【线性代数】第六章习题：二次型：注意和特征值、特征向量的联系

一. 基本内容与重要结论

1. 基础知识

1.1. 二次型的概念

二次型概念

 

标准型

 

规范型

 

标准型中的正惯性指数

 
 

1.2. 坐标变换与合同

坐标变换

 

矩阵合同

合同来表示二次型？ing
 

1.3. 正定矩阵

正定矩阵的必要条件是：aii>0。

 

2. 主要定理

1. 变换：二次型总能化成标准型

定理二：

定理三：

 

2. 惯性定理：惯性指数唯一确定

 

3. 特征值：二次型与特征值的关系

定理一：经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似

 

 

4. 正定：正定的充要和必要条件

 

典型例题

1. 二次型的基本概念

题型一：求二次型矩阵：方程得二次型

1. 矩阵相乘
2. 改成二次型矩阵

 

1. 由二次型直接看出矩阵每个位置的元素
2. 求矩阵=0，求出a。
3. 判断秩为2的a。

 

题型二：坐标变换

1. 坐标变换的矩阵，一定是可逆的，如果等于=0,则维度降低，丢失信息。