u013600306的博客

如果θω为过原点的直线，则称为第一类线性相位，即θω−τω其中，τ表示滤波器的群延时。在第一类线性相位约束条件下，对 FIR 数字滤波器单位脉冲响应的要求。Hejωn0∑N−1​hne−jωnHωejθωHωe−jτω则有n0∑N−1​hncosnω−jsinnωHωcosτω−jsinτω式中等号两边实部与实部相等，虚部与虚部相等，可得n0∑N−1​hn。

式 (1) 表示频域到时域的变换，称为离散傅里叶级数的反变换，用。式 (2) 表示时域到频域的变换，称为离散傅里叶级数的正变换，用。个样本的重复出现，故只需要研究它们一个完整周期的样本值即可。表示为离散傅里叶级数的形式，即。为使等式成立的最小正整数。将式 (1) 两端同时乘以。都是离散周期序列，只需要。的形状，其余部分均是这。指数形式的傅里叶级数。

在讨论线性相位 FIR 数字滤波器的设计时，一般把频率响应写成幅度函数和相位函数相乘的形式

互相关是一种用于衡量两个信号或序列之间相似程度的统计量。它是通过滑动一个信号相对于另一个信号，并计算不同位置上的点积来实现的。在实际应用中，由于信号通常是有限长的，求和范围会限制在信号长度的范围内。

将实际频率f（单位：赫兹）转换为角频率ωωfs​2π​f式中，ω是归一化的角频率，以弧度/样本为单位。f是实际频率，以赫兹（Hz）为单位。fs​是采样频率，以赫兹（Hz）为单位。

频率采样设计法是一种从频域出发的设计方法，实现方案也非常简便，适合分段常数特性的滤波器设计，尤其是窄带滤波器设计。频率采样设计法在过渡带的取值点需要进行优化设计，不能准确控制通带与阻带的截止频率，通带和阻带波纹也不能分别控制，离跳变边界越远，波纹越小。窗函数设计法是一种从时域出发的设计方法，设计过程简便，有闭合公式可循，方便实用。频率采样设计法便是从频域出发，对理想滤波器的频率响应。，这就是频率采样法设计FIR数字滤波器的基本思路。的采样结果（既有幅度信息，也有相位信息），表示对幅度谱的采样结果，

这是因为傅里叶变换保留了函数的归一性，即如果原函数是归一化的，则其傅里叶变换也是归一化的。但是，这里的归一化是在不同的尺度下进行的，即。总结来说，归一化高斯函数的傅里叶变换依然是一个高斯函数，其形式与原始高斯函数相似，只是变量从空间域转换到了频率域，并且在宽度上存在一个与原始高斯函数宽度成反比的关系。一维归一化高斯函数是指其积分（即面积）等于1的高斯函数。这里需要注意的是，与未归一化的情况相比，归一化常数。的积分（面积）同样为1，但这是在频率域中的归一化。我们来计算这个归一化高斯函数的傅里叶变换。

矩形函数是最原始的窗函数，长得像门一样，廖老师喜欢称它为门函数。我也是很长时间后才发现他将窗函数称为门函数的，一般称为窗函数。好吧，门和窗基本作用是一样的，上帝给我关了一扇门，必然会为我开一扇窗。反正我从门能出去，从窗户也能出去。然后廖老师还回复说：“门是落地的，窗一般不落地，当然你要说是“落地窗”也可以”。现在和廖老师讨论问题，越来越能也能发现乐趣了。

廖老师说频谱泄漏是指有新的频率分量生成。一句话get到点上。对于频谱泄露，信号为无限长序列，运算需要截取其中一部分（截断），于是需要加窗函数，加了窗函数相当于时域相乘，于是相当于频域卷积，于是频谱中除了本来该有的主瓣之外，还会出现本不该有的旁瓣。还有为了减弱频谱泄露，可以采用加权的窗函数，加权的窗函数包括平顶窗、汉宁窗、高斯窗等等。而未加权的矩形窗泄露最为严重。

加窗是指在时域中将信号与一个窗口函数（窗函数）相乘，以减少频谱泄漏。常见的窗函数包括矩形窗、汉宁窗（Hanning）、海明窗（Hamming）、布莱克曼窗（Blackman）等。加窗是傅里叶变换乘法性质的一个重要应用，通过在时域中将信号与窗函数相乘，可以在频域中减少频谱泄漏，提高频谱估计的准确性。不同的窗函数对频谱分辨率和泄漏程度有不同的影响，选择合适的窗函数对于特定的应用至关重要。频域滤波是指在频域中对信号进行处理，以达到滤波的目的。

与IIR数字滤波器的设计类似，设计FIR数字滤波器也需要事先给出理想滤波器频率响应Hideal​ejω，用实际的频率响应Hejω去逼近Hideal​ejω，在此以低通FIR数字滤波器为例介绍窗函数设计法。线性相位的理想低通FIR数字滤波器频率响应为Hideal​ejωe−jωτ0​0⩽∣ω∣⩽ωc​ωc​∣ω∣⩽π​其中，ωc​为截止频率，幅度函数为Hideal​ω10​0⩽∣ω∣⩽ωc。

在时域信号中，如果对一个包含不连续点的信号进行截断，即使用有限个样本点来表示原本无限长或更长的信号，那么在频域中这相当于对信号进行了乘以一个矩形窗的操作。这种操作会导致原信号频谱与矩形窗的频谱卷积，从而在频域中引入额外的频率成分，这就是所谓的“频谱泄漏”（Spectral Leakage）。频谱泄漏（Spectral Leakage）是指在对一个非周期信号或周期但长度与分析窗口不匹配的信号进行离散傅里叶变换（DFT）时，信号的能量不再集中在原来的频率位置，而是扩散到周围的频率上。

在Rafael Gonzalez和Richard Woods所著的《数字图像处理》中，Gonzalez对频域滤波是有误解的，在频域设计滤波器不是非得图像和滤波器的尺寸相同，不是非得在频域通过乘积实现。相反，FIR滤波器设计都是构造空域脉冲响应。一般的原则是，小尺寸的滤波器在空域通过卷积实现更快，大尺寸的滤波器在频域通过频域滤波实现更快。这里就引出一个快速卷积的概念，实际上原理上很简单，基础就是卷积定。只是很多人没想过这个问题。

之所以讲到MATLAB中circshift函数，也是源于Rafael Gonzalez的这个图，作为前几篇答廖老师问的blog的基础。Rafael Gonzalez的这个图无论从哪幅图到哪幅图都不是直接的傅里叶变换或傅里叶逆变换，需要循环移位，即circshift函数。为了得到实数值的傅里叶变换，我们需要将序列循环移位，使中心元素移动到向量的左边。

还是这个图，我不明白廖老师为什么纠结这几个图不放过。Rafael Gonzalez的《数字图像处理》概念不清楚的地方，我就直接放过了，我为什么要和基础差的人纠结。现在的问题是图(c )到图(d)为什么会产生Gibbs效应。这与补零无关，与边界不连续也无关。这是由于频域采样造成的。理论基础是频域采样定理。

廖老师的问题是傅里叶变换是一对完全可逆变换，信息没有任何损失，增加频域采样点干嘛？那是和另外一个空域图像对应的傅里叶变换对了。答：DFT和IDFT当然存在一一对应的时频域映射关系。对有限长序列的频谱分析是看它的DTFT，然而计算机只能计算DFT，时域补零对应频域增加采样点，作用是用DFT近似DTFT。

廖老师认为图(b)和图(c )与信号卷积的结果不同。答：图(c )只是图(b)的移位加补零，都不会改变卷积的有效结果。无论是连续时间还是离散时间卷积，时移性质都表明了同样的原理：对卷积中的任一函数或序列应用时移，等同于对卷积结果应用相同的时移。

由于运算方式和存储容量的限制，计算机只能处理离散且有限长的数据，故“不得不”将无限长的采样序列在时域截断，再进行后续处理。由数据在时域截断引起失真。分析余弦序列xncosω0​n在时域截断前后频谱的变化规律。Xejωπk−∞∑∞​δωω0​2kπδω−ω0​2kπ现用矩形窗对余弦序列进行时域截断，得到xN​ncosω0​nRN​nRN​n为N点矩形窗函数。

本来sinc函数的傅里叶变换应该是box function，但是DTFT和DFT只能处理有限序列，截断会造成sharp transition处的Gibbs效应。Gibbs现象是由不连续性引起的。为了保证循环卷积的结果等同于线性卷积，需要对输入序列进行适当的零填充（zero-padding），使得两序列的长度至少为。但是离散傅里叶变换的优点远大于缺点，只能遇到问题解决问题。，通过循环移位，避免补零带来的存储空间的浪费。注意这里是循环卷积，而不是线性卷积。，它们的离散傅里叶变换分别是。DFT具有重要意义。

【代码】有限序列的零延拓——提高频谱的采样频率。

关于功率谱密度（Power Spectral Density, PSD），有的刊物说是自相关函数的傅里叶变换，有的刊物说是协方差函数的傅里叶变换。这两种说法当随机过程的均值为零时是等价的。然而当随机过程的均值不为零时呢？真是闹心。我很难相信一个概念的定义可以这么含糊。

FIR滤波器：优点在于线性相位特性、无条件稳定性和灵活的设计方法，但计算复杂度较高。IIR滤波器：优点在于计算效率高、实现简单，但可能存在稳定性问题和非线性相位特性。

- 频率间隔由采样周期决定。 - 频率分辨率由观测时间的长度决定。频率分辨率只取决于有效数据的点数，只有在观察或实验中取得更长的有效数据，才能给DFT算法提供更多新信息来区分两个频率，获得“高分辨频谱”。 - 补零运算只是试图充分发掘既有数据的信息，但没有增加任何新的信息，不能提高频率分辨率，只是提供了采样间隔较密的“高密度频谱”。

数字信号是采样的，频域带宽不再是无穷，有效带宽是−fs​/2fs​/2。双线性变换法将模拟滤波器的无限频率范围映射到了数字滤波器的有限频率范围内，但这不是一个简单或直接的“带宽压缩”过程。更准确地说，它是通过一种频率轴的非线性映射方法，使得模拟滤波器的频率响应能够在数字滤波器中得到近似重现，同时保持滤波器的稳定性和避免混叠。