双调dp

算法导论第二版中文版217页思考题

欧几里得旅行商问题是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。如图（a）给出了一个7个点问题的解。

这个问题的一般形式是NP完全的，故其解需要

多于多项式的时间。J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至

最右点，然后严格地从右到左直至出发点。

下图(b)显示了

同样的7个点的最短双调路线。在这种情况下，多项式的算法是可能的。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

 图a            图b

注:在一个单位栅格上显示的平面上的七个点。 a)最短闭合路线,长度大约是24.89。这个路线不是双调的。b)相同点的集合上的最短双调闭合

路线。

长度大约是25.58。这是一个算导上的思考题15-1。

首先将给出的点排序，关键字x，重新编号，从左至右1，2，3，…，n。

定义dist[i][j]，表示结点i到结点j之间的距离。

定义dp[i][j]，表示从i连到1，再从1连到j，dp[i][j]就是从1到i节点和1到j节点的两个路径并包含了所有小于等于i节点的最短路

（注意，i>j，且并没有相连。）

 

对于任意一个点i来说，有两种连接方法，一种是如图（a）所示，i与i-1相连，另一种呢是如图（b），i与i-1不相连。

根据双调旅程，我们知道结点n一定与n - 1相连，那么，如果我们求的dp[n][n-1]，只需将其加上dist[n-1][n]就是最短双调闭合路线。

根据上图，很容易写出方程式：

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dist[i][i-1];

dp[i][i-1]=min(dp[i][i-1],dp[i-1][j]+dist[i][j]);

2014,百度之星资格赛B，首先明白不可能走到一个大的磁道然后去小的磁道然后再去大的磁道（因为如果是这样设这3个位i,j,k，列出不等式

可以知道按顺序访问肯定会更好），所以符合dp的条件

Disk Schedule

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1762    Accepted Submission(s): 224


Problem Description
有很多从磁盘读取数据的需求，包括顺序读取、随机读取。为了提高效率，需要人为安排磁盘读取。然而，在现实中，这种做法很复杂。我们考虑一个相对简单的场景。
磁盘有许多轨道，每个轨道有许多扇区，用于存储数据。当我们想在特定扇区来读取数据时，磁头需要跳转到特定的轨道、具体扇区进行读取操作。为了简单，我们假设磁头可以在某个轨道顺时针或逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是360个单位时间。磁头也可以随意移动到某个轨道进行读取，每跳转到一个相邻轨道的时间为400个单位时间，跳转前后磁头所在扇区位置不变。一次读取数据的时间为10个单位时间，读取前后磁头所在的扇区位置不变。磁头同时只能做一件事：跳转轨道，旋转或读取。
现在，需要在磁盘读取一组数据，假设每个轨道至多有一个读取请求，这个读取的扇区是轨道上分布在 0到359内的一个整数点扇区，即轨道的某个360等分点。磁头的起始点在0轨道0扇区，此时没有数据读取。在完成所有读取后，磁头需要回到0轨道0扇区的始点位置。请问完成给定的读取所需的最小时间。
 

Input
输入的第一行包含一个整数M（0<M<=100），表示测试数据的组数。
对于每组测试数据，第一行包含一个整数N（0<N<=1000），表示要读取的数据的数量。之后每行包含两个整数T和S（0<T<=1000，0<= S<360），表示每个数据的磁道和扇区，磁道是按升序排列，并且没有重复。
 

Output
对于每组测试数据，输出一个整数，表示完成全部读取所需的时间。
 

Sample Input
3
1
1 10
3
1 20
3 30
5 10
2
1 10
2 11
 

Sample Output
830
4090
1642
 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <map>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct{
    int  track;
    int  sector;
}a[1005];
int dist[1002][1002];
int dp[1002][1002];
void run()
{
    int t;
    int n;
    scanf("%d",&t);
    a[0].sector = a[0].track = 0;
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) scanf("%d%d" , &a[i].sector,&a[i].track);

        if(n == 1){
                if(a[1].track >= 180) a[1].track = 360 - a[1].track;
                printf("%d\n",a[1].sector*800 + 2*a[1].track + 10 );continue;}

        for(int i = 0 ; i <= n ; ++i)
            for(int j = 0  ; j <= i ; ++j){
                dist[i][j] = (a[i].sector - a[j].sector) * 400;
            if(fabs(a[i].track - a[j].track) < 180) dist[i][j] += fabs(a[i].track - a[j].track );
            else dist[i][j] +=360 - fabs(a[i].track - a[j].track);
            }

        
        dp[1][0] = dist[1][0];
        for(int i = 2; i <= n ; ++i){
            for(int j = 0; j < i - 1; ++j)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dist[i][i - 1] ;
            dp[i][i - 1] = INF;
            for(int j = 0 ; j < i - 1; ++j)
                dp[i][i - 1] = min(dp[i][i - 1], dp[i - 1][j] + dist[i][j]);
        }
       printf("%d\n",dp[n][n - 1] + 10 * n + dist[n][n - 1]);
    }
}
int main()
{
    run();
    return 0;
}