matlab自相关函数autocorr_随机过程的自相关函数与功率谱（转载）

随机过程的自相关函数与功率谱

1. 自相关函数

​ 要说自相关函数，这里得先从统计里的相关函数定义讲起。在统计里，两个随机变量X，Y的相关函数定义如下：

也就是两个随机变量协方差除以标准差之积。如果

X是一个时间的随机变量序列，将不同时间起始点的两个序列 Xt和 Xs看成两个随机变量，上面的相关函数（1）可以表示为：

如果

X是一个二阶稳态过程，即均值和方差不随时间变化。（这里涉及到随机过程的定义，可以去搜一下纯随机过程，平稳随机过程）

此时，相关函数只是时间差τ=s-t的函数，则公式（2）可以重写为：

这是统计学上的相关函数。

我们把式（4）中期望展开来看，也就是当随机序列有样本时：

上式其实是两个向量的内积表达式，即：

事实上，自相关函数在统计上，反映了同一随机序列在不同时刻取值之间的相关程度。而在信号处理中，一个向量的自相关函数以卷积的形式表达：