我们每个人的脑袋都擅长数学吗？学不明白是咋回事？

什么是数学思维？数学思维是一种通过抽象、逻辑推理和模式识别，将复杂问题分解并系统化，从而高效解决问题和做出理性决策的思考方式。在人工智能时代，抽象思维、分析能力和决策力已成为无可替代的竞争力。

数学思维的重要性已经毋庸置疑，那么如何用一本书让即便是数学基础不好的人也能学会数学思维呢？阿尔伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）的这本《人人都用得上的数学：生活和工作中的数学思维》就做到了这点，这本书不讲公式，生动的比喻和案例让数学思维变得直观有趣，帮你从“思维混乱”走向“头脑清晰”。

应该说，数学家更擅长可视化，爱因斯坦将自己的成功归结于这项技能：“我的特殊才能不在计算，而在于对效果、可能性和后果的可视化想象。”这篇文章，就是告诉我们如何用数学家的方式去思考。

来源 | 《人人都用得上的数学：生活和工作中的数学思维》

作者：[美] 阿尔伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

作者 | 谈天星

如果你曾与体操运动员、钢琴演奏家或其他任何精英级别的表演者打过交道，那你或许见识过他们对表演进行的想象训练：想象表演的每一个步骤，试图想象自己完美地进行表演。你可能会疑惑，他们为何如此，为什么不是花时间练习跳跃或音阶。这是因为他们知道一个数学家也深谙的道理：可视化是一种强大的工具。

数学家擅长可视化。爱因斯坦将自己的成功归结于这项技能：“我的特殊才能不在计算，而在于对效果、可能性和后果的可视化想象。”可视化对人类举足轻重，这是有道理的。灵长类动物（包括人类）的大脑约有 30% 用于视觉处理。难怪我们是如此视觉化的生物。

研究人员已经确定了可视化的五个步骤：内化、识别、比较、联系和分享。对此，我们将逐一分析，并探讨如何锻炼这些技能，从而将可视化融入你的生活。内化是指在头脑中理解事物。

这是理解问题，尤其是理解复杂问题的第一步。假设你正在尝试做一件大多数人都会觉得具有挑战性的事情：为一次长途旅行将行李装车。那些能将所有行李都塞进后备箱的人并不是魔术师，他们只是擅长内化空间问题。

在将若干行李箱和包裹装进后备箱之前，人们首先需要花时间来内化这个问题。他们可能会问自己：有多少个大行李箱？有哪些形状不规则的物品需要放进去？是否有一些空间可以利用，比如后座下面刚好可以容纳某些物品？将装有易碎物品的袋子放在哪里，才能保护它不被压坏？

有技巧的打包者会在装车之前花时间在头脑中想象这些问题的答案，在头脑中对物品进行安排。

你观察一下这类人的行动，就会发现他们很少需要反复打包，重新装车。他们对于把东西放在哪里是有策略的，他们可以将所有物品都稳稳当当地装进去。这是因为他们花时间内化了这个问题，并且有解决问题的计划。可视化的识别阶段涉及识别或创建一个可能对你有帮助的图像或模型。

青少年学生学习这样做，是为了帮助自己解决数学问题。在美国，许多老师采用了一种名为“读、画、写”（Read, Draw, Write ，简称为 RDW）的策略，该策略要求学生借助模型或图像来解决文字问题。他们需要阅读题目，画出模型，然后用一句话写出答案。

RDW 策略的制定并不是为了折磨孩子或那些试图辅导孩子做作业的家长。相反，它的基础是有关可视化（尤其是绘图行为）如何增强对问题的理解和记忆的研究。创建模型的过程可以让人更好地理解问题。

有时，我们会遇到一些需要借助画图来解决的问题。假设你要为一场大型派对或宴会安排座位。你可能会想画出桌椅的安排，来帮助自己找到最佳布局。这是四年级的数学课程中经常出现的问题——带余除法。这类问题颇具挑战性，老师通常会鼓励学生画出相关场景或数学模型，从而帮助自己解决问题。

我们再举另一个现实生活中的例子，来看看建模是如何帮助你理解问题的。如果你曾在宜家购物，那你或许使用过他们的在线设计工具。你可以借助这一工具绘制出房间布局，看看家具（比如橱柜）该如何摆放。

这种软件有助于你对整体布局的理解。没有它（不确定你所需要的布局），你就会盲目行事。当然，你可以在脑海中构想出你的橱柜需求，也可以进行测量，但建模能够更好地帮你做决策。这类软件之所以存在，是因为工程师知道建模或绘图有多重要。

想象一下，如果没有规划好橱柜是否真的合适，就订购一整套新橱柜，那你可能要冒着花几千美元买的橱柜最终只能退回的风险！

识别的下一步是比较，这一步至关重要，但我们总在时间紧迫时将其忽略。回想一下那些橱柜。假设现在离感恩节还有一个月，你想在亲戚到访之前使厨房焕然一新。你可能会用到厨房设计工具，然后匆忙订购一批新橱柜，却没有停下来将你的模型与其他可能的模型进行比较。也许三个月后，你会意识到，如果将其中一个橱柜换成另一种，或者将嵌入式水槽换成台下水槽，你的厨房布局可能会更好。为了节省时间，你跳过了思考和比较的环节。

比较与联系密切相关。甚至有一种教学模式就叫“比较与联系”，学生们会观察两张图或两个问题，并批判性地思考其异同。这类教学的目的是“培养学生在识别、比较和对比不同的数学方法、表述方式、概念、实例和语言方面的元认知”。老师可能会展示两个或更多模型（通常是由学生自己创建的），并要求全班同学对这些模型进行比较，找出它们之间的联系。

还有一种类似的数学模式叫“同中有异”，学生们会对两张图进行比较。图 15.1 中是一个学前班或幼儿园阶段的例子。

在本例中，还在学习数数和识别物体类别的小朋友可能会注意到，图中上下两排都有 6 颗爱心（对很多 5 岁的小朋友来说，能够准确数数就已经很棒了）。

他们可能会说，下面一排爱心更长。这可能会引发关于“更长的一排”是什么意思的讨论。这是否意味着数量更多？两排都有 6 颗爱心，为什么其中一排看起来更长？这对小朋友来说是非常有意义的学习。图 15.2 中是一个可能会在几何课上见到的“同中有异”的例子。

首先你可能会注意到，这两个物体都是几何图形，但一个是浅灰色，另一个是深灰色。继续观察，你会发现更多不同。一个是圆锥，另一个是圆柱。圆锥有一个圆形底面，而圆柱有两个圆形底面（底部和顶部都可以称作底面）。

你可能会思考如何比较这两个形状的体积或表面积。你可能会好奇圆柱能否比圆锥装下更多液体，以及多装多少。短短几分钟之内，通过对这两张图进行比较和对照，你就思考了涉及空间推理的深层数学概念。你还使用了专业术语来表达你的想法。

这就为我们引出了可视化的最后一步：分享。用语言描述你脑海中的内容可以使其更清晰。回想一下关于用数学语言描述与表达的那一章，请记住，交谈是一种思考形式，还能让其他人了解你的想法，并且从中学习。

我们来回顾一下改造厨房的场景。如果你花时间比较一下你可能会选择的不同厨房布局，并加以联系，就会得到理想的厨房。现在想象一下，你要向家人描述或展示这一厨房布局。在描述厨房岛台的位置时，你可能会发现自己量错了某处大小，想再检查一下。

你的家人可能会指出，你忘记给锅盖留位置了。如果你没有分享过自己的计划，那你大概不会意识到这一点。你不仅是在检查自己的工作，也是在帮助家人了解规划新厨房的过程，以备他们将来会有这类需求。

我们看了几个例子，了解了可视化是如何在日常生活中帮助你的，其中包括空间问题——如何将行李装入汽车、如何布置新厨房。但可视化可以帮你解决的远不止空间问题，它还能帮助你规划未来，并为可能遇到的问题做好准备。

正如“如果—那么”思维和习惯叠加可以成为强有力的工具一样，心理学家和神经科学家也认识到了可视化的强大力量。美国拳击运动员穆罕默德·阿里（Muhammad Ali）有句名言：“如果我的头脑能够构想它，我的内心能够相信它，那么我就能实现它。”

运动员会借助可视化来减轻比赛时的焦虑，提高比赛成绩。音乐家有时会在脑海中回顾如何演奏一首乐曲，想象着演奏过程中完美的指位。研究表明，将你想要达成的目标可视化（比如一次完美的网球挥拍，或是一场完美的协奏曲演奏）可以带来更好的表现。只要大脑能够“看到”它，就更有可能实现它。

这似乎是一种技巧，可视化怎么就能让你把这件事做得更好呢？经过反复验证，它确实有效！最近的一项研究考察了一个小例子：只依靠可视化小指练习，能否让一组研究参与者的小指力量得到提升？

研究证明，那些进行小指“心理收缩”训练的人的确获得了肌肉力量的提升。他们的增益虽然比不上真正进行小指训练的参与者，但与没有进行心理或身体训练的对照组相比，他们明显获得了更多提升。研究结论称：“本研究采用的心理训练增强了大脑皮层的输出信号，该信号促使肌肉达到了更高的激活水平，增加了力量。”

这告诉我们，可视化是可以经常练习的，也应该如此。不仅是精英运动员和音乐家，任何人都可以从可视化中受益。预约好牙医后，你心里是不是有点儿慌？想象一下，你平静地坐在椅子上，丝毫不受口中的钻头影响。

你计划与领导进行一场艰难的对话？想象一下，你从容地走进领导的办公室，衣着整洁，满怀信心地应对这场对话。这些可视化练习不仅有助于缓解你的紧张情绪，而且极有可能让事情朝着你希望的方向发展。

我们之前讨论过的五个可视化步骤对于处理复杂问题十分有用。也许你并不知道要和领导说些什么，但你知道，必须得和他谈一谈。首先，试着思考一下，你希望这次对话是怎样的？你想要讨论的主要问题是什么？你希望给对方留下怎样的印象？哪些要点能强化你的立场？然后“模拟”这次对话。

这可能意味着要和朋友进行模拟对话，或者把你想说的话写下来。将其与你可以采用的其他策略或论点进行比较，并与你之前和领导进行过的对话联系起来。这样能帮助你发现可能遗漏的要点，或者为领导可能提出的论点做好反驳的准备。

最后，向他人分享你的计划。“分享”会让这一计划在你脑海中更加清晰，还能让你有机会听取反馈意见。在得到反馈后，根据需要尽可能多次重复这一过程。现在，你应该可以准备好和领导谈话了。

还有一套流程也能帮你实现你在生活中的期待，那就是制作愿景板。愿景板通常用于描绘你所期望的未来几年的生活，它可以涵盖可视化的五个步骤。

首先，内化你对生活的期望。然后，识别这些方面在你的生活中可能是怎样的。找到能够代表你脑海中想法的图片。

接着，将这些图片进行比较和联系。是否还有其他图片也适用？这些图片有什么共同点？它们揭示了这些目标的哪些方面？

最后，将愿景板分享出来，你可以和自己分享（把它放在你时常能够看到的地方），也可以与朋友分享。这样可以帮你将其牢记于心。

了解完可视化的益处，你就真正踏上了像数学家那样思考的道路。我们还有最后一项技能有待讨论：猜测与估算。

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《人人都用得上的数学：生活和工作中的数学思维》

作者：[美] 阿尔伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

译者：谈天星

文科生也能掌握的数学思维入门宝典！

1.提升核心思维能力：数学思维是一种通过抽象、逻辑推理和模式识别，将复杂问题分解并系统化，从而高效解决问题和做出理性决策的思考方式。

2.与生活紧密相关：本书介绍了“系统性思维”“批判性思维”“模式识别”等实用策略，教你运用概率统计、逻辑推理等数学工具，在生活中做出更理性的选择。

3.文科生也能轻松掌握：本书不讲公式，生动的比喻和案例让数学思维变得直观有趣，帮你从“思维混乱”走向“头脑清晰”。