2014百度之星资格赛—— Xor Sum(01字典树)

XorSum游戏算法解析


Xor Sum

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Problem Description

Zeus 和 Prometheus 做了一个游戏,Prometheus 给 Zeus 一个集合,集合中包含了N个正整数,随后 Prometheus 将向 Zeus 发起M次询问,每次询问中包含一个正整数 S ,之后 Zeus 需要在集合当中找出一个正整数 K ,使得 K 与 S 的异或结果最大。Prometheus 为了让 Zeus 看到人类的伟大,随即同意 Zeus 可以向人类求助。你能证明人类的智慧么?
 

Input

输入包含若干组测试数据,每组测试数据包含若干行。 输入的第一行是一个整数T(T < 10),表示共有T组数据。 每组数据的第一行输入两个正整数N,M(<1=N,M<=100000),接下来一行,包含N个正整数,代表 Zeus 的获得的集合,之后M行,每行一个正整数S,代表 Prometheus 询问的正整数。所有正整数均不超过2^32。
 

Output

对于每组数据,首先需要输出单独一行”Case #?:”,其中问号处应填入当前的数据组数,组数从1开始计算。 对于每个询问,输出一个正整数K,使得K与S异或值最大。
 

Sample Input

3 2 
3 4 5 
5
4 1
4 6 5 6 
3
 

Sample Output

Case #1: 
Case #2: 
4
 
题解:把集合中的每一个数,都存放到深度为32的01字典树;左结点为0,右结点为1;然后询问数s取反与字典树中的存的数比   较找出最大异或数;
 对于任意非负整数x,可以沿着树根往下贪心找到y,使得a异或y最大,复杂度为树的深度。
下面为代码实现
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
typedef struct tire{
     __int64 w;                   //从根节点到该结点的
     struct tire *next[2];        //每个节点下面可能有2个数,0和1
}tree,*tiretree;          /* 字典树的存储结构 */
tiretree T;
void insert(__int64 a)     //把a的32位二进制码插入到字典树中
{
     int i;
     tiretree q,p;
     q=T;
     for(i=31;i>=0;i--)
     {
          if(!(a&1<<i))            //若为0就插入到第一个子结点,a的32位二进制码是按高位往地位从根节点到叶子结点存放的;
          {
               p=q->next[0];
               if(p==NULL)     //如果该二进制数应该在的位置为空,则将二进制数插入到该位置
               {
                    p=(tiretree)malloc(sizeof(tree));
                    p->next[0]=NULL;
                    p->next[1]=NULL;
                    if(i==0)                   //若a结点达到叶子节点,就把a存到叶子结点中;
                         p->w=a;
                    else
                         p->w=0;                //若为a的中间经过结点,则不赋值;即字典树中只有叶子结点有数字,其余结点都为0;
                    q->next[0]=p;
               }
               q=p;
          }
          else
          {
               p=q->next[1];       //若为1就插入到第二个子结点,
               if(p==NULL)
               {
                    p=(tiretree)malloc(sizeof(tree));
                    p->next[0]=NULL;
                    p->next[1]=NULL;
                    if(i==0)
                         p->w=a;
                    else
                         p->w=0;
                    q->next[1]=p;
               }
               q=q->next[1];       //如果该二进制应该在的位置不空,则继续比较下一个二进制
          }
     }
}
__int64 find(__int64 a)       // 对于任意非负整数x,可以沿着树根往下贪心找到y,使得a异或y最大,复杂度为树的深度。
{
     int i;
     tiretree q;
     q=T;
     for(i=31;i>=0;i--)
     {
          if(q->next[0]==NULL)
               q=q->next[1];
          else
               if(q->next[1]==NULL)
                    q=q->next[0];
               else
                    if((a&1<<i)==0)
                         q=q->next[0];
                    else
                         q=q->next[1];
     }
     return q->w;
}
int main()
{
     int n,i,p,TT,count=0;
     __int64 max,a,m,q;
     scanf("%d",&TT);
     while(TT--)
     {
          scanf("%d %d",&n,&p);
          delete(T);
          T=(tiretree)malloc(sizeof(tree));     //构造单个根结点
          T->next[0]=NULL;
          T->next[1]=NULL;
          T->w=0;
          max=0;
          for(i=0;i<n;i++)
          {
               scanf("%I64d",&a);
               insert(a);                //分别把集合中的每个数插入到树中
          }
          for(i=0;i<p;i++)
          {
               scanf("%I64d",&q);
               m=~q;                 //然后把要比较的数取反后,与字典树中存的数进行比较
               if(i==0)
                    printf("Case #%d:\n",++count);
               printf("%I64d\n",find(m));
          }
     }
     return 0;
}



内容概要:本文系统介绍了算术优化算法(AOA)的基本原理、核心思想及Python实现方法,并通过图像分割的实际案例展示了其应用价值。AOA是一种基于种群的元启发式算法,其核心思想来源于四则运算,利用乘除运算进行全局勘探,加减运算进行局部开发,通过数学优化器加速函数(MOA)和数学优化概率(MOP)动态控制搜索过程,在全局探索与局部开发之间实现平衡。文章详细解析了算法的初始化、勘探与开发阶段的更新策略,并提供了完整的Python代码实现,结合Rastrigin函数进行测试验证。进一步地,以Flask框架搭建前后端分离系统,将AOA应用于图像分割任务,展示了其在实际工程中的可行性与高效性。最后,通过收敛速度、寻优精度等指标评估算法性能,并提出自适应参数调整、模型优化和并行计算等改进策略。; 适合人群:具备一定Python编程基础和优化算法基础知识的高校学生、科研人员及工程技术人员,尤其适合从事人工智能、图像处理、智能优化等领域的从业者;; 使用场景及目标:①理解元启发式算法的设计思想与实现机制;②掌握AOA在函数优化、图像分割等实际问题中的建模与求解方法;③学习如何将优化算法集成到Web系统中实现工程化应用;④为算法性能评估与改进提供实践参考; 阅读建议:建议读者结合代码逐行调试,深入理解算法流程中MOA与MOP的作用机制,尝试在不同测试函数上运行算法以观察性能差异,并可进一步扩展图像分割模块,引入更复杂的预处理或后处理技术以提升分割效果。
<think>好的,我现在需要解决用户提出的关于两个异或和(xorsum1和xorsum2)相等的条件判断问题。用户想知道为什么xorsum1 ^ xorsum2 == 0可以用来判断它们是否相等。我需要仔细分析异或运算的性质,并结合用户提供的引用内容来给出清晰的解释。 首先,根据用户提供的引用,特别是引用[1]和引用[3],异或运算有几个重要性质。比如,相同数异或结果为0,不同则为1。另外,结合律和交换律在异或运算中是成立的。用户还提到在引用[1]中的Java代码,通过异或所有元素来找出出现奇数次的数,这说明异或运算可以抵消偶数次出现的元素,剩下奇数次的那个数。 接下来,我需要明确问题:为什么xorsum1 ^ xorsum2等于0时,两者相等?根据异或的定义,当两个位相同时结果为0,不同则为1。因此,如果两个数在所有位上都相同,异或结果就是0。换句话说,如果xorsum1和xorsum2的每一位都相等,那么它们的异或结果自然为0,这也就是它们相等的条件。 然后,我需要考虑用户可能的应用场景。比如,在数组中找到两个子数组的异或和相等的情况,或者比较两个数据流的异或校验值是否一致。这时候使用xorsum1 ^ xorsum2 ==0作为判断条件既高效又简洁,因为异或运算在计算机中执行速度快,且不需要复杂的比较操作。 另外,用户提供的引用[3]中提到异或运算可以模拟加法器的行为,这可能帮助理解异或的位操作特性。但回到当前问题,重点在于异或运算作为相等判断的条件。需要强调的是,异或结果为0意味着每一位都相同,因此整个数相等。 可能需要注意的例外情况是,如果xorsum1和xorsum2是不同数据类型或者存在溢出,但通常在这些情况下,编程语言会处理位级别的比较,因此异或结果依然有效。 最后,结合用户之前的代码示例,比如引用[1]中的Java代码,可以举例说明如何应用这个条件判断。例如,比较两个数组的异或和是否相等,可以直接对两个异或和进行异或操作,结果为0则相等,否则不等。 总结来说,用户需要理解异或运算的基本性质,特别是相同位为0的特性,从而明白为何异或结果为0时两个数相等。同时,提供实际应用的例子能帮助用户更好地掌握这一判断条件的原理和使用方法。</think>### 异或运算的相等判断原理 #### 核心条件判断逻辑 **若两个数 $A$ 和 $B$ 满足 $A = B$,则 $A \oplus B = 0$;反之若 $A \oplus B = 0$,则 $A = B$。** 这是由异或运算的**位级特性**决定的: - **按位异或定义**:对于每一位,当两数对应位相同时结果为 $0$,不同则为 $1$ - **全等性传递**:若所有位均相同,则异或结果为全 $0$,即 $0$ 的十进制表示 #### 数学证明 假设 $A = B$,则: $$ A \oplus B = A \oplus A = 0 $$ 反之,若 $A \oplus B = 0$,则: $$ A = A \oplus 0 = A \oplus (A \oplus B) = (A \oplus A) \oplus B = 0 \oplus B = B $$ #### 实际应用示例 在编程中常用于快速判断两组数据的异或和是否相等: ```python xorsum1 = 0b1010 # 十进制 10 xorsum2 = 0b1010 # 十进制 10 if xorsum1 ^ xorsum2 == 0: print("两组异或和相等") # 会执行此分支 ``` #### 特性总结表 | 特性 | 说明 | 应用场景 | |---------------|-------------------------------|---------------------------| | 自反性 | $a \oplus a = 0$ | 数据清零[^1] | | 可逆性 | $a \oplus b \oplus b = a$ | 简单加密/解密 | | 交换律/结合律 | $(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$ | 并行计算优化[^3] |
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