HDU/HDOJ 1395 ACM浙大月赛 2^x mod n = 1

2^x mod n = 1

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Problem Description

Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1.

Input

One positive integer on each line, the value of n.

Output

If the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1.

Print 2^? mod n = 1 otherwise.

You should replace x and n with specific numbers.

Sample Input

2 5

Sample Output

2^? mod 2 = 1 2^4 mod 5 = 1

Author

MA, Xiao

Source

ZOJ Monthly, February 2003

做法要利用这样几个定理：

第一个是a^phi(m)%m=1

这个等式在m和a互质的时候一定成立

在这个题目中，因为a=2

所以m与a不互质，除非m为偶数

当然m=1的时候需要特殊处理下，这些都是小问题。

现在这个问题明了了，即在m为奇数(大于1)的时候一定有解。

那么就有人萌生了直接暴力的方法。当然对于这个题，直接暴力是可以的，我最先开始也是这样过的

但是今天重新做了一下这个题我仔细的思考了一下，发现果然有更加巧妙的方法来解决该类问题。

首先说暴力的缺点吧，大多数情况暴力其实还是非常快的，但是如果当m为一个非常大的质数，那么问题就严重了。因为质数的欧拉函数就是质数-1

那么也就是说，最坏情况下，我们可能要枚举很多次才能找到一个解

那么更为高效的方法是：把m的欧拉函数值，假设值为phi进行质因数分解

然后依次枚举phi的每一个因子，同时判断这个因子x是否满足2^x%m==1，不断更新一个最小值，最后得到答案。

那么为什么这样做就是对的呢？

首先需要知道：

a^x%m==1满足这个方程的最小x称为a对模m的指数。我们记做ordm(a)，如果ordm(a)==phi(m)则我们称a为模m的原根

有：a^X%m==1 <-===-> ordm(a)整除X

根据以上所说：a^phi(m)=1成立，那么phi(m)%ordm(a)==0也是成立的

所以ordm(a)就是phi的一个因子

所以分解phi然后枚举phi的因子的做法是正确的（恩，是有科学依据的。。哈哈）

我的代码：

#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> #include<iostream> #define inf 99999999 #define maxn 1000000 using namespace std; typedef __int64 ll; bool flag[maxn]; ll prime[maxn]; void init() { ll i,j,num=0; for(i=2;i<maxn;i++) { if(!flag[i]) { prime[num++]=i; for(j=i*i;j<maxn;j=j+i) flag[j]=true; } } } ll eular(ll n) { ll i,res=1; for(i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { res=res*(i-1); n=n/i; while(n%i==0) { res=res*i; n=n/i; } } if(n==1) break; } if(n>1) res=res*(n-1); return res; } ll exmod(ll a,ll b,ll n) { ll ret=1; for(;b;b>>=1,a=a*a%n) if(b&1) ret=ret*a%n; return ret; } ll solve(ll n,ll fac[]) { ll i,num=0; for(i=0;prime[i]*prime[i]<=n;i++) { if(n%prime[i]==0) { n=n/prime[i]; fac[num++]=prime[i]; while(n%prime[i]==0) { n=n/prime[i]; fac[num++]=prime[i]; } } if(n==1) break; } if(n>1) fac[num++]=n; return num; } void getans(ll n,ll mod) { ll fac[100],num,ans=n,i; bool loop=true; while(loop) { loop=false; num=solve(n,fac); for(i=0;i<num;i++) { if(exmod(2,n/fac[i],mod)==1) { loop=true; if(n/fac[i]<ans) ans=n/fac[i]; } } n=ans; } printf("2^%I64d mod %I64d = 1\n",ans,mod); } int main() { ll n,phi; init(); while(scanf("%I64d",&n)!=EOF) { if(n%2==0||n==1) { printf("2^? mod %I64d = 1\n",n); continue; } phi=eular(n); getans(phi,n); } return 0; }