特征值→相似矩阵→矩阵对角化（特征值分解）

上篇：二次型→矩阵的正定性→特征值
下篇：矩阵对角化→实对称矩阵的对角化→实对称半正定矩阵的对角化

相似矩阵

定义 设$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$为$n\times n$矩阵，若存在可逆矩阵$\mathbf{P}$使得
$$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}$$
则称矩阵$\mathbf{B}$相似于矩阵$\mathbf{A}$，记作$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$。

定理 设$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$为$n\times n$矩阵，若$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$相似，则这两个矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

矩阵对角化

定义 若存在可逆矩阵$\mathbf{P}$和对角矩阵$\Lambda$，使得$n$阶矩阵$\mathbf{A}$满足
$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\Lambda$$
则称$\mathbf{A}$为可对角化矩阵，称$\mathbf{P}$将$\mathbf{A}$对角化。

定理 $n$阶矩阵$\mathbf{A}$可对角化的充要条件是$\mathbf{A}$有$n$个线性无关的特征向量。

特征向量与相似变换：虽然相似矩阵具有相同的特征值，但它们对应的特征向量一般是不同的。如果$v$是矩阵$A$的一个特征向量，对应于特征值$\lambda$，那么$P^{-1}v$是相似矩阵$B=P^{-1}AP$对应于相同特征值$\lambda$的特征向量。这表明通过相似变换，我们可以将一个矩阵的特征向量转换为另一个相似矩阵的特征向量。

对角化与相似矩阵：当一个矩阵$A$可以对角化时，意味着它可以表示为$A=P\Lambda P^{-1}$，其中$\Lambda$是一个对角矩阵，其对角线上的元素是$A$的特征值，而$P$是由$A$的线性无关的特征向量组成的矩阵。这里，$\Lambda$实际上是$A$在其特征向量所构成的新基下的表示形式，从而$A$和$\Lambda$是相似的。因此，寻找一个矩阵的对角形式实际上是在寻找一组新的基，在这组基下该矩阵表现为对角形式。

特征值分解

特征值分解是线性代数中的一种矩阵分解方法，适用于方阵。通过特征值分解，我们可以将一个方阵$A$表达为其特征值和特征向量的组合形式。

特征值与特征向量

给定一个$n\times n$的方阵$A$，如果存在一个非零向量$v$（称为特征向量）和一个标量$\lambda$（称为特征值），使得满足等式
$$Av=\lambda v$$
那么，$\lambda$就是矩阵$A$的一个特征值，而$v$是对应的特征向量。

特征值分解

如果一个$n\times n$方阵$\mathbf{A}$有$n$个线性无关的特征向量，则$\mathbf{A}$可以被对角化，并且可以表示为特征值分解的形式：
$$\mathbf{A}=\mathbf{P}\Lambda {\mathbf{P}}^{-1}$$
其中，
$\mathbf{P}$是由$\mathbf{A}$的$n$个线性无关的特征向量作为列构成的矩阵。
$\Lambda$是一个对角矩阵，其对角线上的元素是$\mathbf{A}$的特征值，按照在$\mathbf{P}$中对应特征向量的顺序排列。

通过特征值和特征向量揭示矩阵的线性变换特性（如缩放、旋转等）。