春晚魔术中的数学知识

蛇年春晚刘谦魔术又和大家普及了一下编程中的冒泡排序法，思考深入一点，它还涉及到群论和组合数学中的一些知识。

游戏规则和操作步骤，任意打乱三种餐具作为初始状态：

1.筷子和左边的东西互换，如果筷子就在左边，则操作为空。

2.杯子和右边的东西互换，如果杯子就在右边，则操作为空。

3.勺子和左边的东西互换,   如果勺子就在左边，则操作为空。

对应S3置换群中的排列，无论那种初始状态，经过以上三步后，都会导致杯子转移到右手边，有六分之一的概率将筷子转移到左手边：

过滤调中间步骤，只专注于初态和末态，则：

杯子要么在最左边，要么不在最左边，本质上，上述三条规则使用杯子在最左边的情况下右移两次，而杯子不再最左边的情况下右移一次或者0次。

透彻理解这个过程需要用到群论的知识，魔术中的关键动作通常是简单操作的组合，这些操作可视为群的生成元，通过组合生成元，魔术师可构造复杂的置换，例如规则对应S3置换群中的三种操作：

对应扑通向下和两个互换的鬼脚图

过程相当于冒泡排序法，冒泡排序法通过不断交换相邻的元素，根据预先设定的结构（操作步骤）总能使给定元素位置跑到两端。

S3的六种置换经过上述步骤操作后，只得到两种置换：

它恰好是S3群中的两个操作，不变操作和交换相邻数字的操作，这两个操作构成一个群，它是S3的2阶子群，对应C2二阶循环群，满足四条群公理：

所以根据制定的规则，无论初始状态是什么，最终总会掉入C2群中两种状态的一个，在两个操作下，杯子都是保持不动的，而群操作对群中的元素是封闭的，所以无论如何，总会得到杯子在右边的状态。

操作结果为S3置换群中的二阶子群(e, f).

为什么三步操作不能生成S3对陈群呢?

上面总结出来的五种操作中，包含S3整个置换群的生成元，但是为何经过操作后，我们得到只有C2循环群呢？

原因很简单，因为规则是不对称的，根据三条操作规则，你无法把生成元应用在任何一种状态上，造成了结果是C2群。

比如为和勺子和筷子的状体不对称呢？就是因为规则3后于规则1执行，导致勺子在中间的情况下，可以和筷子进行交换。

总结

当我们制定了描述操作的规则的时候，就已经确定了问题的结构，这有点像是当我们写下一个一元多项式函数的时候，就已经确定了这个函数根的置换结构，由确定的结构可以引发确定的状态。

通过群论分析，魔术不再是“魔法”，而是一场精心设计的数学之舞。

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结束