向量范数——等密度轨迹的各种表示

向量范数是衡量向量大小或长度的一种方法。它是在向量空间中定义的一个函数，将每个向量映射到一个非负的实数值，这个值可以被解释为向量的“长度”或“大小”。向量范数必须满足以下三个条件：

1. 正定性：对于所有向量$\mathbf{v}$，有$\Vert \mathbf{v}\Vert \ge 0$，且$\Vert \mathbf{v}\Vert =0$ 当且仅当$\mathbf{v}$ 是零向量。
2. 齐次性：对于任何标量$a$ 和向量$\mathbf{v}$，有$\Vert a\mathbf{v}\Vert =|a|\Vert \mathbf{v}\Vert$。
3. 三角不等式：对于任意两个向量$\mathbf{u}$ 和$\mathbf{v}$，有$\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert \le \Vert \mathbf{u}\Vert +\Vert \mathbf{v}\Vert$。

p范数（也称为Lp范数）是向量范数的一种广义形式，它定义为：

$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}$$

其中$\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$ 是一个 n 维向量，$p\ge 1$ 是一个实数参数。

对于不同的$p$ 值，$p$范数有不同的名称和特性：

• 当$p=1$，我们得到 L1 范数，也就是曼哈顿距离或城市街区距离：
  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$

• 当$p=2$，我们得到 L2 范数，也就是欧几里得范数，这是最常用的范数之一，通常用来计算向量的长度：
  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

• 当$p\to \infty$，p范数趋向于无穷范数，也叫最大范数，它是向量中绝对值最大的元素的值：
  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }=\underset{p\to \infty }{\lim }{\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}=\max (|x_1|,|x_2|,...,|x_n|)$$

图2-52：二维空间向量的$\ell p$范数等密度轨迹。

想过两种方式，还是放在一起省地方。

禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理（面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材）》
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