高等代数(四)-矩阵07：分块乘法的初等变换及应用举例

§ 7 分块乘法的初等变换及应用举例

将分块乘法与初等变换结合是矩阵运算中极重要的手段。

现将某个单位矩阵进行如下分块：

$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)$$

对它进行两行（列）对换，某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵 $\mathbf{P}$，一行（列）加上另一行（列）的 $\mathbf{P}$（矩阵）倍数，就可得到如下类型的一些矩阵：

$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\\ {\mathbf{E}}_m& \mathbf{O}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}\mathbf{P}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{P}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& \mathbf{P}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& \mathbf{O}\\ \mathbf{P}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)$$

和初等矩阵与初等变换的关系一样，用这些矩阵左乘任一个分块矩阵

$$\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)$$

只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换，即：

$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{E}}_m\\ {\mathbf{E}}_n& \mathbf{O}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{C}& \mathbf{D}\\ \mathbf{A}& \mathbf{B}\end{array}\right)(1)$$

$$\left(\begin{array}{ll}\mathbf{P}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{P}\mathbf{A}& \mathbf{P}\mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)(2)$$

$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& \mathbf{O}\\ \mathbf{P}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}+\mathbf{P}\mathbf{A}& \mathbf{D}+\mathbf{P}\mathbf{B}\end{array}\right)(3)$$

同样，用它们右乘任一矩阵，进行分块乘法时也有相应的结果，我们不写出了。

在（3）中，适当选择 $\mathbf{P}$，可使 $\mathbf{C}+\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{O}$。例如 $\mathbf{A}$ 可逆时，选 $\mathbf{P}=-\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}$，则 $\mathbf{C}+\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{O}$。于是（3）的右端成为

$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{O}& \mathbf{D}-\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\end{array}\right)$$

这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问题时是比较方便的，因此（3）中的运算非常有用。

下面举些例子看看这些公式的应用。

例 1

$$\mathbf{T}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)$$

$\mathbf{A},\mathbf{D}$ 可逆，求 ${\mathbf{T}}^{-1}$。

由

$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& \mathbf{O}\\ -\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{D}\end{array}\right)$$

及

$${\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{D}\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{D}}^{-1}\end{array}\right)$$

易知

$${\mathbf{T}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{D}}^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& \mathbf{O}\\ -\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}& {\mathbf{D}}^{-1}\end{array}\right)$$

例 2

$${\mathbf{T}}_1=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)$$

设 ${\mathbf{T}}_1$ 可逆，$\mathbf{D}$ 可逆，试证 ${\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}\right)}^{-1}$ 存在，并求 ${\mathbf{T}}_1^{-1}$。

由

$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& -\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}& \mathbf{O}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)$$

而右端仍可逆，故 ${\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}\right)}^{-1}$ 存在。

再由例 1，知

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{T}}_1^{-1}& =\left(\begin{array}{cc}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}\right)}^{-1}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}\right)}^{-1}& {\mathbf{D}}^{-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_m& -\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}\right)}^{-1}& -{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}\right)}^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\\ -{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}\right)}^{-1}& {\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}{\left(\mathbf{A}-\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{C}\right)}^{-1}\mathbf{B}{\mathbf{D}}^{-1}+{\mathbf{D}}^{-1}\end{array}\right)\end{array}$$

例 3

证明行列式的乘积公式 $|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$。

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为 $n\times n$ 矩阵，作

$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{A}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{E}}_n& \mathbf{B}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\mathbf{B}\\ -{\mathbf{E}}_n& \mathbf{B}\end{array}\right)(4)$$

令

$${\mathbf{P}}_{ij}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& {\mathbf{E}}_{ij}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right),i,j=1,2,\cdots ,n$$

其中 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 为 $n\times n$ 矩阵，除了第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $a_{ij}$ 外，其他元素皆为零。故由初等矩阵与初等变换的关系，易得

$${\mathbf{P}}_{11}{\mathbf{P}}_{12}\cdots {\mathbf{P}}_{1n}\cdots {\mathbf{P}}_{n1}\cdots {\mathbf{P}}_{nn}\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{A}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)$$

又由 ${\mathbf{P}}_{ij}$ 所对应的初等变换是某行加上另外一行的倍数，它不改变行列式的值，于是

$$\begin{array}{rl}\left|\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{A}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{E}}_n& \mathbf{B}\end{array}\right)\right|& =\left|{\mathbf{P}}_{11}\cdots {\mathbf{P}}_{nn}\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{E}}_n& \mathbf{B}\end{array}\right)\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{E}}_n& \mathbf{B}\end{array}\right|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\text{（第二章 § 6 例 3）}\end{array}$$

但（4）的右端可经 $n$ 个两列对换变成

$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}\mathbf{B}& \mathbf{O}\\ \mathbf{B}& -{\mathbf{E}}_n\end{array}\right)$$

故

$$\left|\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{A}\mathbf{B}\\ -{\mathbf{E}}_n& \mathbf{B}\end{array}\right|=(-1{)}^n\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}\mathbf{B}& \mathbf{O}\\ \mathbf{B}& -{\mathbf{E}}_n\end{array}\right|=(-1{)}^n|\mathbf{A}\mathbf{B}||-{\mathbf{E}}_n|=|\mathbf{A}\mathbf{B}|$$

这就证明了

$$|\mathbf{A}||\mathbf{B}|=|\mathbf{A}\mathbf{B}|$$

例 4

设 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，且

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|\ne 0,1⩽k⩽n$$

则有下三角形矩阵 ${\mathbf{B}}_{n\times n}$ 使

$$\mathbf{B}\mathbf{A}=\text{上三角形矩阵}$$

证明 对 $n$ 作归纳法。当 $n=1$ 时，一阶矩阵既是上三角形的又是下三角形的，故命题自然成立。

设对 $n-1$ 命题为真，我们来看

$${\mathbf{A}}_1=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,n-1}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n-1,1}& \cdots & a_{n-1,n-1}\end{array}\right)$$

它仍满足命题中所设的条件。由归纳法假设，有下三角形矩阵 $({\mathbf{B}}_1{)}_{(n-1)\times (n-1)}$ 满足 ${\mathbf{B}}_1{\mathbf{A}}_1=$ 上三角形矩阵。

对 $\mathbf{A}$ 作如下分块：

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_1& \mathbf{\beta }\\ \mathbf{\alpha }& a_{nn}\end{array}\right)$$

则

$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}& \mathbf{O}\\ -\mathbf{\alpha }{\mathbf{A}}_1^{-1}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_1& \mathbf{\beta }\\ \mathbf{\alpha }& a_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_1& \mathbf{\beta }\\ \mathbf{O}& -\mathbf{\alpha }{\mathbf{A}}_1^{-1}\mathbf{\beta }+a_{nn}\end{array}\right)$$

再作

$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_1& \mathbf{\beta }\\ \mathbf{O}& -\mathbf{\alpha }{\mathbf{A}}_1^{-1}\mathbf{\beta }+a_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_1{\mathbf{A}}_1& {\mathbf{B}}_1\mathbf{\beta }\\ \mathbf{O}& -\mathbf{\alpha }{\mathbf{A}}_1^{-1}\mathbf{\beta }+a_{nn}\end{array}\right)$$

这时矩阵已成为上三角形了。将两次乘法结合起来就得到

$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_1& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}& \mathbf{O}\\ -\mathbf{\alpha }{\mathbf{A}}_1^{-1}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}_1& \mathbf{O}\\ -\mathbf{\alpha }{\mathbf{A}}_1^{-1}& 1\end{array}\right)$$

此即所要求的下三角形矩阵。