LLOYD’S THEOREM | An Exploration of e-Perfect Code

原创于 2025-09-09 14:56:37 发布 · 1.2k 阅读

12 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#LLOYD ePC

mathematics 专栏收录该内容

188 篇文章

订阅专栏

注：本文为 “LLOYD’S THEOREM” 相关英文引文，机翻未校。
如有内容异常，请看原文。

LLOYD’S THEOREM | An Exploration of e-Perfect Code

劳埃德定理

Notes for our seminar - Lex Schrijver

Fix $n$ , $e$ , and $\in \mathbb{N}$ , and set $Q = \{0, ..., q-1\}$ . For $c$ , $\in Q^{n}$ , let $\text{dist}(c, d)$ be the Hamming distance of $c$ and $d$ , that is, the number of $\in [n]$ with $c_{i} \neq d_{i}$ . An $e$ -perfect code is a subset $\subseteq Q^{n}$ such that the balls $\{d \mid \text{dist}(c, d) \leq e\}$ for $\in C$ partition $Q^{n}$ .
给定 $n$ 、 $e$ 和 $\in \mathbb{N}$ （ $\mathbb{N}$ 表示自然数集），设 $Q = \{0, ..., q-1\}$ 。对于 $\in Q^{n}$ （ $Q^{n}$ 表示由 $Q$ 中元素构成的 $n$ 维向量集合），记 $\text{dist}(c, d)$ 为 $c$ 与 $d$ 之间的汉明距离（Hamming distance），即满足 $c_{i} \neq d_{i}$ 的指标 $\in [n]$ （ $[n]$ 表示集合 ${1, 2, ..., n\}$ ）的个数。若子集 $\subseteq Q^{n}$ 满足：对所有 $\in C$ ，以 $c$ 为中心、半径为 $e$ 的球（即集合 $\{d \mid \text{dist}(c, d) \leq e\}$ ）能构成 $Q^{n}$ 的一个划分，则称 $C$ 为 $e$ -完备码（ $e$ -perfect code）。

The following was proved by Lloyd [4] for prime powers $q$ , and by Bassalygo [1], Delsarte [2], and Lenstra [3] for general $q$ .
下述定理中，当 $q$ 为素数幂时由劳埃德（Lloyd）[4] 证明；当 $q$ 为任意自然数时，由巴萨利戈（Bassalygo）[1]、德尔萨特（Delsarte）[2] 和伦斯特拉（Lenstra）[3] 证明。

Theorem (Lloyd’s theorem). If an $e$ -perfect code exists, then the (‘Lloyd’) polynomial
定理（劳埃德定理）：若存在 $e$ - 完全码，则（“劳埃德”）多项式

$\quad L_{e}(x) := \sum_{l=0}^{e} (-1)^{l} (q-1)^{e-l} \binom{x-1}{l} \binom{n-x}{e-l}$

has $e$ distinct zeroes among $1, ..., n$ .
在 $\dots, n$ 中具有 $e$ 个不同的零点。

其中 $\binom{a}{b}$ 表示组合数，即从 $a$ 个元素中选取 $b$ 个元素的方式数）在 $1, ..., n$ 中存在 $e$ 个不同的零点。

Proof. It will be convenient to assume that $Q$ is equal to the ring $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ .
证明：为方便起见，不妨假设 $Q$ 等同于环 $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ （ $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ 表示整数模 $q$ 剩余类环，由 $0, 1, ..., q - 1$ 构成）。

For any $\in Q^{n}$ , let $∣ c ∣$ be the weight of $c$ , that is, the number of nonzero entries in $c$ . So $\text{dist}(0, c)$ (where $0$ denotes the zero vector in $Q^{n}$ ). For any $\subseteq Q^{n}$ , let $w_{C}$ be the weight enumerator of $C$ , that is, the function $w_{C} : \{0, ..., n\} \to \mathbb{Z}$ with $w_{C}(i)$ equals to the number of $\in C$ with $∣ c ∣ = i$ (for $i = 0, ..., n$ ). First, we have:
对于任意 $\in Q^{n}$ ，记 $∣ c ∣$ 为 $c$ 的重量（weight），即 $c$ 中非零元素的个数。因此 $\text{dist}(0, c)$ （其中 $0$ 表示 $Q^{n}$ 中的零向量）。对于任意 $\subseteq Q^{n}$ ，记 $w_{C}$ 为 $C$ 的重量枚举函数（weight enumerator），即函数 $w_{C} : \{0, ..., n\} \to \mathbb{Z}$ （ $\mathbb{Z}$ 表示整数集），且对 $i = 0, ..., n$ ， $w_{C}(i)$ 等于 $C$ 中满足 $∣ c ∣ = i$ 的向量 $c$ 的个数。首先，我们有如下结论：

(2) if an $e$ -perfect code exists, then $\{w_{C} \mid C \text{ is an } e\text{-perfect code}\}$ spans a subspace of $\mathbb{R}^{\{0, ..., n\}}$ of dimension at least $e + 1$ .
(2) 若 $e$ -完备码存在，则集合 $\{w_{C} \mid C \text{ 为 } e\text{-完备码}\}$ 张成 $\mathbb{R}^{\{0, ..., n\}}$ （ $\mathbb{R}$ 表示实数集， $\mathbb{R}^{\{0, ..., n\}}$ 表示定义域为 ${0, ..., n\}$ 的实值函数构成的线性空间）的一个子空间，且该子空间的维数至少为 $e + 1$ 。

Indeed, let $C$ be an $e$ -perfect code. For each $i = 0, ..., e$ , choose a word $a_{i} \in Q^{n}$ with $a_{i}| = i$ , and set $C_{i} := \{a_{i} + c \mid c \in C\}$ (where $+$ denotes the component-wise addition in $Q^{n}$ ). Then $C_{i}$ is an $e$ -perfect code, with $w_{C_{i}}(j) = \delta_{i,j}$ for $j = 0, ..., e$ (as $a_{i}$ is the unique word in $C_{i}$ at distance $\leq e$ from $0$ ). So $\{w_{C_{i}} \mid i = 0, ..., e\}$ is linearly independent, and we have (2).
事实上，设 $C$ 为一个 $e$ -完备码。对每个 $i = 0, ..., e$ ，选取一个满足 $a_{i}| = i$ 的向量 $a_{i} \in Q^{n}$ ，并定义 $C_{i} := \{a_{i} + c \mid c \in C\}$ （其中 $+$ 表示 $Q^{n}$ 中的分量-wise加法）。则 $C_{i}$ 是一个 $e$ -完备码，且对 $j = 0, ..., e$ ，有 $w_{C_{i}}(j) = \delta_{i,j}$ （ $\delta_{i,j}$ 为克罗内克函数，即当 $i = j$ 时 $\delta_{i,j} = 1$ ，当 $\neq j$ 时 $\delta_{i,j} = 0$ ）——这是因为 $a_{i}$ 是 $C_{i}$ 中唯一与零向量 $0$ 的距离 $\leq e$ 的向量。因此，集合 $\{w_{C_{i}} \mid i = 0, ..., e\}$ 线性无关，故结论（2）成立。

For each $k = 0, ..., n$ , define the $\{0, ..., n\} \times \{0, ..., n\}$ matrix $M_{k}$ by
对每个 $k = 0, ..., n$ ，定义 $\{0, ..., n\} \times \{0, ..., n\}$ 阶矩阵 $M_{k}$ （矩阵的行和列索引均为 $0, ..., n$ ），其中矩阵元素满足：

$\quad (M_{k})_{i,j} := \text{number of } a \in Q^{n} \text{ with } |a| = i \text{ and } \text{dist}(a, b) = k,$
$\quad (M_{k})_{i,j} := \text{满足 } |a| = i \text{ 且 } \text{dist}(a, b) = k \text{ 的向量 } a \in Q^{n} \text{ 的个数},$

for $i, j = 0, ..., n$ , where $b$ is an arbitrary word with $∣ b ∣ = j$ . The value (3) is independent of the choice of $b$ , since for any other word $\in Q^{n}$ with $∣ b^{'} ∣ = j$ there is an isometry on $Q^{n}$ that fixes $0$ and brings $b$ to $b^{'}$ . Define
这里 $i, j = 0, ..., n$ ，且 $b$ 是任意一个满足 $∣ b ∣ = j$ 的向量。式（3）中定义的值与 $b$ 的选取无关，原因如下：对于任意另一个满足 $∣ b^{'} ∣ = j$ 的向量 $\in Q^{n}$ ，存在 $Q^{n}$ 上的一个等距变换（isometry），该变换固定零向量 $0$ 且将 $b$ 映射到 $b^{'}$ ，而等距变换不改变向量的重量和向量间的距离，因此 $M_{k})_{i,j}$ 的值不依赖于 $b$ 。进一步定义：

$\quad M_{\leq e} := \sum_{k=0}^{e} M_{k}.$

Then
则有

$\quad \text{for any } e\text{-perfect code } C, \quad M_{\leq e} w_{C} = w_{Q^{n}}.$
$\quad \text{对任意 } e\text{-完备码 } C, \quad M_{\leq e} w_{C} = w_{Q^{n}}.$

其中 $w_{Q^{n}}$ 表示 $Q^{n}$ 的重量枚举函数，即 $w_{Q^{n}}(i)$ 为 $Q^{n}$ 中重量为 $i$ 的向量的总个数。

Indeed, for any $\leq e$ and $i$ , $(M_{k} w_{C})_{i} = \sum_{c \in C} (M_{k})_{i, |c|}$ , which is the number of words of weight $i$ at distance $k$ from $C$ . So $(M_{\leq e} w_{C})_{i}$ is equal to the number of words of weight $i$ at distance $\leq e$ from $C$ . Since $C$ is an $e$ -perfect code, this is equal to the total number of words of weight $i$ , which is $w_{Q^{n}})_{i}$ .
事实上，对任意 $\leq e$ 和 $i$ ， $(M_{k} w_{C})_{i} = \sum_{c \in C} (M_{k})_{i, |c|}$ ，其含义是“与 $C$ 中向量的距离为 $k$ 且重量为 $i$ 的向量的个数”。因此， $(M_{\leq e} w_{C})_{i}$ 表示“与 $C$ 中向量的距离 $\leq e$ 且重量为 $i$ 的向量的个数”。由于 $C$ 是 $e$ -完备码， $Q^{n}$ 中每个向量都恰好属于一个以 $C$ 中向量为中心、半径为 $e$ 的球，因此上述个数等于 $Q^{n}$ 中重量为 $i$ 的向量的总个数，即 $w_{Q^{n}})_{i}$ 。故式（5）成立。

Now (2) and (5) imply:
由（2）和（5）可推出：

$\quad \text{if an } e\text{-perfect code exists, then } \text{corank}(M_{\leq e}) \geq e.$
$\quad \text{若 } e\text{-完备码存在，则 } \text{corank}(M_{\leq e}) \geq e.$

其中 $\text{corank}(A)$ 表示矩阵 $A$ 的余秩，即矩阵的列数减去矩阵的秩， $\text{corank}(A) = \dim(\ker(A))$ ， $\ker(A)$ 为矩阵 $A$ 的核空间。

Hence it suffices to prove that
因此，只需证明
$\quad \text{corank}(M_{\leq e}) \text{ is equal to the number } s \in \{1, ..., n\} \text{ with } L_{e}(s) = 0.$
$\quad M_{\leq e} \text{ 的余秩等于满足 } L_{e}(s) = 0 \text{ 的元素 } s \in \{1, ..., n\} \text{ 的个数}.$

To this end, let for $s, i = 0, ..., n$
为此，对 $s, i = 0, ..., n$ ，定义
$\quad K_{k, s} := \sum_{l=0}^{k} (-1)^{l} (q-1)^{k-l} \binom{s}{l} \binom{n-s}{k-l}$
(the $k$ -th Krawtchouk polynomial).
（该多项式称为第 $k$ 个克拉夫楚克多项式（Krawtchouk polynomial））。

Let $\alpha$ be a primitive $q$ -th root of unity. Then for any word $\in Q^{n}$ with $∣ d ∣ = s$
设 $\alpha$ 为一个本原 $q$ -次单位根（primitive $q$ -th root of unity），即满足 $\alpha^{q} = 1$ 且对任意 $\leq t < q$ 有 $\alpha^{t} \neq 1$ 的复数。则对任意满足 $∣ d ∣ = s$ 的向量 $\in Q^{n}$ ，有
$\quad K_{k, s} = \sum_{c \in Q^{n}, |c| = k} \alpha^{c \cdot d},$
where $\cdot d := \sum_{i=1}^{n} c_{i} d_{i}$ (the dot product modulo $q$ ). Indeed, let $S$ be the support of $d$ , i.e., $\{i \in [n] \mid d_{i} \neq 0\}$ (so $∣ S ∣ = s$ ). We can split the summands in (9) by the support $I$ of $c$ (i.e., $\{i \in [n] \mid c_{i} \neq 0\}$ ):
其中 $\cdot d := \sum_{i=1}^{n} c_{i} d_{i}$ 表示 $c$ 与 $d$ 的点积（模 $q$ 运算）。事实上，设 $S$ 为 $d$ 的支撑集（support），即 $\{i \in [n] \mid d_{i} \neq 0\}$ （因此 $∣ S ∣ = s$ ）。我们可按 $c$ 的支撑集 $I$ （即 $\{i \in [n] \mid c_{i} \neq 0\}$ ）对式（9）中的求和项进行拆分，具体计算如下：
$\begin{align*}(10) \sum_{\substack{c \in Q^{n} \\ |c| = k}} \alpha^{c \cdot d} &= \sum_{\substack{I \subseteq [n] \\ |I| = k}} \left( \prod_{i \in I \cap S} \sum_{c_{i} = 1}^{q-1} \alpha^{c_{i} d_{i}} \right) \cdot \left( \prod_{i \in I \setminus S} \sum_{c_{i} = 1}^{q-1} \alpha^{c_{i} \cdot 0} \right) \cdot \left( \prod_{i \in [n] \setminus I} \alpha^{0 \cdot d_{i}} \right) \\ &= \sum_{\substack{I \subseteq [n] \\ |I| = k}} \left( \prod_{i \in I \cap S} (-1) \right) \cdot \left( \prod_{i \in I \setminus S} (q-1) \right) \cdot \left( \prod_{i \in [n] \setminus I} 1 \right) \\ &= \sum_{l=0}^{k} \binom{s}{l} (-1)^{l} \binom{n - s}{k - l} (q - 1)^{k - l} \\ &= K_{k, s}. \end{align*}$

注：

第一步拆分利用了“向量 $c$ 的支撑集为 $I$ 当且仅当 $c$ 在 $I$ 外的分量为 $0$ 、在 $I$ 内的分量非零”；

第二步中，当 $\in I \cap S$ 时， $d_{i} \neq 0$ ，故 $\sum_{c_{i}=1}^{q-1} \alpha^{c_{i} d_{i}} = \alpha^{d_{i}} + \alpha^{2d_{i}} + ... + \alpha^{(q-1)d_{i}} = -1$ （等比数列求和，首项为 $\alpha^{d_{i}}$ ，公比为 $\alpha^{d_{i}}$ ，项数为 $q - 1$ ，和为 $\frac{\alpha^{d_{i}}(1 - \alpha^{(q-1)d_{i}})}{1 - \alpha^{d_{i}}} = \frac{\alpha^{d_{i}} - \alpha^{qd_{i}}}{1 - \alpha^{d_{i}}} = \frac{\alpha^{d_{i}} - 1}{1 - \alpha^{d_{i}}} = -1$ ）；当 $\in I \setminus S$ 时， $d_{i} = 0$ ，故 $\sum_{c_{i}=1}^{q-1} \alpha^{0} = q-1$ ；

第三步中， $l$ 表示 $\cap S$ 的元素个数，因此 $\cap S$ 有 $\binom{s}{l}$ 种选择， $\setminus S$ 有 $\binom{n-s}{k-l}$ 种选择，对应乘积项为 $1)^{l}(q-1)^{k-l}$ ，求和后即得克拉夫楚克多项式定义式。

This gives, for all $s, t = 0, ..., n$
由此可推出，对所有 $s, t = 0, ..., n$ ，有
$\quad (K M_{k} K)_{s,t} = \delta_{s,t} q^{n} K_{k,t}.$

其中 $K$ 表示以 $K_{s,i}$ 为元素的 $\{0, ..., n\} \times \{0, ..., n\}$ 阶矩阵，即 $K_{s,i} = K_{i,s}$ （克拉夫楚克多项式的对称性）， $K M_{k} K$ 表示矩阵的乘法运算。

Indeed, choose $\in Q^{n}$ with $∣ d ∣ = t$ arbitrarily. Then
事实上，任意选取一个满足 $∣ d ∣ = t$ 的向量 $\in Q^{n}$ ，则矩阵乘积 $K M_{k} K$ 的 $(s, t)$ 位置元素可按如下步骤计算：

$\begin{align*} (12) \quad (K M_{k} K)_{s,t} &= \sum_{i,j} K_{s,i} (M_{k})_{i,j} K_{j,t} \\ &= \sum_{i,j} \left( \sum_{\substack{a \in Q^{n} \\ |a| = s}} \alpha^{a \cdot b} \right) (M_{k})_{i,j} \left( \sum_{\substack{c \in Q^{n} \\ |c| = j}} \alpha^{-c \cdot d} \right) \quad (\text{由式 (9)，第二个求和中 } \alpha \text{ 替换为 } \alpha^{-1}) \\[2em] &= \sum_{\substack{a \in Q^{n} \\ |a| = s}} \sum_{\substack{c \in Q^{n} \\ |c| = j}} \sum_{\substack{b \in Q^{n} \\ |b| = i, \text{dist}(b,c) = k}} \alpha^{a \cdot b} \alpha^{-c \cdot d} \\[2em] &= \sum_{\substack{a \in Q^{n} \\ |a| = s}} \sum_{\substack{b,c \in Q^{n} \\ \text{dist}(b,c) = k}} \alpha^{a \cdot b - c \cdot d} \\[2em] &= \sum_{\substack{a \in Q^{n} \\ |a| = s}} \sum_{\substack{u \in Q^{n} \\ |u| = k}} \sum_{c \in Q^{n}} \alpha^{a \cdot (c + u) - c \cdot d} \quad (\text{令 } u = b - c, \text{ 则 } b = c + u, \text{且 } \text{dist}(b,c) = |u| = k) \\[2em] &= \sum_{\substack{a \in Q^{n} \\ |a| = s}} \sum_{\substack{u \in Q^{n} \\ |u| = k}} \alpha^{a \cdot u} \sum_{c \in Q^{n}} \alpha^{(a - d) \cdot c} \\[2em] &= \sum_{\substack{a \in Q^{n} \\ |a| = s}} \sum_{\substack{u \in Q^{n} \\ |u| = k}} \alpha^{a \cdot u} \delta_{a,d} q^{n} \quad (\text{对任意 } v \in Q^{n}, \sum_{c \in Q^{n}} \alpha^{v \cdot c} = q^{n} \delta_{v,0}) \\[2em] &= \delta_{s,t} q^{n} \sum_{\substack{u \in Q^{n} \\ |u| = k}} \alpha^{d \cdot u} \\[2em] &= \delta_{s,t} q^{n} K_{k,t} \quad (\text{由式 (9)}). \end{align*}$

注：关键步骤为“对任意 $\in Q^{n}$ ， $\sum_{c \in Q^{n}} \alpha^{v \cdot c} = q^{n} \delta_{v,0}$ ”——当 $v = 0$ 时，每项均为 $\alpha^{0} = 1$ ，求和得 $q^{n}$ ；

当 $\neq 0$ 时，存在某个分量 $v_{m} \neq 0$ ，求和可拆分为对 $c_{m}$ 的求和与其他分量的求和，其中对 $c_{m}$ 的求和为 $\sum_{c_{m}=0}^{q-1} \alpha^{v_{m} c_{m}} = 0$ （等比数列求和，首项为 $1$ ，公比为 $\alpha^{v_{m}}$ ，项数为 $q$ ，和为 $\frac{1 - \alpha^{q v_{m}}}{1 - \alpha^{v_{m}}} = 0$ ），故整体和为 $0$ 。

So $\mapsto K X K$ simultaneously diagonalizes all $M_{k}$ , with $q^{n}$ times the $k$ -th row of $K$ as the diagonal entries of $K M_{k} K$ . Hence it diagonalizes $M_{\leq e}$ and implies
因此，线性变换 $\mapsto K X K$ 可同时将所有矩阵 $M_{k}$ 对角化，且 $K M_{k} K$ 的对角元素为 $q^{n} \times K$ 的第 $k$ 行元素（即 $q^{n} K_{k,t}$ 为 $K M_{k} K$ 的 $(t, t)$ 位置元素）。由于 $M_{\leq e} = \sum_{k=0}^{e} M_{k}$ ，该变换也能将 $M_{\leq e}$ 对角化，且 $M_{\leq e} K = \sum_{k=0}^{e} K M_{k} K$ ，其对角元素为 $q^{n} \sum_{k=0}^{e} K_{k,t}$ （对应 $(t, t)$ 位置）。由此可推出：

$\quad \text{corank}(M_{\leq e}) \text{ is equal to the number of } s \in \{0, ..., n\} \text{ with } \sum_{k=0}^{e} K_{k, s} = 0.$
$\quad M_{\leq e} \text{ 的余秩等于满足 } \sum_{k=0}^{e} K_{k, s} = 0 \text{ 的元素 } s \in \{0, ..., n\} \text{ 的个数}.$

原因：对角矩阵的核空间维数等于对角元素为 $0$ 的个数，而相似矩阵（或经同一可逆变换对角化的矩阵）具有相同的核空间维数，即余秩相等。

Now
此外，有

$\quad \sum_{k=0}^{e} K_{k, s} = L_{e}(s).$

This follows by induction on $e$ from
该等式可通过对 $e$ 进行数学归纳，并结合下述递推关系证明：

$\quad L_{e-1}(s) + K_{e, s} = L_{e}(s).$

The latter follows from the identity $\binom{s}{l} - \binom{s-1}{l} = \binom{s-1}{l-1}$ (Pascal’s identity):
递推关系（15）可由组合恒等式 $\binom{s}{l} - \binom{s-1}{l} = \binom{s-1}{l-1}$ （帕斯卡恒等式，Pascal’s identity）推导得出，具体计算如下：
$\begin{align*} (16) \quad K_{e, s} - L_{e}(s) &= \sum_{l=0}^{e} (-1)^{l} (q-1)^{e-l} \binom{s}{l} \binom{n-s}{e-l} - \sum_{l=0}^{e} (-1)^{l} (q-1)^{e-l} \binom{s-1}{l} \binom{n-s}{e-l} \\[2em] &= \sum_{l=0}^{e} (-1)^{l} (q-1)^{e-l} \left( \binom{s}{l} - \binom{s-1}{l} \right) \binom{n-s}{e-l} \\[2em] &= \sum_{l=1}^{e} (-1)^{l} (q-1)^{e-l} \binom{s-1}{l-1} \binom{n-s}{e-l} \quad (\text{by Pascal's identity, } l=0 \text{ term vanishes}) \\[2em] &= - \sum_{l=0}^{e-1} (-1)^{l} (q-1)^{(e-1)-l} \binom{s-1}{l} \binom{n-s}{(e-1)-l} \quad (\text{set } l' = l-1, \text{ so } l = l' + 1) \\ &= - L_{e-1}(s). \end{align*}$

整理式（16）可得 $L_{e}(s) = L_{e-1}(s) + K_{e}(s)$ ，即递推关系（15）成立。

结合归纳法：当 $e = 0$ 时， $\sum_{k=0}^{0} K_{k,s} = K_{0,s} = \binom{s}{0} (q-1)^{0} \binom{n-s}{0} = 1$ ，而 $L_{0}(s) = (-1)^{0} (q-1)^{0} \binom{s-1}{0} \binom{n-s}{0} = 1$ ，故式（14）成立；假设当 $e = t$ 时式（14）成立，即 $\sum_{k=0}^{t} K_{k,s} = L_{t}(s)$ ，则当 $e = t + 1$ 时， $\sum_{k=0}^{t+1} K_{k,s} = \sum_{k=0}^{t} K_{k,s} + K_{t+1,s} = L_{t}(s) + K_{t+1,s} = L_{t+1}(s)$ （由递推关系（15）），故式（14）对所有 $e$ 成立。

This proves the theorem (note that $L_{e}(0) > 0$ , so $s = 0$ is not a zero of $L_{e}(x)$ , hence the zeroes of $L_{e}(x)$ among ${0, ..., n\}$ are exactly those among ${1, ..., n\}$ ).
综上，定理得证（注： $L_{e}(0) = \sum_{l=0}^{e} (-1)^{l} (q-1)^{e-l} \binom{-1}{l} \binom{n}{e-l}$ ，由于 $\binom{-1}{l} = (-1)^{l}$ （广义组合数），故 $L_{e}(0) = \sum_{l=0}^{e} (q-1)^{e-l} \binom{n}{e-l} > 0$ ，因此 $s = 0$ 不是 $L_{e}(x)$ 的零点，故 $L_{e}(x)$ 在 ${0, ..., n\}$ 中的零点恰好是其在 ${1, ..., n\}$ 中的零点）。

References

[1] L.A. Bassalygo, Generalization of Lloyd’s theorem to arbitrary alphabet [in Russian], Problemy Upravlenija i Teorii Informacii 2:2 (1973) 133–137 [English translation: Problems of Control and Information Theory 2:2 (1973) 25–28].
L.A. 巴萨利戈（L.A. Bassalygo），《劳埃德定理对任意字母表的推广》[俄文]，《控制与信息理论问题》（Problemy Upravlenija i Teorii Informacii）2:2（1973）133–137 [英文译本：《控制与信息理论问题》（Problems of Control and Information Theory）2:2（1973）25–28]。

[2] P. Delsarte, An Algebraic Approach to the Association Schemes of Coding Theory, Philips Research Reports Supplements 1973 No. 10, Philips Research Laboratories, Eindhoven, 1973.
P. 德尔萨特（P. Delsarte），《编码理论中结合方案的代数方法》（An Algebraic Approach to the Association Schemes of Coding Theory），《飞利浦研究报告增刊》（Philips Research Reports Supplements）1973 年第 10 期，飞利浦研究实验室（Philips Research Laboratories），埃因霍温（Eindhoven），1973 年。

[3] H.W. Lenstra, Jr, Two theorems on perfect codes, Discrete Mathematics 3 (1972) 125–132.
H.W. 伦斯特拉（H.W. Lenstra, Jr），《关于完备码的两个定理》（Two theorems on perfect codes），《离散数学》（Discrete Mathematics）3（1972）125–132。

[4] S.P. Lloyd, Block coding, The Bell System Technical Journal 36 (1957) 517–535.
S.P. 劳埃德（S.P. Lloyd），《分组编码》（Block coding），《贝尔系统技术杂志》（The Bell System Technical Journal）36（1957）517–535。

LLOYD’S THEOREM

Lloyd 定理主要研究在特定条件下，e - 完美码的存在性及其相关性质。该定理在多个领域都有广泛的应用，它为研究码字集合的结构和性质提供了重要的理论基础。通过深入理解 Lloyd 定理及其证明过程，可以为解决实际问题提供有力的工具和方法。

定理定义

e - 完美码：给定一个长度为 n 的码字集合 C，码字来自有限集合 Q（大小为 q），如果 C 中每个码字的汉明距离球（半径为 e）能够完全划分 Q 的所有可能码字，则称 C 为 e - 完美码。
Lloyd 多项式：如果存在 e - 完美码，则 Lloyd 多项式

$L_e (x) = \sum_{l=0}^{e} (-1)^l (q - 1)^{e - l} \binom {x - 1}{l} \binom {n - x}{e - l}$

在集合 {1, 2, …, n} 中有 e 个不同的零点。

证明思路

1.权重枚举器：定义了码字集合 C 的权重枚举器 wC，它统计 C 中每个权重（非零元素数量）的码字数量。

2.线性独立性：通过构造特定的 e - 完美码，证明了这些权重枚举器在实数空间中是线性独立的，从而推导出与 e - 完美码相关的子空间维度至少为 e + 1。

3.矩阵 Mk：定义了矩阵 Mk，其元素表示在 Q 中，固定权重 i 的码字与固定距离 k 的码字数量。通过这些矩阵的性质，证明了 e - 完美码的权重枚举器与 Q 的所有可能码字的权重分布之间的关系。

4.Krawtchouk 多项式：利用 Krawtchouk 多项式的性质，将矩阵 Mk 对角化，从而简化了问题的分析。

5.最终结论：通过上述步骤，证明了 Lloyd 多项式的零点数量与矩阵 M≤e 的共秩（corank）相等，从而完成了定理的证明。

应用场景

1.编码理论

错误检测与纠正：e - 完美码在编码理论中用于设计能够检测和纠正错误的编码方案。例如，在通信系统中，数据在传输过程中可能会受到噪声干扰而产生错误。通过使用 e - 完美码，可以在接收端检测并纠正一定数量的错误，从而提高数据传输的可靠性。
码字设计：Lloyd 定理为设计具有特定纠错能力的码字提供了理论基础。通过确定 Lloyd 多项式的零点，可以判断是否存在满足特定纠错能力的码字集合，从而指导码字的设计。

2.信息论

信息传输效率：在信息论中，e - 完美码的研究有助于理解信息传输的效率和可靠性。通过分析码字集合的结构和性质，可以优化信息传输方案，提高传输效率，同时保证信息的准确性和完整性。
信道容量：Lloyd 定理可以用于研究信道容量问题。信道容量是指在给定的信道条件下，能够可靠传输的最大信息量。通过研究 e - 完美码的存在性，可以更好地理解信道的容量限制，从而设计出更高效的通信系统。

3.组合数学

组合结构分析：Lloyd 定理涉及组合数学中的许多概念，如汉明距离、权重分布等。通过研究这些组合结构，可以深入理解码字集合的性质和规律，为解决其他组合数学问题提供思路和方法。
图论应用：在图论中，码字集合可以被视为图的顶点，汉明距离可以视为顶点之间的边。Lloyd 定理可以用于研究图的划分、覆盖等问题，从而在图论领域中找到新的应用。

4.密码学

密钥分发：在密码学中，e - 完美码可以用于密钥分发方案。通过设计满足特定纠错能力的码字集合，可以在通信双方之间安全地分发密钥，从而实现加密通信。
认证与签名：Lloyd 定理还可以应用于认证和签名机制。通过利用码字集合的性质，可以设计出具有高安全性的认证和签名方案，防止伪造和篡改。

5.计算机科学

数据存储与检索：在计算机存储系统中，e - 完美码可以用于设计具有纠错能力的数据存储方案。通过在存储的数据中引入冗余信息，可以在数据损坏时进行修复，从而提高数据存储的可靠性和可用性。
算法设计：Lloyd 定理的证明过程涉及许多数学工具和技巧，如矩阵对角化、多项式分析等。这些工具和技巧可以为计算机算法设计提供灵感和方法，从而设计出更高效的算法。

6.网络科学

网络编码：在网络通信中，e - 完美码可以用于网络编码方案。通过在网络中引入编码操作，可以在数据传输过程中提高传输效率和可靠性，从而优化网络性能。
网络拓扑设计：Lloyd 定理可以用于研究网络拓扑结构的设计。通过分析码字集合的结构和性质，可以设计出更高效的网络拓扑结构，从而提高网络的传输能力和可靠性。