poj 3150Cellular Automaton(矩阵快速幂)

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本文介绍了一种针对环形数组进行多次操作后的状态预测算法。通过对操作过程的矩阵表示和快速幂运算优化，实现了对大规模操作次数的有效计算。特别地，通过观察矩阵运算结果的规律，减少了计算复杂度。

题目大意：

一个环上有n个数，定义一种操作将它和它距离小于d的数加和再模m。每次操作刷新所有数。问k次之后都将变成什么数？

解题思路：

首先看到进行K次，就要想到是否可用矩阵优化，一看K很大，就想到构造矩阵。

sample input #1
5 3 1 1
1 2 2 1 2

就这个样例来讲：

             可以构造想到每次一个数与它周围几个相加，可构造一个含有1的矩阵表示i,j是有关的。这样就构造出了之后要进行快速幂的矩阵，然后构造初始，只需把N个数排成一列。

  [1,1,0,0,1]                    [a1]

  [1,1,1,0,0]                    [a2]

  [0,1,1,1,0]                    [a3]

  [0,0,1,1,1]                    [a4]

  [1,0,0,1,1]这是用来快速幂的矩阵   [a5] 这是初始矩阵。 所以只要进行快速幂就行了。然而n<=500，复杂度是n3*log（k） 时间上肯定不够，这时候就要观察矩阵，发现每次乘法后是有规律的。

b^1 =
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 1, 1, 0]
[0, 0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 1, 1]
b^2 =
[3, 2, 1, 1, 2]
[2, 3, 2, 1, 1]
[1, 2, 3, 2, 1]
[1, 1, 2, 3, 2]
[2, 1, 1, 2, 3]
b^3 =
[7, 6, 4, 4, 6]
[6, 7, 6, 4, 4]
[4, 6, 7, 6, 4]
[4, 4, 6, 7, 6]
[6, 4, 4, 6, 7]
b^4 =
[19, 17, 14, 14, 17]
[17, 19, 17, 14, 14]
[14, 17, 19, 17, 14]
[14, 14, 17, 19, 17]
[17, 14, 14, 17, 19]

所以就发现只要储存第一列就行了。 把时间减小一个维度。

注意：%的运算尽量减少，不然时间会很慢。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,d,k;
struct ss 
 {
 	long long messi[505];
 }now,ans;
int a[505]; 


ss work(ss a1,ss b1)
 {
 	ss c;
 	memset(c.messi,0,sizeof(c.messi));
 	for (int i=1;i<=n;++i)
 	 {
 	 	for (int j=1-(i-1);j<=n-(i-1);++j)
 	 	 {
 	 	   int u;	
 	 	   if (j<=0) u=j+n;else u=j;
 	 	   c.messi[i]=c.messi[i]+a1.messi[j+i-1]*b1.messi[u];	
		 }
		 c.messi[i]%=m;
	  }
 	return c;
 }


int main()
{
	scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&d,&k);
	memset(now.messi,0,sizeof(now.messi));
	for (int i=1;i<=n;++i)
	 {
	 	scanf("%d",&a[i]);
	 }
	 for (int j=1;j<=n;++j)
	  if (abs(1-j)<=d || abs(1+n-j)<=d)
	   {
	   	now.messi[j]=1;
	   }
	memset(ans.messi,0,sizeof(ans.messi));
	ans=now;
    int u=k-1;
	while (u>0)
	 {
	 	if (u%2==1)
	 	 {
	 	 	ans=work(ans,now);
		  }
		now=work(now,now);
		u=u/2;
	 }  
   for (int i=1;i<=n;++i)
    {
    	long long sum=0;
    	for (int j=1-(i-1);j<=n-(i-1);++j)
    	 {
    	 	int u;
    	 	if (j<=0) u=j+n;else u=j;
    	 	sum=sum+a[j+i-1]*ans.messi[u];
		 }
		cout<<sum%m<<" ";
    }     
}