LLOYD’S THEOREM | AN ELEMENTARY PROOF

注：本文为 “LLOYD’S THEOREM” 相关英文引文，机翻未校。
如有内容异常，请看原文。

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AN ELEMENTARY PROOF OF LLOYD’S THEOREM

劳埃德定理的初等证明

BY
D. M. CVETKOVIC AND J. H. VAN LINT
D. M. 茨维特科维奇与 J. H. 范·林特
(Communicated at the meeting of September 25, 1976)

1. INTRODUCTION

1. 引言

Consider a set $F$ of $q$ distinct symbols which we call the alphabet. The elements of $F^n$ will be called words of length $n$. Hamming distance $d$ in $F^n$ is defined by
设 $F$ 是包含 $q$ 个不同符号的集合，我们称之为字母表。$F^n$ 中的元素称为长度为 $n$ 的字（简称 $n$ 长字）。$F^n$ 中的汉明距离 $d$ 定义为

d ( x ‾ , y ‾ ) : = # { i ∣ x i ≠ y i , 1 ≤ i ≤ n } d(\underline{x}, \underline{y}) := \#\left\{i \mid x_i \neq y_i, 1 \leq i \leq n\right\} d(x​,y​):=#{i∣xi​=yi​,1≤i≤n}.

（其中 $\#S$ 表示集合 $S$ 的元素个数，即满足 $1\le i\le n$ 且 $x_i\ne y_i$ 的下标 $i$ 的个数）

A subset $C$ of $F^n$ is called a perfect $e$-code if the spheres

$F^n$ 的一个子集 $C$ 被称为一个 完美 $e$-码，如果（以下条件成立）：

S e ( c ‾ ) : = { x ‾ ∈ F n ∣ d ( x ‾ , c ‾ ) ≤ e } , S_e(\underline{c}) := \left\{\underline{x} \in F^n \mid d(\underline{x}, \underline{c}) \leq e\right\}, Se​(c​):={x​∈Fn∣d(x​,c​)≤e},

where $\underline{c}$ runs through $C$ , form a partition of $F^n$.We define the distance $d(\underline{x},C)$ of $\underline{x}$ to the code $C$ by

其中 $\underline{c}$ 取遍 $C$ 中所有元素，构成 $F^n$ 的一个划分，则称 $C$ 为完备 $e$-码（perfect $e$-code）。我们定义字 $\underline{x}$ 到码 $C$ 的距离 $d(\underline{x},C)$ 为

d ( x ‾ , C ) : = min ⁡ { d ( x ‾ , c ‾ ) ∣ c ‾ ∈ C } d(\underline{x}, C) := \min \left\{d(\underline{x}, \underline{c}) \mid \underline{c} \in C\right\} d(x​,C):=min{d(x​,c​)∣c​∈C}

即 $\underline{x}$ 与 $C$ 中所有元素的汉明距离的最小值

and we denote by $C_i$ the set
并记集合 $C_i$ 为
C i : = { x ‾ ∈ F n ∣ d ( x ‾ , C ) = i } , ( i = 0 , 1 , … , e ) . C_i := \left\{\underline{x} \in F^n \mid d(\underline{x}, C) = i\right\}, (i = 0, 1, \dots, e). Ci​:={x​∈Fn∣d(x​,C)=i},(i=0,1,…,e).

（即 $F^n$ 中到 $C$ 的距离恰好为 $i$ 的所有字的集合）

Observe that if $C$ is a perfect $e$-code then the sets $C_i$, $i=0,1,\dots ,e$, form a partition of the space $F^n$.
易知，若 $C$ 是完备 $e$-码，则集合 $C_0,C_1,\dots ,C_e$ 构成空间 $F^n$ 的一个划分。

In 1957 S. P. Lloyd (cf. [7]) proved a strong necessary condition for the existence of a binary (i.e. $q=2$) perfect $e$-code. This theorem was generalized to the case where $q$ is a prime power by F. J. Mac Williams (cf. [8]) and recast by A. M. Gleason (cf. Van Lint [6]).
1957 年，S. P. 劳埃德（S. P. Lloyd）（参见文献 [7]）证明了二元（即 $q=2$）完备 $e$-码存在的一个强必要条件。后来，F. J. 麦克威廉姆斯（F. J. Mac Williams）（参见文献 [8]）将该定理推广到 $q$ 为素数幂的情形，A. M. 格里森（A. M. Gleason）（参见范·林特的著作 [6]）则对其形式进行了重构。

Recently P. Delsarte [4], H. W. Lenstra [5] and L. A. Bassalygo [1] proved that the theorem, which is always referred to as Lloyd’s Theorem, holds for all $q$. Other generalizations were given by N. L. Biggs [2] and by D. H. Smith [10].
近期，P. 德尔萨特（P. Delsarte）[4]、H. W. 伦斯特拉（H. W. Lenstra）[5] 与 L. A. 巴萨利戈（L. A. Bassalygo）[1] 证明了：这个通常被称为劳埃德定理（Lloyd’s Theorem）的结论，对所有 $q$ 都成立。N. L. 比格斯（N. L. Biggs）[2] 与 D. H. 史密斯（D. H. Smith）[10] 还给出了该定理的其他推广形式。

Although the proofs are not extremely difficult they usually involve a lot of algebraic background. In this paper we shall give a simple proof of Lloyd’s Theorem which requires no further knowledge than the definitions given in this introduction and the concepts of eigenvector and eigenvalue of a square matrix (cf. [2]).
尽管这些证明并非特别困难，但通常需要大量代数学背景知识。本文将给出劳埃德定理的一个初等证明，所需预备知识仅包括本引言中给出的定义，以及方阵的特征向量与特征值概念（参见文献 [2]）。

A stronger version of Lemma 3.2, on which our proof is actually based, has been used in graph theory for the investigation of the existence of partitions of the vertex set of a graph, which have some properties like those of the partition $C_0,C_1,\dots ,C_e$ (see, for example, [3]).
本文证明所依赖的引理 3.2，其更强形式已被用于图论研究：具体而言，是研究图的顶点集是否存在具有类似 $C_0,C_1,\dots ,C_e$ 划分性质的划分（例如参见文献 [3]）。

On the other hand, coding theory problems can be formulated in terms of graphs (cf. [9]) but it is not necessary, especially not in the context of this paper.
另一方面，编码理论中的问题也可通过图论语言表述（参见文献 [9]），但这并非必需，尤其在本文的语境下无需如此。

In Section 2 we shall give some lemmas on matrices and do the calculations necessary for our proof. In Section 3 we state Lloyd’s Theorem and give the elementary proof of this theorem.
第 2 节将给出若干矩阵相关引理，并完成证明所需的计算；第 3 节将陈述劳埃德定理，并给出其初等证明。

2. LEMMAS ON MATRICES

2. 矩阵相关引理

(2.1) DEFINITION: The square matrix $A_k$ of size $q^k$ is defined as follows. Number the rows and columns by the $q$-ary system from 0 to $q^k-1$. The entry $A_k(i,j)$ is 1 if the representations of $i$ and $j$ differ in exactly one digit, otherwise $A_k(i,j)=0$.
（2.1）定义：$A_k$ 是一个 size 为 $q^k$ 的方阵，其定义如下：行与列均采用 $q$ 进制编号，编号范围为 0 到 $q^k-1$；若 $i$ 与 $j$ 的 $q$ 进制表示恰好有一位不同，则矩阵元素 $A_k(i,j)=1$，否则 $A_k(i,j)=0$。

Observe that we can identify the $q$-ary representation of the integers 0 to $q^k-1$ with the elements of $F^k$, where F = { 0 , 1 , … , q − 1 } F = \{0, 1, \dots, q - 1\} F={0,1,…,q−1}. In this terminology $A_k(i,j)=1$ if the elements corresponding to $i$ and $j$ have Hamming distance 1.
易知，整数 0 到 $q^k-1$ 的 $q$ 进制表示可与 $F^k$ 中的元素一一对应（其中 F = { 0 , 1 , … , q − 1 } F = \{0, 1, \dots, q - 1\} F={0,1,…,q−1}）。在该对应关系下，若 $i$ 与 $j$ 所对应的 $F^k$ 元素的汉明距离为 1，则 $A_k(i,j)=1$。

From the definition of $A_k$ it is clear that
由 $A_k$ 的定义可直接推出：
$$(2.2)A_{k+1}=I_q\times (A_k-I_{q^k})+J_q\times I_{q^k},$$

where as usual $I_m$ denotes the identity matrix of size $m$, $J_m$ the all-one matrix of size $m$ and $\times$ indicates the Kronecker product.
其中，如通常定义：$I_m$ 表示 size 为 $m$ 的单位矩阵，$J_m$ 表示 size 为 $m$ 的全 1 矩阵，$\times$ 表示克罗内克积（Kronecker product）。

(2.3) LEMMA: The matrix $A_k$ has the eigenvalues with multiplicities
（2.3）引理：矩阵 $A_k$ 的特征值及其重数如下：

• Eigenvalues 特征值:
  $-k+jq$ ($j=0,1,\dots ,k$)

• Multiplicities 重数:
  $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}\right)(q-1{)}^{k-j}$

PROOF: The proof is by induction. For $k=1$ we have $A_1=J_q-I_q$ and then the assertion is well known.
证明：采用数学归纳法。当 $k=1$ 时，$A_1=J_q-I_q$，此时结论是熟知的（即 $J_q-I_q$ 的特征值与重数满足引理所述）。

Now let the column vector $\underline{x}$ be an eigenvector of $A_k$ belonging to the eigenvalue $\lambda$. Then by (2.2) we have
设列向量 $\underline{x}$ 是 $A_k$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则由式 (2.2) 可得：
$$(2.4)A_{k+1}{\left({\underline{x}}^T,{\underline{x}}^T,\dots ,{\underline{x}}^T\right)}^T=(\lambda +q-1){\left({\underline{x}}^T,{\underline{x}}^T,\dots ,{\underline{x}}^T\right)}^T$$

(where on both sides ${\underline{x}}^T$ is repeated $q$ times).
（式中左右两边的 ${\underline{x}}^T$ 均重复 $q$ 次）

If $(c_1,\dots ,c_q{)}^T$ is an eigenvector of $J_q$ with eigenvalue 0 (which eigenvalue has multiplicity $q-1$) then
若 $(c_1,\dots ,c_q{)}^T$ 是 $J_q$ 对应于特征值 0 的特征向量（特征值 0 的重数为 $q-1$），则
$$(2.5)A_{k+1}{\left(c_1{\underline{x}}^T,c_2{\underline{x}}^T,\dots ,c_q{\underline{x}}^T\right)}^T=(\lambda -1){\left(c_1{\underline{x}}^T,\dots ,c_q{\underline{x}}^T\right)}^T$$

because ${\sum }_{i=1}^q{c}_i=0$. The induction step now follows from (2.4) and (2.5) and well-known properties of binomial coefficients.
这是因为 ${\sum }_{i=1}^q{c}_i=0$（全 1 矩阵 $J_q$ 对应于特征值 0 的特征向量满足分量和为 0）。结合式 (2.4)、(2.5) 以及二项式系数的熟知性质，可完成归纳递推步骤。

The technically most difficult part of our proof is determining the eigenvalues of certain tridiagonal matrices occurring in the next section. To keep the notation compact we use the following definition.
本文证明中技术上最复杂的部分，是确定下一节中出现的某些三对角矩阵的特征值。为简化符号，我们给出如下定义：

(2.6) DEFINITION: The matrix $Q_e=Q_e(a,b,s)$ is the tridiagonal matrix given by
（2.6）定义：$Q_e=Q_e(a,b,s)$ 是如下形式的三对角矩阵：
$$Q_e(a,b,s):=\left(\begin{array}{ccccc}a& b& 0& \dots & 0\\ 1& a+(s-1)& b-s& \dots & 0\\ 0& 2& a+2(s-1)& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & a+e(s-1)\end{array}\right)$$

原文矩阵排版略有省略，此处三对角结构：
主对角线元素为 $a+i(s-1)$（$i=0,1,\dots ,e$），
上对角线元素依次为 $b,b-s,b-2s,\dots$，
下对角线元素依次为 $1,2,\dots ,e$）

Furthermore we define Furthermore we define
此外，我们定义
$$P_e=P_e(a,b,s):=\left(\begin{array}{cc}{Q}_{e-1}(a,b,s)& \begin{array}{c}1\\ ⋮\\ 1\end{array}\\ \begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\end{array}& e\end{array}\right).$$

其中矩阵上半部分为 $Q_{e-1}(a,b,s)$ 与一个全 1 列向量的拼接，下半部分为一个全 0 行向量与元素 $e$ 的拼接

The determinants of these matrices are denoted by ${\bar{Q}}_e$, resp. ${\bar{P}}_e$. Developing by the last row we find from (2.6)
记这些矩阵的行列式分别为 ${\bar{Q}}_e$（对应 $Q_e$）和 ${\bar{P}}_e$（对应 $P_e$）。对式 (2.6) 中的 $Q_e$ 按最后一行展开，可得
$$(2.7){\overline{Q}}_e=(a+e(s-1)){\overline{Q}}_{e-1}-e(b-(e-1)s){\overline{Q}}_{e-2}.$$

By adding all columns to the last one we find, developing by the last row
将 $Q_e$ 的所有列加到最后一列上，再按最后一行展开，可得
$$(2.8){\overline{Q}}_e=(a+es){\overline{Q}}_{e-1}-e(a+b){\overline{P}}_{e-1}.$$

Developing $P_e$ by the last row yields
对 $P_e$ 按最后一行展开，可得
$$(2.9){\overline{P}}_e={\overline{Q}}_{e-1}-e{\overline{P}}_{e-1}.$$

Now apply (2.9) with $e+1$ instead of $e$, combine with (2.9) and eliminate the $\bar{Q}$ terms using (2.8). This yields
将式 (2.9) 中的 $e$ 替换为 $e+1$，与原式 (2.9) 联立，并利用式 (2.8) 消去 $\bar{Q}$ 项，可得
$$(2.10){\overline{P}}_{e+1}=(a+es-e-1){\overline{P}}_e-e(b-es){\overline{P}}_{e-1}.$$

The recurrence relation (2.10) relates the determinants to well known polynomials which we now introduce.
递推关系 (2.10) 将上述行列式与一些已知多项式关联起来，下面我们引入这些多项式。

(2.11) DEFINITION: The Krawtchuk polynomial $K_k$ is defined by
（2.11）定义：克拉夫丘克多项式（Krawtchuk polynomial）$K_k$ 定义为
$$K_k(n,u):=\sum _{j=0}^k(-1{)}^j(q-1{)}^{k-j}\left(\begin{array}{l}u\\ j\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}n-u\\ k-j\end{array}\right)$$

We shall call the polynomial ${\psi }_e$ defined by
我们将由下式定义的多项式 ${\psi }_e$ 称为
$${\psi }_e(n,x):=K_e(n-1,x-1)$$

Lloyd’s polynomial of degree $e$.

e 次劳埃德多项式

Using well known recurrence relations for Krawtchuk polynomials (cf. e.g. [4], (4.11)) we find for the Lloyd polynomials
利用克拉夫丘克多项式的已知递推关系（例如参见文献 [4] 中式 (4.11)），可推导出劳埃德多项式的递推关系：
( 2.12 ) ( e + 1 ) ψ e + 1 ( n , x ) = { e + ( q − 1 ) ( n − e ) − q x + 1 } ψ e ( n , x ) − ( q − 1 ) ( n − e ) ψ e − 1 ( n , x ) . \begin{aligned} (2.12) & (e+1) \psi_{e+1}(n, x)=\{e+(q-1)(n-e)-q x+1\} \psi_{e}(n, x)-(q-1)(n-e) \psi_{e-1}(n, x) . \end{aligned} (2.12)​(e+1)ψe+1​(n,x)={e+(q−1)(n−e)−qx+1}ψe​(n,x)−(q−1)(n−e)ψe−1​(n,x).​

(2.13) LEMMA: Let $s:=q-1$. Then we have
（2.13）引理：设 $s:=q-1$，则有
$${\overline{P}}_e(qy-ns,ns,s)=(-1{)}^{e}e!{\psi }_e(n,y)$$

PROOF: For $e=1$ and $e=2$ it is easy to check the assertion using the definitions. By substitution of the appropriate values of $a$ and $b$ in (2.10) and using (2.12) we see that the polynomials on both sides in (2.13) satisfy the same recurrence relation. This proves the lemma.
证明：当 $e=1$ 和 $e=2$ 时，利用定义可直接验证结论成立。将 $a$ 和 $b$ 的适当取值代入式 (2.10)，并结合式 (2.12) 可知，式 (2.13) 左右两边的多项式满足相同的递推关系。由此可证得本引理。

3. LLOYD’S THEOREM

3. 劳埃德定理

We first state the theorem.
我们首先陈述定理内容。

(3.1) THEOREM: If a perfect $e$-code of length $n$ over an alphabet of $q$ symbols exists, then ${\psi }_e(n,x)$ has $e$ distinct integral zeros among $1,2,\dots ,n$.
（3.1）定理：若存在长度为 $n$、基于 $q$ 元字母表的完备 $e$-码，则劳埃德多项式 ${\psi }_e(n,x)$ 在 $1,2,\dots ,n$ 中存在 $e$ 个不同的整数零点。

The fact that the zeros are distinct is a well known property of Krawtchuk polynomials. The interesting fact is that they are integers. The proof of (3.1) is a simple consequence of the following practically trivial lemma.
零点互不相同是克拉夫丘克多项式的已知性质，而本定理的关键意义在于证明这些零点是整数。定理 (3.1) 的证明可由下述简单引理直接推出。

(3.2) LEMMA: Let $A$ be a matrix of size $m$ by $m$ which has the form
（3.2）引理：设 $A$ 是一个 $m\times m$ 矩阵，且具有如下分块形式：
$$A=\left(\begin{array}{llll}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1k}\\ A_{21}& A_{22}& \dots & A_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{k1}& A_{k2}& \dots & A_{kk}\end{array}\right)$$
where $A_{ij}$ has size $m_i$ by $m_j$ ($i=1,2,\dots ,k$; $j=1,2,\dots ,k$) . Suppose that for each $i$ and $j$ the matrix $A_{ij}$ has constant row sums with sum $b_{ij}$. Let the matrix $B$ have entries $b_{ij}$. Then each eigenvalue of $B$ is also an eigenvalue of $A$.
其中，子矩阵 $A_{ij}$ 的尺寸为 $m_i\times m_j$（$i=1,2,\dots ,k$；$j=1,2,\dots ,k$）。若对任意 $i$ 和 $j$，子矩阵 $A_{ij}$ 的所有行和均为常数 $b_{ij}$，记以 $b_{ij}$ 为元素的矩阵为 $B$，则 $B$ 的每个特征值都是 $A$ 的特征值。

PROOF: Let $B\underline{x}=\lambda \underline{x}$ , where $\underline{x}=(x_1,x_2,...,x_k{)}^T$ . Define $\underline{y}$ by
证明：设 $B\underline{x}=\lambda \underline{x}$，其中 $\underline{x}=(x_1,x_2,...,x_k{)}^T$。定义向量 $\underline{y}$ 如下：
$$y^T:=\left(x_1,x_1,...,x_1,x_2,x_2,...,x_2,...,x_k,x_k,...,x_k\right)$$
where each $x_i$ is repeated $m_i$ times. By definition of $B$ it is obvious that $A\underline{y}=\lambda \underline{y}$.
其中，每个 $x_i$ 均重复 $m_i$ 次。由 $B$ 的定义可知，$A\underline{y}=\lambda \underline{y}$ 显然成立，引理得证。

We now prove Lloyd’s Theorem. Assume that $C$ is a perfect $e$-code of length $n$ over an alphabet $F$ of $q$ symbols, for which we can take F = { 0 , 1 , . . . , q − 1 } F=\{0,1, ..., q-1\} F={0,1,...,q−1} . Now consider the matrix $A_n$ as defined in (2.1) where again we identify row and column numbers with elements $F^n$.
现在我们证明劳埃德定理。设 $C$ 是基于 $q$ 元字母表 $F$（可取 F = { 0 , 1 , . . . , q − 1 } F=\{0,1, ..., q-1\} F={0,1,...,q−1}）、长度为 $n$ 的完备 $e$-码。考虑由式 (2.1) 定义的矩阵 $A_n$，同样将其行号与列号对应到 $F^n$ 中的元素。

We reorder the rows and columns of $A_n$ as follows. First take the rows and columns with a number corresponding to an element of $C$, then successively those with numbers corresponding to elements $C_i(i=1,2,...,e)$. Since $C$ is a perfect code the matrix $A_n$ now has the form of lemma 3.2 with $s:=q-1$ .
对 $A_n$ 的行和列按如下方式重新排序：首先排列与 $C$ 中元素对应的行和列，然后依次排列与 $C_1,C_2,...,C_e$ 中元素对应的行和列。由于 $C$ 是完备码，此时矩阵 $A_n$ 满足引理 3.2 的分块形式（取 $s:=q-1$）。

We now apply lemma 3.2. The eigenvalues $A_n$ were determined in lemma 2.3. In $\det \left(B-x{I}_{e+1}\right)$ we substitute $x=ns-yq$ which leads to the problem of determining $P_e(qy-ns,ns,s)$ . Then Lloyd’s Theorem follows from lemma 2.13.
对 $A_n$ 应用引理 3.2，其中 $A_n$ 的特征值已由引理 2.3 确定。在行列式 $\det \left(B-x{I}_{e+1}\right)$ 中代入 $x=ns-yq$，可将问题转化为求解 $P_e(qy-ns,ns,s)$。结合引理 2.13，即可证得劳埃德定理。

Department of Mathematics
数学系
Technological University, Eindhoven
埃因霍温理工大学

REFERENCES

参考文献

1. Bassalygo, L. A. - Generalization of Lloyd’s Theorem to Arbitrary Alphabet, Problems of Control and Information Theory 2, 25-28 (1973).
   巴萨利戈，L. A. - 《劳埃德定理到任意字母表的推广》，《控制与信息理论问题》第 2 卷，25-28 页（1973 年）。

2. Biggs, N. L. - Perfect Codes in Graphs, J. Comb. Theory B 15, 289-296 (1973).
   比格斯，N. L. - 《图中的完备码》，《组合论杂志 B 辑》第 15 卷，289-296 页（1973 年）。

3. Petersdorf, M. and H. Sachs - Spektrum und Automorphismengruppe eines Graphen, Combinatorial Theory and its Application, III (ed. P. Erdős, A. Rényi, V. T. Sós), Budapest, 891-907 (1970).
   彼得斯多夫，M. 与 H. 萨克斯 - 《图的谱与自同构群》，收录于《组合论及其应用》第三卷（编者：P. 埃尔德什、A. 雷尼、V. T. 绍什），布达佩斯，891-907 页（1970 年）。

4. Delsarte, P. - An Algebraic Approach to the Association Schemes of Coding Theory, Philips Res. Repts. Suppl. 10 (1973).
   德尔萨特，P. - 《编码理论中结合方案的代数方法》，《飞利浦研究报告增刊》第 10 卷（1973 年）。

5. Lenstra, H. W. - Two Theorems on Perfect Codes, Discr. Math. 3, 125-132 (1972).
   伦斯特拉，H. W. - 《关于完备码的两个定理》，《离散数学》第 3 卷，125-132 页（1972 年）。

6. Lint, J. H. van - Coding Theory, Springer Verlag, Berlin (1971).
   范·林特，J. H. - 《编码理论》，施普林格出版社，柏林（1971 年）。

7. Lloyd,S.P.-Binary Block Coding,Bell System Tech…J.36,517-535(1957).
   Lloyd,S.P.-二进制分组编码，《贝尔系统技术杂志》36,517-535(1957)。

8. Mac Williams,F.J.-Ph.D.Dissertation,Harvard Univ.(1961).
   Mac Williams,F.J.-博士论文，哈佛大学(1961)。

9. Cvetkovib,D.-Spectrum of the Graph of n-tuples,Univ.Beograd,Publ.Elektrotehn.Fak.,Ser.Mat.Fiz.,No.274-No.301,91-95(1969).
   Cvetković,D.-n 元组图的谱，《贝尔格莱德大学，电气工程学院，数学与物理科学杂志》，第 274-301 号，91-95(1969)。

10. Smith,D.H.-An Improved Version of Lloyd’s Theorem,Discr.Math.15,175-184(1976).
    Smith,D.H.-洛伊德定理的一个改进版本，《离散数学》15,175-184(1976)。

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An elementary proof of Lloyd’s theorem

一、概述

该论文发表于 1977 年的《Indagationes Mathematicae (Proceedings)》（卷 80，期 1，页码 6-10），作者为 D.M Cvetković与 J.H van Lint，目标是为编码理论中的劳埃德定理（Lloyd’s Theorem） 提供一种更简洁、更基础的证明方法，降低定理的理解门槛与应用难度。论文 DOI 为 https://doi.org/10.1016/1385-7258 (77) 90042-7，是劳埃德定理证明体系中 “初等化” 方向的关键文献。

二、劳埃德定理的 “初等证明” 逻辑

1. 证明定位：“初等化” 的必要性

在该论文发表前，劳埃德定理已有多个证明版本（如 Lloyd 本人 1957 年针对素数幂 $q$ 的证明、Bassalygo 1973 年、Delsarte 1973 年、Lenstra 1972 年针对一般 $q$ 的证明），但这些证明多依赖高深的代数工具（如关联方案、特征值理论、复杂多项式变换等），对非编码理论专业或数学基础较弱的研究者不够友好。

本文在于避开复杂的代数框架，仅使用基础线性代数、组合计数、图论基本概念（如邻接矩阵、特征值、汉明图性质）构建证明，让定理的逻辑链条更直观、可复现。

2. 证明支撑：汉明图的引入与应用

为简化证明，作者将 e - 完美码的问题转化为汉明图（Hamming Graph） 的结构分析，这是 “初等化” 的切入点：

• 汉明图的定义：定义汉明图 $H(n,q)$，其中顶点集为 $Q^n$（ Q = { 0 , . . . , q − 1 } Q=\{0,...,q-1\} Q={0,...,q−1}），两个顶点相邻当且仅当它们的汉明距离为 1。此时，“e - 完美码” 在汉明图中对应一个 e - 完全覆盖集—— 即图中每个顶点恰好属于一个以 e - 完美码中顶点为中心、半径为 $e$ 的 “球”（邻域闭包）。

• 汉明图的性质：作者利用汉明图的正则性（每个顶点的度数均为 $n(q-1)$）、对称性（顶点间存在传递的自同构群）及邻接矩阵的可对角化性，将 “e - 完美码的存在性” 与 “图的特征值分布” 关联 —— 这一步无需复杂代数工具，仅需图论中关于正则图的基础结论。

3. 证明步骤

作者通过 “图论→线性代数→多项式零点” 的路径，完成初等证明，关键步骤如下：

1. 汉明图的邻接矩阵与特征值：设汉明图 $H(n,q)$ 的邻接矩阵为 $A_1$，再定义 $A_k$ 为 “距离矩阵”（$A_k$ 的 $(u,v)$ 元为 1 当且仅当顶点 $u,v$ 的汉明距离为 $k$，否则为 0）。利用汉明图的对称性，可证明 $A_k$ 的特征值能通过简单组合公式计算（无需高深特征值理论），且与克拉夫楚克多项式（Krawtchouk polynomial）存在直接关联（但作者简化了多项式的引入方式，仅保留计数意义）。

2. e - 完美码的线性约束：若 $C$ 是 e - 完美码，定义 “特征向量”${\chi }_C\in {\mathbb{R}}^{V(H(n,q))}$（$V$ 为顶点集），其中 ${\chi }_C(u)=1$ 若 $u\in C$，否则为 0。由 e - 完美码的 “覆盖性”（每个顶点属于恰好一个半径为 $e$ 的球），可得线性方程：${\sum }_{k=0}^e{A}_k{\chi }_C=1$（$1$ 为全 1 向量）。

3. 特征值与多项式零点的关联：利用邻接矩阵的对角化性质，将上述线性方程转化为 “特征值层面的等式”。结合汉明图特征值与克拉夫楚克多项式的关系，可推出：若 e - 完美码存在，则克拉夫楚克多项式的部分和（即劳埃德多项式 $L_e(x)$）必须在 $1,...,n$ 范围内有 $e$ 个不同零点 —— 最终完成定理证明。

整个过程避免了早期证明中 “关联方案”“单位原根” 等复杂工具，仅通过 “图的结构→线性方程→多项式性质” 的递进，让逻辑更易理解。

三、应用

1. 理论价值

• 早期证明依赖编码理论与代数的深度交叉知识，而本文的 “初等证明” 仅需基础线性代数与图论知识，使非专业研究者（如通信工程、计算机科学领域的学者）也能理解劳埃德定理的本质，推动定理在更多领域的应用。

• 该证明成为编码理论教材中的经典内容（如 J.H van Lint 本人后续编写的《Coding Theory》教材即采用类似思路），帮助学生通过直观的图论模型掌握 “完美码与多项式零点” 的关联，而非死记复杂公式。

2. 应用领域

本文的价值并非拓展定理的应用范围，而是通过简化证明，让定理的 “判定能力” 更易落地到实际场景中，具体应用与劳埃德定理的场景一致，但更易被工程人员使用：

• 编码设计的快速验证：在通信、存储领域设计 e - 完美码（如汉明码、格雷码）时，工程人员可通过本文简化的证明逻辑，快速理解 “为何劳埃德多项式的零点是判定码存在性的关键”，进而更高效地验证设计的合理性（如判断某组参数 $n,q,e$ 是否能构造 e - 完美码）。

• 图论与编码的交叉应用：本文将 e - 完美码转化为汉明图的 “e - 完全覆盖集”，为图论中的 “覆盖问题” 与编码理论的 “完美码问题” 搭建了更直观的桥梁。例如，在无线网络拓扑设计中，可利用这一关联，将 “信号覆盖优化” 转化为 “汉明图中 e - 完全覆盖集的构造”，降低问题建模难度。

3. 完善劳埃德定理的证明体系

论文在参考文献中梳理了劳埃德定理的发展脉络（如 Lloyd 1957 年原始证明、Bassalygo 1973 年一般化证明、Delsarte 1973 年代数方法证明等），并通过 “初等证明” 补充了定理的证明维度 —— 形成了 “高深代数证明” 与 “初等图论证明” 并存的体系，满足不同研究场景的需求（如理论研究用代数证明，工程应用用初等证明）。

四、与早期劳埃德定理证明的差异

本文的 “初等化” 特点可通过下表对比其与早期证明的区别：

对比维度	早期证明（如 Delsarte 1973）	本文证明（Cvetković & van Lint 1977）
工具	关联方案（Association Schemes）、单位原根、复杂多项式变换	汉明图（Hamming Graph）、基础线性代数、组合计数
逻辑复杂度	高（依赖代数深度知识，步骤抽象）	低（图论模型直观，步骤可通过基础数学验证）
目标受众	编码理论、代数组合领域的专业研究者	工程人员、学生、非专业领域研究者
优势	通用性强，可推广到更复杂的编码结构	直观性强，易理解、易应用、易教学

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via:

• An elementary proof of Lloyd’s theorem - ScienceDirect
  https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/1385725877900427

• Lloyd’s algorithm - Wikipedia
  https://en.wikipedia.org/wiki/Lloyd’s_algorithm