欧拉函数以及应用大全（通俗讲解）

前言：

下面我会详细介绍欧拉函数和应用，例题有难有易，我也会尽量说的清楚。例题难度我大概给一个评级，在 $1$ 到 $7$ 之间。

除特别标注的地方外，其余均为原创！

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介绍

欧拉函数： $\phi (n)$ 表示在 $[1,n]$ 之间与 $n$ 互质的数，$x$ 与 $n$ 互质指的是 $\gcd (x,n)=1$。

欧拉定理： 若 $\gcd (a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$。

证明：

图片转载处：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43627118/article/details/103357469

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求 $\phi (n)$（容斥）

首先我们要解决如何快速求欧拉函数。暴力做法时间复杂度过大，大部分题目都无法容忍，那么该怎么办呢？我们来讲讲怎样用容斥求欧拉函数。

例题 $1$（模板，难度 $3$）

题意

给定 $n$，求 $\phi (n)$。

$n\le 10^{12}$。

思路

转化一下题意：我们要求 $x$ 的数量，满足 $\gcd (x,n)=1$。（不懂见介绍）

$n$ 过大，我们无法用暴力解决。

我们要求 $x$ 的数量，满足 $\gcd (x,n)=1$。

将 $n$ 分解质因数后是 $p{1}^{r1}\times p{2}^{r2}\times p{3}^{r3}$，$p1,p2,p3$ 是不同的质数。可以发现，$p1,p2,p3$ 的倍数一定与 $n$ 不互质，我们要把这些数减去：

$$n-n÷p1-n÷p2-n÷p3$$

这个公式对了吗？不对！有数字被重复减去了！比如 $p1\times p2$，$n÷p1$ 减了一次，$n÷p2$ 也减了一次，一共减了两次，所以得加回来。同理，$p2\times p3$、$p1\times p3$ 也是如此。我们要把他们三个以及他们的倍数都加回来：

$$n-n÷p1-n÷p2-n÷p3+n÷(p1\times p2)+n÷(p2\times p3)+n÷(p1\times p3)$$

呼，这个公式对了吧？还是不对！你可否发现 $p1\times p2\times p3$ 这个数先是 $-3$，然后又是 $+3$，最后没减也没加！但是它肯定是不符合要求的，它的倍数也是如此，所以我们还要把它的倍数再全部减去：

$$n-n÷p1-n÷p2-n÷p3+n÷(p1\times p2)+n÷(p2\times p3)+n÷(p1\times p3)-n÷(p1\times p2\times p3)$$

这个公式对了吗？对了，终于对了，没有再多加少加的东西了。

下面，我们需要化简这个式子：

n − n ÷ p 1 − n ÷ p 2 − n ÷ p 3 + n ÷