二次型→矩阵的正定性→特征值

原创已于 2025-05-19 16:26:46 修改 · 1.2k 阅读

11 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#矩阵 #线性代数

于 2025-03-17 15:23:41 首次发布

模式识别中的数学问题专栏收录该内容

45 篇文章

订阅专栏

二次型 → 矩阵的正定性 → 特征值

二次型（Quadratic Form）

定义含有 $n$ 个变量 $,xnx_1, x_2, \cdots, x_n$ 的二次方程

${\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} + {\bm B} {\bm x} + \alpha = 0$

其中， $,xn)⊤{\bm x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^{\top}$ ， $A=(aij){\bm A} = (a_{ij})$ 为 $\times n$ 对称矩阵， $B{\bm B}$ 为 $\times n$ 矩阵， $α\alpha$ 为常数。

称 $n$ 元向量函数

$f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = f({\bm x}) = {\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) x_i$

为二次方程关联的 $n$ 个变量的二次型，简称二次型。对称矩阵 $A{\bm A}$ 称作二次型 $f(x)f({\bm x})$ 的矩阵，矩阵 $A{\bm A}$ 的秩称为二次型 $f(x)f({\bm x})$ 的秩，二次型 $f(x)f({\bm x})$ 也称作对称矩阵 $A{\bm A}$ 的二次型。二次型是一个多项式函数。

定义一个实对称矩阵 $A{\bm A}$ 称为

正定的，若对 $Rn\mathbb{R}^n$ 中所有非零 $x{\bm x}$ ， $x⊤Ax>0{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} > 0$ ;
负定的，若对 $Rn\mathbb{R}^n$ 中所有非零 $x{\bm x}$ ， $x⊤Ax<0{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} < 0$ ;
半正定的，若对 $Rn\mathbb{R}^n$ 中所有非零 $x{\bm x}$ ， $x⊤Ax⩾0{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} \geqslant 0$ ;
半负定的，若对 $Rn\mathbb{R}^n$ 中所有非零 $x{\bm x}$ ， $x⊤Ax⩽0{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} \leqslant 0$ ;
不定的，若 $x⊤Ax{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x}$ 的取值有不同的符号。

作为一个性能指标，矩阵的二次型刻画矩阵的正定性。

特征值

很多应用问题都涉及将一个线性变换重复作用到一个向量上。求解这类问题的关键是找到一组新的基向量（特征向量），使得线性变换对该组基向量的作用仅是进行某种程度的收缩或拉伸，收缩或拉伸的倍数通常称为缩放因子（特征值）。

定义令 $A{\bm A}$ 为 $\times n$ 矩阵，如果存在非零向量 $x{\bm x}$ 使得

${\bm A}{\bm x} = \lambda {\bm x}$

成立，则称数 $λ\lambda$ 是矩阵 $A{\bm A}$ 的特征值，称非零向量 $x{\bm x}$ 为属于（或对应于） $λ\lambda$ 的特征向量。

矩阵的正定性与特征值

对称矩阵的特征值均为实数，且存在一个由其特征向量组成的正交基。

正定矩阵：所有特征值取正实数的矩阵。
半正定矩阵：各个特征值取非负实数的矩阵。
负定矩阵：全部特征值为负实数的矩阵。
半负定矩阵：每个特征值取非正实数的矩阵。
不定矩阵：特征值有些取正实数，另一些取负实数的矩阵。

二次型与特征值

对于实对称矩阵 $A$ ，二次型 $f(x)=x⊤Axf({\bm x}) = {\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x}$ 可以通过矩阵的特征值来分析其性质，如正定、半正定等。

正定矩阵：
- 如果对于所有非零向量 $x∈Rn{\bm x} \in \mathbb{R}^n$ ，都有 $x⊤Ax>0{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} > 0$ ，则称矩阵 $A{\bm A}$ 是正定的。
- 正定矩阵的所有特征值都是正数。
负定矩阵：
- 如果对于所有非零向量 $x∈Rn{\bm x} \in \mathbb{R}^n$ ，都有 $x⊤Ax<0{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} < 0$ ，则称矩阵 $A{\bm A}$ 是负定的。
- 负定矩阵的所有特征值都是负数。
半正定矩阵：
- 如果对于所有非零向量 $x∈Rn{\bm x} \in \mathbb{R}^n$ ，都有 $x⊤Ax⩾0{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} \geqslant 0$ ，则称矩阵 $A{\bm A}$ 是半正定的。
- 半正定矩阵的所有特征值都是非负的。
半负定矩阵：
- 如果对于所有非零向量 $x∈Rn{\bm x} \in \mathbb{R}^n$ ，都有 $x⊤Ax⩽0{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x} \leqslant 0$ ，则称矩阵 $A{\bm A}$ 是半负定的。
- 半负定矩阵的所有特征值都是非正的。
不定矩阵：
- 如果存在不同的非零向量 $x∈Rn{\bm x} \in \mathbb{R}^n$ ，使得 $x⊤Ax{\bm x}^{\top} {\bm A} {\bm x}$ 的取值有正有负，则称矩阵 $A{\bm A}$ 是不定的。
- 不定矩阵的特征值既有正的也有负的。