（探讨）随机过程的功率谱密度——到底是协方差函数的傅里叶变换还是自相关函数的傅里叶变换？

关于功率谱密度（Power Spectral Density, PSD），有的刊物说是自相关函数的傅里叶变换，有的刊物说是协方差函数的傅里叶变换。这两种说法当随机过程的均值为零时是等价的。然而当随机过程的均值不为零时呢？真是闹心。我很难相信一个概念的定义可以这么含糊。

自相关函数和协方差函数

假设广义平稳随机过程$X(t)$的均值为${\mu }_X$，则有：

1. 自相关函数$R_X(\tau )$：
   $$R_X(\tau )=E[X(t)X^{\ast }(t+\tau )]$$

2. 协方差函数$C_X(\tau )$：
   $$C_X(\tau )=E[(X(t)-{\mu }_X)(X(t+\tau )-{\mu }_X{)}^{\ast }]$$

自相关函数和协方差函数的关系

对于广义平稳随机过程，均值${\mu }_X$是常数，因此自相关函数和协方差函数之间的关系可以表示为：
$$C_X(\tau )=R_X(\tau )-|{\mu }_X{|}^2$$

功率谱密度

1. 自相关函数的傅里叶变换：
   S X ( f ) = F { R X ( τ ) } = ∫ − ∞ ∞ R X ( τ ) e − j 2 π f τ d τ S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau SX​(f)=F{RX​(τ)}=∫−∞∞​RX​(τ)e−j2πfτdτ

2. 协方差函数的傅里叶变换：
   S X ( f ) = F { C X ( τ ) } = ∫ − ∞ ∞ C X ( τ ) e − j 2 π f τ d τ S_X(f) = \mathcal{F}\{C_X(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} C_X(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau SX​(f)=F{CX​(τ)}=∫−∞∞​CX​(τ)e−j2πfτdτ

由于$C_X(\tau )=R_X(\tau )-|{\mu }_X{|}^2$，我们可以将$C_X(\tau )$代入傅里叶变换公式：
S X ( f ) = F { R X ( τ ) − ∣ μ X ∣ 2 } S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau) - |\mu_X|^2\} SX​(f)=F{RX​(τ)−∣μX​∣2}

根据线性性质，傅里叶变换可以分开计算：
S X ( f ) = F { R X ( τ ) } − F { ∣ μ X ∣ 2 } S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} - \mathcal{F}\{|\mu_X|^2\} SX​(f)=F{RX​(τ)}−F{∣μX​∣2}

因为$|{\mu }_X{|}^2$是一个常数，其傅里叶变换是一个冲激函数$\delta (f)$乘以该常数：
F { ∣ μ X ∣ 2 } = ∣ μ X ∣ 2 δ ( f ) \mathcal{F}\{|\mu_X|^2\} = |\mu_X|^2 \delta(f) F{∣μX​∣2}=∣μX​∣2δ(f)

因此，最终的功率谱密度可以表示为：
S X ( f ) = F { R X ( τ ) } − ∣ μ X ∣ 2 δ ( f ) S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} - |\mu_X|^2 \delta(f) SX​(f)=F{RX​(τ)}−∣μX​∣2δ(f)

解释

• 自相关函数的傅里叶变换 S X ( f ) = F { R X ( τ ) } S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} SX​(f)=F{RX​(τ)}给出了整个信号的功率谱密度，包括直流分量（即均值的平方）。
• 协方差函数的傅里叶变换 S X ( f ) = F { C X ( τ ) } S_X(f) = \mathcal{F}\{C_X(\tau)\} SX​(f)=F{CX​(τ)}给出了去除直流分量后的功率谱密度，即去除了均值影响的功率谱密度。

结论

当随机过程的均值不为零时，自相关函数的傅里叶变换包含了直流分量，而协方差函数的傅里叶变换去除了直流分量。