2^x mod n = 1（欧拉函数）

最新推荐文章于 2022-07-23 10:41:13 发布

rising_sun2233

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分类专栏： Nuist 刷题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u010017231/article/details/84800912

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本文探讨了在特定条件下寻找满足2^x mod n = 1的最小x值的方法。通过应用欧拉定理，我们遍历1到phi(n)，其中phi(n)为欧拉函数，以找到最小的x。文章提供了使用C++实现的快速幂和欧拉函数计算的代码。

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接着上一次的题解https://blog.youkuaiyun.com/u010017231/article/details/84679719继续写：

首先，介绍一下思路：

易知n==1或2时，一定不存在这样的x：当n为偶数时，bn + 1（b为整数）是奇数，而2^x是偶数，故 2^x mod n = 1不可能成立

欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，则：，其中phi(n)为欧拉函数，表示小于n的正整数中与n互素的数的个数。

于是，就可以从1~phi(n)遍历，找到最小的x

附上代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>

using namespace std;

long long n;
int p[100000];
long long qpow(long long a,long long k)//快速幂 
{
	long long ans=1,t=a;
	while(k>0)
	{
		ans%=n;
		if(k&1)
		{
			ans*=(t%n);
		}
		t%=n;
		t*=(t%n);
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
long long phi(long long k)
{
	long long res=1;
	for(long long i=2;i<=sqrt(k);i++)
	{
	    if(k%i==0)
		{    
	    	k/=i;
	        res*=(i-1);

	        while(k%i==0)
			{
	            k/=i;
	            res*=i;
	        }
	    }
	 }
	if(k>1) 
		res*=(k-1);
	
	return res;
}
int main()
{
    
    while(cin>>n)
    {
    	if(n%2==0||n==1)
    	{
    		printf("2^? mod %lld = 1\n",n);
    		continue;
    	}
    	

    
    	long long x=phi(n);
    	for(long long i=1;i<=x;i++) 
    		if(qpow(2,i)%n==1)
    		{
    			printf("2^%lld mod %lld = 1\n",i,n);
    			break;
    		}
    }
    return 0;
}

结果这种方法耗时竟然比之前的暴搜长，无语了