【线性代数】第六章习题：二次型：注意和特征值、特征向量的联系

一. 基本内容与重要结论

1. 基础知识

1.1. 二次型的概念

二次型概念

 

标准型

 

规范型

 

标准型中的正惯性指数

 
 

1.2. 坐标变换与合同

坐标变换

 

矩阵合同

合同来表示二次型？ing
 

1.3. 正定矩阵

正定矩阵的必要条件是：aii>0。

 

2. 主要定理

1. 变换：二次型总能化成标准型

定理二：

定理三：

 

2. 惯性定理：惯性指数唯一确定

 

3. 特征值：二次型与特征值的关系

定理一：经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似

 

 

4. 正定：正定的充要和必要条件

 

典型例题

1. 二次型的基本概念

题型一：求二次型矩阵：方程得二次型

1. 矩阵相乘
2. 改成二次型矩阵

 

1. 由二次型直接看出矩阵每个位置的元素
2. 求矩阵=0，求出a。
3. 判断秩为2的a。

 

题型二：坐标变换

1. 坐标变换的矩阵，一定是可逆的，如果等于=0,则维度降低，丢失信息。
   
2. 为什么? x1,x2,x3三项一定都有（行列式不等于0）。
   

 

2. 二次型的标准型、规范形

题型一：化标准型的方法：消掉混合项

1. 凑方法一：将混合乘合并，凑成标准型
2. 坐标变换是用y表示x

 

题型：变换两次

 

 
 

正交变换法化标准型****

题型一：根据相似性质来取标准型

定理：

1. 二次型（因为是实对称矩阵）通过坐标变换一定能化成标准型，即对角矩阵与A即相似又合同
2. 对角矩阵的主对角线元素之和=标准型平方项系数

思路一：

1. 二次型矩阵与标准型矩阵的对应关系
2. 对角相似性质：主对角线之和相等、行列式相等，即能求出未知数a、b

思路二：按照定义来，将标准平方项系数带入，得出未知数。

 

求λ，得标准型系数

1. 根据特征向量求出λ，根据定义带入特征矩阵Ax=λ1x，解出a、b，以及λ1
2. 求剩余特征值

• 秩等于2，知道0是特征值，
• 有相似对角化的性质，对角矩阵=矩阵的对角线元素之和，求出最后一个λ

 

题型二：根据二次型矩阵求标准型矩阵及正交变换

2. 求二次型矩阵的特征值，即正交矩阵。求基础解系（要求单位正交化）：对应坐标变换。

3. 利用标准型简化求最值的过程，通过只有平方项来处理最值问题。
   注意$Q^{T}Q=Q^{-1}Q=E$,可得
   

 

题型三：

二次型确定的标准型是唯一的。

都化成标准型，看看标准型是否一致，如果一致，则求出正交变换矩阵。

1. 化成标准型：特征值、特征向量、正交化：相互正交（不同特征值，向量一定正交）+单位化
2. 求正交变换：因为有相同的标准型，所以有等式，求出从A到B的变换。

 

3. 标准型

题型一：坐标变换后的惯性指数不变

1. 正交变换后，A、B合同，惯性指数不变
2. 正交变换->对角矩阵（特征值）->正惯性指数与特征值
   

 

求特征值，惯性指数不变讨论a的取值范围。

 

题型二：化二次型为规范型

1. 配方法 ？ 具有一定的随机性？

2. 正交变换

• 直接求对角矩阵，得标准型
• 标准型变规范型
• 得坐标变换
  

 

1. 惯性指数不变（两正，一零），令A的特征值的正负性符合惯性指数特性。
2. 化标准型：a. 求特征向量，正交、单位化，-> 正交变换。注意施密特正交化的步骤。

 

题型：由特征性质求二次型矩阵****

1. 利用特征方程求二次型
   a. 求特征值
   

• b. 因为是齐次方程组的解，

  • 所以有非零解，Aa=0a，有|A|=0，（基础解系有一个：n-r=1）秩=2
  • Ax=0，0是特征值。

• c. 由A∽对角矩阵: (基础解系只有一个，n解=n-R=1，R=2)秩相等=2，所以有λ：2、2、0。

• d. 对角矩阵，不同特征值的特征向量正交，设特征向量，求解。

由特征向量求A

• 特征值的特性：$A->kE+A=>\lambda 1+k、\lambda 2+k、\lambda 3+k$
• （二次型->标准型）惯性指数不变

 

4. 二次型的正定性

顺序主子式大于0

1. 各阶主子式大于0，正定。
   

 

1. 二次型矩阵，各阶顺序主子式>0

 

特征值全部大于0

1. 有等式得特征值0,2，kA+E的特征值，1，-2k+1，
2. 正定特征值大于0。

 

正定的证明

 

 

5. 矩阵的等价、相似、合同

理论：

 

1. 等价：行变换
2. 合同：相同惯性指数
3. 相似：特征值不相等，不相似。