i}$ 的离散傅里叶变换，因此对于所有非零 $\chi$，$\chi (1_C\beta )=0$，从而 $1_C\beta$ 是一个常值函数。但这是不可能的，因为 $S_i(0\le i<e)$ 的 $C$- 平移是不相交的，且不覆盖 $F^n$，证毕。

reference

1. 1929; The Ukrainian name is also seen in other transliterations such as Kravchuk.
   1929; 这个乌克兰姓氏也有其他音译，如 Kravchuk（克拉夫丘克）。

2. This also follows from the fact that $\#(B_2)$ is never a power of 2 for $n>90$, i.e. that there is no $y>181$ for which $y^2+7$ is a power of 2; but that’s a harder theorem (Nagell 1948, 1961).
   这也可由以下事实推出：对于 $n>90$，$\#(B_2)$ 永远不是 2 的幂，即不存在 $y>181$ 使得 $y^2+7$ 是 2 的幂；但这是一个更难的定理（纳格尔（Nagell），1948 年，1961 年）。

3. 1973; I see on Google Books that Raymond Hill reports (in A First Course in Coding Theory (1986), page 102) that the result was obtained independently by Zinov’ev and Leont’ev in the same year. For lack of time we shall not complete the proof of the Tietäväinen-van Lint (-Leont’ev-Zinov’ev) theorem in Math 256.
   1973 年；我在谷歌图书上看到雷蒙德・希尔（Raymond Hill）在《编码理论基础》（1986 年，第 102 页）中提到，这一结果在同年由济诺夫耶夫（Zinov’ev）和列昂季耶夫（Leont’ev）独立得到。由于时间有限，我们将不在数学 256 课程中完成蒂埃瓦伊宁 - 范林特（- 列昂季耶夫 - 济诺夫耶夫）定理的证明。

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Lloyd 定理在编码理论与组合数学中的应用

Lloyd 定理作为编码理论与组合数学交叉领域的核心结论，其应用场景围绕 “e - 完备码的存在性判定、参数设计与理论延伸” 展开，既覆盖编码理论的基础研究，也支撑通信、存储等工程领域的纠错编码实践。

以下从核心应用场景出发，结合定理本质（e - 完备码存在的必要条件：劳埃德多项式在 $1,...,n$ 中有 $e$ 个不同零点）详细说明：

一、应用场景 1：e - 完备码的存在性判定与参数筛选

这是 Lloyd 定理最直接的应用，解决编码理论中的基础问题 ——“给定参数 $n$（码长）、$e$（纠错能力）、$q$（符号集大小），是否可能存在 e - 完备码？”

原理与价值

e - 完备码的核心特性是 “以每个码 word（码字）为中心、半径为 $e$ 的汉明球能完美划分整个符号空间 $Q^n$”，这种 “无重叠、无遗漏” 的特性使其纠错效率最优（冗余位最少、纠错能力明确）。但并非任意参数组合都能构造出 e - 完备码，而 Lloyd 定理提供了关键的 “必要条件”：

若参数 $(n,e,q)$ 对应的劳埃德多项式 $L_e(x)$ 在 $1,...,n$ 中没有 $e$ 个不同零点，则一定不存在该参数的 e - 完备码；若满足，则需进一步通过构造性证明（如代数方法、组合设计）确认存在性。

实例

• 排除无效参数：若设 $q=2$（二进制）、$e=2$（纠正 2 位错误）、$n=10$，计算劳埃德多项式 $L_2(x)={\sum }_{l=0}^2(-1{)}^l(2-1{)}^{2-l}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{l}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10-x}{2-l}\right)$，会发现其零点不在 $1,...,10$ 中或数量不足 2 个，因此可直接判定 “二进制、码长 10、纠错 2 位的 e - 完备码不存在”，避免研究者在无效参数上浪费构造精力。
• 缩小研究范围：在探索 “非素数幂 $q$ 的 e - 完备码” 时（论文中 Lloyd 最初仅证明素数幂 $q$ 情形，后经推广覆盖一般 $q$），Lloyd 定理可先筛选出满足多项式零点条件的 $(n,e,q)$ 组合，再针对性研究构造方法，大幅缩小理论研究的参数空间。

二、应用场景 2：经典完备码的验证与分类

编码理论中存在少数 “已知且实用” 的完备码（如汉明码、戈莱码），Lloyd 定理可用于验证这些经典码的 “完备性”，并辅助推导完备码的分类规律。

1. 汉明码（1 - 完备码）的验证

汉明码是最经典的 1 - 完备码（纠正 1 位错误），参数满足 $n=\frac{q^r-1}{q-1}$（$r$ 为正整数，且 $r\ge 2$），例如二进制汉明码（$q=2$）的码长 $n=2^r-1$（如 $r=3$ 时 $n=7$，$r=4$ 时 $n=15$）。

• 对二进制汉明码（$q=2,e=1$），劳埃德多项式为
  $$\begin{array}{rl}{L}_1(x)& ={(-1)}^0{(2-1)}^{1-0}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{0}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-x}{1-0}\right)+{(-1)}^1{(2-1)}^{1-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-x}{1-1}\right)\\ & =(n-x)-(x-1)\\ & =n+1-2x\end{array}$$
• 令 $L_1(x)=0$，解得 $x=\frac{n+1}{2}$。由于汉明码的 $n=2^r-1$，则 $x=2^{r-1}$，显然在 $1,...,n$ 范围内（如 $r=3,n=7$ 时，$x=4$；$r=4,n=15$ 时，$x=8$），且仅有 1 个零点（符合 $e=1$ 的要求），因此验证了汉明码满足 e - 完备码的必要条件（结合汉明码的构造性证明，可进一步确认其存在性）。

2. 戈莱码（2 - 完备码）的验证与分类

戈莱码是罕见的 2 - 完备码（纠正 2 位错误），仅存在两种非平凡形式：二进制戈莱码（$n=23,q=2,e=2$）和三进制戈莱码（$n=11,q=3,e=2$）（平凡完备码指全空间码或单元素码，无实际纠错意义）。

• 对二进制戈莱码（$n=23,q=2,e=2$），计算劳埃德多项式 $L_2(x)$（展开式为 $L_2(x)=x^2-24x+95$），可得到两个不同零点 $x=5$ 和 $x=19$（均在 $1,...,23$ 范围内），满足 “$e=2$ 个不同零点” 的条件，验证了其完备性。
• 利用 Lloyd 定理可进一步证明：除汉明码、戈莱码外，不存在其他非平凡的线性 e - 完备码（这是编码理论的经典结论，由 van Lint 等学者基于 Lloyd 定理完善），其核心步骤就是通过劳埃德多项式的零点约束，排除其他参数组合构造非平凡线性 e - 完备码的可能性。

三、应用场景 3：通信与存储系统的纠错编码设计

在实际工程中，Lloyd 定理通过 “筛选有效参数” 指导高可靠性、高效率的纠错编码方案设计，尤其适用于带宽 / 功率受限、对纠错效率要求高的场景。

1. 通信系统（如卫星 / 深空通信）

卫星、深空通信的信道噪声强（如宇宙射线干扰、电离层闪烁），且带宽 / 功率资源有限，需要 “用最少冗余位实现最大纠错能力” 的编码 ——e - 完备码恰好满足这一需求（无冗余重叠）。

• 设计流程：

  1. 根据信道噪声水平（通过误码率测试评估）确定所需纠错能力 $e$（如深空通信因噪声极强，需纠正 2 位错误，即 $e=2$）；
  2. 确定符号集大小 $q$（如二进制 $q=2$ 适用于简化硬件实现，四进制 $q=4$ 适用于带宽利用率要求高的场景）；
  3. 用 Lloyd 定理筛选满足条件的码长 $n$（计算 $L_e(x)$，找到使多项式在 $1,...,n$ 内有 $e$ 个不同零点的 $n$）；
  4. 基于筛选后的参数构造 e - 完备码（如 $e=2$ 时选用戈莱码），并通过硬件电路（如 FPGA）实现编码与解码，确保通信中错误能被高效纠正。

• 实例：NASA 的深空探测器（如旅行者 1 号、2 号）在数据传输中曾使用二进制戈莱码（$n=23,q=2,e=2$）保护科学数据，Lloyd 定理是验证该码完备性与有效性的关键理论依据，保障了探测器在数十亿公里外仍能向地球传回可靠数据。

2. 存储系统（如硬盘 / 闪存差错控制）

存储设备（如 SSD 闪存、机械硬盘）因物理损耗（如闪存单元氧化老化、硬盘磁头碰撞）易出现数据错误，需纠错码保障数据可靠性。e - 完备码的 “错误模式唯一对应” 特性（每个错误模式仅属于一个汉明球）可快速定位错误，减少数据恢复时间。

• 应用逻辑：
  若存储系统需纠正 $e=1$ 位错误（常见场景，如 SSD 单页数据的随机错误），则可通过 Lloyd 定理确认 “二进制汉明码” 的参数（如 $n=7$、信息位 4 位、冗余位 3 位）是否适用：计算 $L_1(x)=7+1-2x=8-2x$，零点 $x=4$ 在 $1,...,7$ 范围内，满足必要条件；再结合汉明码的构造方法，将其集成到存储控制器的差错控制模块中，实现 “高效纠错 + 低冗余开销” 的平衡（相比其他纠错码，汉明码冗余位仅 3 位，大幅节省存储资源）。

四、组合数学与关联方案的理论研究

Lloyd 定理的本质是 “组合设计与代数多项式的结合”（如利用克拉夫楚克多项式对角化汉明距离矩阵），其方法可延伸到组合数学、关联方案、t - 设计等交叉领域，为这些领域提供新的分析工具。

• 关联方案：编码理论中的 “汉明关联方案”（以汉明距离为关联关系，将符号空间中元素按与固定元素的汉明距离分类）与 e - 完备码密切相关。Lloyd 定理中 “通过多项式对角化分析组合结构” 的代数技巧，可用于推导汉明关联方案的参数约束（如类数、交点数），并证明关联方案与 e - 完备码的等价性（即 e - 完备码对应汉明关联方案中的特定子集）。
• t - 设计：e - 完备码是组合设计中 “t - 设计” 的特殊情况（具体对应 “$2e+1$ - 设计”，即每个 $2e+1$ 元子集恰好包含一个码长为 $n$ 的 e - 完备码的码字）。Lloyd 定理的多项式零点条件可推广到 t - 设计的存在性判定：将 t - 设计的参数转化为多项式零点问题，通过判断多项式是否存在指定数量的整数零点，快速排除无效的 t - 设计参数组合，为组合数学中 t - 设计的构造提供理论指导。

注意：必要条件≠充分条件

需明确 Lloyd 定理仅提供 e - 完备码存在的必要条件（满足多项式零点条件不代表一定存在对应的 e - 完备码，需额外通过构造性证明或实例验证确认存在性），但这并不影响其价值 —— 在编码理论中，“排除不可能” 与 “确认可能” 同样重要。例如，当参数 $(n,e,q)$ 不满足 Lloyd 定理的必要条件时，研究者可直接放弃该参数的构造尝试；而仅对满足条件的参数开展进一步研究，大幅节省了理论推导与实验验证的成本。

总结

Lloyd 定理的应用场景可概括为 “理论筛选 - 经典验证 - 工程设计” 三层，其核心是将 “e - 完备码的存在性” 这一复杂的组合问题，转化为 “多项式零点判定” 这一简洁的代数问题，为编码理论与相关交叉领域提供了有力的分析工具：

1. 理论层：通过多项式零点条件筛选 e - 完备码的可能参数，推导非平凡线性 e - 完备码的分类规律（仅汉明码、戈莱码），缩小理论研究范围；
2. 验证层：对汉明码、戈莱码等经典完备码，通过计算劳埃德多项式的零点，验证其满足 e - 完备码的必要条件，为后续构造性证明提供基础；
3. 工程层：在通信（卫星、深空）、存储（SSD、硬盘）等场景中，指导高效纠错编码方案的参数设计，平衡系统的可靠性（纠错能力）与资源开销（带宽、存储）。

此外，Lloyd 定理的方法还延伸到组合数学的关联方案、t - 设计等领域，成为连接编码理论与组合数学的重要桥梁，推动了交叉学科的理论发展。

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via：

• lloyd.pdf - Math $2^8$ : The Theory of Error-Correcting Codes Lloyd’s theorem: a necessary condition for perfect error correction
  https://people.math.harvard.edu/~elkies/M256.13/lloyd.pdf

• Lloyd’s theorem for perfect codes
  https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X78900900

• A GENERALISED LLOYD THEOREM AND MIXED PERFECT CODES
  https://www.jstor.org/stable/24490714

• 如何理解 unitary t-design? - 知乎
  https://www.zhihu.com/question/468802998

  • 量子机器学习中的贫瘠高原 Barren Plateau_哔哩哔哩_bilibili
    https://www.bilibili.com/video/av593380461/

• 量子神经网络中的贫瘠高原（Barren Plateau）现象 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/207004295

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