poj 3150 Cellular Automaton(矩阵快速幂)

本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定变换问题的方法。通过矩阵表示和优化矩阵相乘过程,实现对大规模数据的有效处理。

http://poj.org/problem?id=3150


大致题意:给出n个数,问经过K次变换每个位置上的数变为多少。第i位置上的数经过一次变换定义为所有满足 min( abs(i-j),n-abs(i-j) )<=d的j位置上的数字之和对m求余。


思路:

我们先将上述定义表示为矩阵

B = 

1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
1 0 0 1 1

B[i][j] = 表示i与j满足上述关系,B[i][j] = 0表示i与j不满足上述关系。根据这个矩阵,那么样例1中1 2 2 1 2经过一次变换变成了5 5 5 5 4。


其实这也是矩阵相乘的问题,令A = 1 2 2 1 2,那么A * B = 5 5 5 5 4。那么要经过K次变换,答案无疑是 A*(B^k)mod m。

用矩阵快速幂的复杂度为 O(n^3 * log k),n最大是500,K也很大,必会TLE。logk是不会变了,优化在于n^3。仔细观察B矩阵,发现它是有规律的,它的每一行都是它上一行右移一位得到的。那么在矩阵相乘时,我们只需计算第一行,然后整个矩阵就算出来了,这样复杂度降为O(n^2 * log k)。


A这道题真是太坎坷了。在矩阵相乘时我传的两个参数是结构体,里面是500*500的数组,一运行就崩了,一直找找不到原因,最后发现传参的问题,它相当于直接把两个结构体传过去,显然太大了,随后就改成指针传参,后来因为没有释放内存,1MLE,再后来把k和d 输反了,1WA,最后终于2000+ms过了。。


#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-8
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 510;

_LL b[maxn],ans[maxn];
int n,m,k,d;
int mod;

struct matrix
{
    _LL mat[maxn][maxn];
}a,*res;

matrix *matrixMul(matrix *x, matrix *y)
{
    matrix *tmp;
    tmp = (matrix *)malloc(sizeof(matrix));
    memset((*tmp).mat,0,sizeof((*tmp).mat));
    for(int i = 0; i < 1; i++)
    {
        for(int k = 0; k < n; k++)
        {
            if( (*x).mat[i][k] == 0) continue;
            for(int j = 0; j < n; j++)
            {
                (*tmp).mat[i][j] += (*x).mat[i][k] * (*y).mat[k][j];
                if((*tmp).mat[i][j] >= mod)
                    (*tmp).mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }

	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		for(int j = 0; j < n; j++)
		{
			if(i == 0) (*x).mat[i][j] = (*tmp).mat[i][j];
			else (*x).mat[i][j] = (*x).mat[i-1][(j-1+n)%n];
		}
	}
	free(tmp);
    return x;
}

matrix *Mul(matrix *x, int k)
{
    matrix *tmp;
	tmp = (matrix *)malloc(sizeof(matrix));
	memset((*tmp).mat,0,sizeof((*tmp).mat));
	for(int i = 0; i < n; i++)
        (*tmp).mat[i][i] = 1;

    while(k)
    {
        if(k&1)
            tmp = matrixMul(tmp,x);
        x = matrixMul(x,x);
        k >>= 1;
    }
    return tmp;
}

int main()
{
	while(~scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&d,&k))
	{
		mod = m;
		for(int i = 0; i < n; i++)
			scanf("%I64d",&b[i]);

		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			for(int j = 0; j < n; j++)
			{
				if(min (abs(i-j),n-abs(i-j)) <= d)
					a.mat[i][j] = 1;
				else a.mat[i][j] = 0;
			}
		}

		res = Mul(&a,k);

		memset(ans,0,sizeof(ans));

		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			for(int j = 0; j < n; j++)
			{
				ans[i] += b[j] * ((*res).mat[j][i]);
				if(ans[i] >= mod)
					ans[i] %= mod;
			}
		}
		for(int i = 0; i < n-1; i++)
			printf("%I64d ",ans[i]);
		printf("%I64d\n",ans[n-1]);
   }
    return 0;
}



### 关于POJ 1995问题的快速幂C++实现 对于POJ 1995问题,其核心在于通过矩阵快速幂算法高效解决大规模数据下的指数运算。以下是基于引用材料中的相关内容构建的一个完整的解决方案。 #### 矩阵快速幂的核心逻辑 矩阵快速幂是一种高效的计算方式,在处理线性递推关系时尤为有效。例如斐波那契数列可以通过构造特定的转移矩阵来加速计算[^4]。具体来说,给定一个初始状态向量和一个转移矩阵,经过若干次幂运算后可获得目标状态。 以下是一个通用的矩阵快速幂模板: ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 2; // 定义矩阵大小 struct Matrix { long long m[N][N]; }; // 矩阵乘法函数 Matrix multiply(const Matrix& a, const Matrix& b) { Matrix c; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { c.m[i][j] = 0; for (int k = 0; k < N; ++k) { c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j]; c.m[i][j] %= 10000; // 取模操作 } } } return c; } // 快速幂函数 Matrix fastPower(Matrix base, long long exp) { Matrix result; for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { result.m[i][j] = (i == j); } } while (exp > 0) { if (exp % 2 == 1) { result = multiply(result, base); } base = multiply(base, base); exp /= 2; } return result; } int main() { long long n; cin >> n; // 初始化转移矩阵 Matrix trans; trans.m[0][0] = 0; trans.m[0][1] = 1; trans.m[1][0] = 1; trans.m[1][1] = 1; // 计算结果矩阵 if (n == 0 || n == 1) { cout << 1 << endl; } else { Matrix res = fastPower(trans, n - 1); // 初始状态向量 long long fib_prev = 1; long long fib_curr = 1; // 输出结果 cout << (res.m[0][0] * fib_prev + res.m[0][1] * fib_curr) % 10000 << endl; } return 0; } ``` 此代码实现了针对斐波那契数列的大规模项求解功能,并采用了取模`%10000`的操作以满足题目需求。其中的关键部分包括矩阵乘法、快速幂以及状态转移的设计[^3]。 #### 特殊注意点 在实际提交过程中需要注意以下几个方面: - **大数组定义**:如果涉及更大的矩阵或者更复杂的动态规划表,则需特别留意内存分配的位置及其范围限制[^2]。 - **时间复杂度控制**:尽管快速幂本身具有较低的时间复杂度O(log n),但在极端情况下仍需验证是否存在进一步优化空间。 - **边界条件处理**:如输入为较小数值时直接返回已知答案而非进入循环计算流程。
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