【组合数学】第二类斯特林数

一、定义
第二类Stirling数即:，又可记为[与第一类的表示有大小写的区别]。其表示将n个不同的元素分成m个集合的方案数。
二、理解关键词句
1.集合的一个拆分(表示将n个不同的元素拆分成m个集合的方案数)
2.dp[n][m] = m*dp[n-1][m] + dp[n-1][m-1] (dp[n][m]表示n个元素划分为m个集合的方案数)
2.1对于第n个元素，如果前面的n-1个元素应划分在m个集合内，那么第n个元素放在那个集合内都是可以的即m*dp[n-1][m]
2.3如果前n-1个元素已经划分在了m-1个集合内，则第n个元素只能单独划分在第m个集合内即1*dp[n-1][m-1]
三、应用
1.常常用于解决组合数学中几类放球模型。描述为：将n个不同的球放入m个无差别的盒子中，要求盒子非空，有几种方案？
1.1代码实现思路：

第二类斯特林数dp[n][m]
dp[n][m]=m*dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1],1 <= m < n
dp[k][k]=1,k >= 0
dp[k][0]=0,k >= 1
0,n < m

1.2转移方程理解：

(1)对于第n个球，如果前面的n-1个球已经放在了m个箱子里，那么现在第n个球放在哪个箱子都是可以的，所以m*dp[n-1][m]

(2)如果前n-1个球已经放在了m-1个箱子里，那么现在第n个球必须要新开一个箱子来存放，所以1*dp[n-1][m-1]

1.3代码实现：

typedef long double LD;
LD dp[104][104];

for(i = 1; i <= n; i++){
  dp[i][0] = 0;
}
for(i = 1; i <= n; i++){
  for(j = 1; j <= m; j++){
    if(i > j) dp[i][j] = j*dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1];
    if(i == j) dp[i][j] = 1;
    if(i < j) dp[i][j] = 0;
  }
}