《预积分总结与公式推导》学习笔记1

最新推荐文章于 2024-12-20 10:39:58 发布

lshacm

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分类专栏：碎碎念

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013514182/article/details/97614235

本文是《预积分总结与公式推导》的学习笔记，重点介绍了李群流形的基本概念，包括hat和vee运算符、指数映射与对数映射的性质。此外，详细阐述了IMU的测量模型与运动模型，以及预积分的定义、拆分和在实际中的应用，如旋转、速度和位置的增量计算。内容涉及角速度测量、加速度转换和运动微分方程的离散形式，旨在提炼原文核心，方便查阅。

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本博客是《预积分总结与公式推导》一文的部分学习笔记，记录了一些李群李代数概念，IMU模型与预积分定义等知识。原文写的很好，逻辑清晰，推导详细。但是推导细节过多，不容易把控行文主线。本文提取并记录了该文的脉络核心，略去了细节，便于日后参考查找。本博客只是原文前半段的内容，后续会继续更新。

关于李群流形的一些基本概念和性质

hat和vee运算符

$\boldsymbol { \omega } ^ { \wedge } = \left[ \begin{array} { c } { \omega _ { 1 } } \\ { \omega _ { 2 } } \\ { \omega _ { 3 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { - \omega _ { 3 } } & { \omega _ { 2 } } \\ { \omega _ { 3 } } & { 0 } & { - \omega _ { 1 } } \\ { - \omega _ { 2 } } & { \omega _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right] = \mathbf { W }$

$\mathbf { W } ^ { \vee } = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { - \omega _ { 3 } } & { \omega _ { 2 } } \\ { \omega _ { 3 } } & { 0 } & { - \omega _ { 1 } } \\ { - \omega _ { 2 } } & { \omega _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right] ^ { \vee } = \left[ \begin{array} { c } { \omega _ { 1 } } \\ { \omega _ { 2 } } \\ { \omega _ { 3 } } \end{array} \right] = \boldsymbol { \omega }$

hat运算符的性质

$\mathbf { a } ^ { \wedge } \cdot \mathbf { b } = - \mathbf { b } ^ { \wedge } \cdot \mathbf { a } , \quad \forall \mathbf { a } , \mathbf { b } \in R ^ { 3 }$

指数映射

$\exp \left( \vec { \phi } ^ { \wedge } \right) = \mathbf { I } + \frac { \sin ( \| \overline { \phi } \| ) } { \| \vec { \phi } \| } \vec { \phi } ^ { \wedge } + \frac { 1 - \cos ( \| \overline { \phi } \| ) } { \| \vec { \phi } \| ^ { 2 } } \left( \vec { \phi } ^ { \wedge } \right) ^ { 2 }$

一阶近似

$\exp \left( \vec { \phi } ^ { \wedge } \right) \approx \mathbf { I } + \vec { \phi } ^ { \wedge }$

对数映射

$\log ( \mathbf { R } ) = \frac { \varphi \cdot \left( \mathbf { R } - \mathbf { R } ^ { T } \right) } { 2 \sin ( \varphi ) }$

其中 $φ=cos⁡−1(tr⁡(R)−12)\varphi = \cos ^ { - 1 } \left( \frac { \operatorname { tr } ( R ) - 1 } { 2 } \right)$

大写指数和对数映射

$\begin{array} { l } { \operatorname { Exp } : R ^ { 3 } \ni \vec { \phi } \rightarrow \exp \left( \vec { \phi } ^ { \wedge } \right) \in S O ( 3 ) } \\ { \operatorname{Log} : \mathrm { SO } ( 3 ) \ni \mathbf { R } \rightarrow \log ( \mathbf { R } ) ^ { \vee } \in R ^ { 3 } } \end{array}$

一阶近似

$\operatorname { Exp } ( \vec { \phi } + \delta \vec { \phi } ) \approx \operatorname { Exp } ( \vec { \phi } ) \cdot \operatorname { Exp } \left( \mathbf { J } _ { r } ( \vec { \phi } ) \cdot \delta \vec { \phi } \right)\\ \operatorname{Log} ( \operatorname { Exp } ( \vec { \phi } ) \cdot \operatorname { Exp } ( \delta \vec { \phi } ) ) = \vec { \phi } + \mathbf { J } _ { r } ^ { - 1 } ( \vec { \phi } ) \cdot \delta \vec { \phi }$