信号积分变换的公式推导以及几个例子

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#概率论 #算法 #微积分

于 2021-02-09 15:40:08 首次发布

如果一个以T为周期的函数f(x)在

\bigg[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\bigg]

上满足狄利克雷条件，即:

1.除去有限个第一类间断点外，处处连续

2.分段单调，单调区间的个数有限

则f(x)的fourier级数表示为：

f(t)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]

在

\bigg[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\bigg]

上处处收敛，且在f(x)的连续点处收敛于f(t), 其中，

\omega_0 =\frac{2\pi}{T}

为基波频率。对上式两边求积分：

\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg) dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_0}{2}dt\\=\frac{a_0}{2}\cdot T

所以:

a_0=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt

对于\\ (m=1,2,3,\cdots)

\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(m\omega_0t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg)cos(m\omega_0t) dt\\=0+a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}cos^2(n\omega_0t)dt=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1+cos(2n\omega_0t)}{2}dt=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt +a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{2}dt\\=a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt +a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{4n\omega_0}d(2n\omega_0 t)=\frac{a_n}{2}\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}+\frac{a_n}{4n\omega_0}sin(2n\omega_0t)\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\=a_n\cdot \frac{T}{2}+0

所以:

\\a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)

\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(m\omega_0t)dt=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\bigg(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0t)\bigg]\bigg)sin(m\omega_0t) dt\\=0+b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}sin^2(n\omega_0t)dt=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1-cos(2n\omega_0t)}{2}dt=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt -b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{2}dt\\=b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{1}{2}dt - b_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{cos(2n\omega_0 t)}{4n\omega_0}d(2n\omega_0 t)=\frac{b_n}{2}\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}-\frac{b_n}{4n\omega_0}sin(2n\omega_0t)\bigg|_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\\=b_n\cdot \frac{T}{2}+0

所以：

\\b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)

综上：

a_0=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt

\\a_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)

\\b_n=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega_0 t)dt \quad(n=1,2, 3,\cdots)

在电子通信领域，常常利用欧拉公式：

cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}

sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}

所以：

\\f(t)\approx \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[a_ncos(n\omega_0t) + b_nsin(n\omega_0 t)\bigg]\\=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n}{2}(e^{in\omega_0 t}+e^{-in\omega_0 t})-i\cdot \frac{b_n}{2}(e^{in\omega_0 t}-e^{-in\omega_0 t})\bigg]\\=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega_0 t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega_0 t}\bigg]

令：

c_0=\frac{a_0}{2}

c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}

c_{-n}=\frac{a_n+ib_n}{2}

得到fourier级数的复指数形式：

\\f(t)\approx\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg[ \frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega_0 t}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega_0 t}\bigg]\\= c_0+\sum_{n=1}^{\infty }\bigg(c_ne^{in\omega_0 t} + c_{-n}e^{-in\omega_0 t}\bigg)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega_0 t}

从公式中看出，时域信号可以看成是复指数周期基波信号

y(t)=e^{i\omega_0t}

以及其倍频信号：

y_n(t)=e^{in\omega_0t}

的线性组合。根据欧拉定理，基波复信号可以分解成实步的余弦信号和虚部的正弦信号，由于正弦信号是奇函数，在整数范围内的累加互相抵消为0，只剩下了余弦信号：

每一个高次谐波信号对T来说都是周期的，因此，一个由成谐波关系的复指数信号的现行组合形成的信号f(t)对T来说也是周期的。上式f(t)称为周期信号的傅立叶级数表述，这里面的组合系数为：

C_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)dt

\\C_n=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{T}\bigg[\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)cos(n\omega_0 t)dt-i\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)sin(n\omega _0 t)dt\bigg] \\=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)\bigg[cos(n\omega_0 t)-isin(n\omega_0 t)\bigg]dt=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n=1,2, 3, \cdots)

同理:

C_{-n}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{in\omega_0 t}dt \quad (n=1,2, 3, \cdots)

上面的C_0, C_{-n},C_n写为统一的形式为：

C_{n}=\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n=0,\pm1,\pm2, \pm3, \cdots)

令

\omega _n=n\omega_0 \quad (n=0,\pm1,\pm2, \pm3, \cdots)

则综合上面各式，可得:

\mathbf{f(t)\approx\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty }^{\infty}\bigg[ \int^{\frac{T}{2}}_{-\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\omega _nt}dt\bigg]e^{i\omega _n t}}

拆分后得到傅里叶级数形式：

\\\mathbf{ F(n )=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \quad (n \in Z)}

\\\mathbf{f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{in\omega_0 t}\quad (n \in Z)}

傅里叶级数推导出非周期信号的傅里叶变换：

\\f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty }F(n)\cdot e^{in\omega_0 t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}

当T\rightarrow \infty时，周期信号变为非周期信号,由于\omega_0 =\frac{2\pi}{T}，　傅里叶级数为：

\\ \lim_{T \to \infty }f(t)=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{\omega_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\cdot \omega_0

当T\rightarrow \infty时候，\Delta \omega =n\omega_0 - (n-1)\omega_0=\omega_0\rightarrow 0

根据微积分的微元法，外面的累加可以看成求底边为\omega_0,高为

\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}

的图形的面积：

\\ \lim_{T \to \infty }f(t)=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{\omega_0}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\\=\lim_{T \to \infty }\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty }\bigg[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt\bigg]\cdot e^{in\omega_0 t}\cdot \omega_0\\=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\bigg[\int_{-\infty }^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\bigg]e^{i\omega t}d\omega \qquad (-\infty<\omega< \infty )

所以：

F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \qquad (-\infty<\omega< \infty )

f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega \qquad (-\infty<\omega< \infty )

一个例子从傅里叶级数到傅里叶变换：

此函数的解析式是：

f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \qquad x>-\frac{T}{2}\ and \ x < -\tau \\ 1 \qquad \ \ x >-\tau \ and \ x < \tau\\ 0 \qquad \ \ \ \ x > \tau \ and \ x < \frac{T}{2} \end{matrix}\right.

\\ a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx =\frac{1}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot dx = \frac{1}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot dx\\=\frac{1}{T}\bigg|^{\tau}_{-\tau}=\frac{2\tau}{T}

\\ b_n =0

\\ a_n =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{-\frac{T}{2}}f(x)cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)dx=\frac{2}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)dx \\=\frac{T}{2n\pi}\cdot \frac{2}{T}\int_{-\tau}^{\tau}1\cdot cos(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)d(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)=\frac{1}{n\pi}sin(n\cdot \frac{2\pi}{T}\cdot x)\bigg|_{-\tau}^{\tau}=\frac{2sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}

函数图形为：

 python代码：


# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Feb  1 13:57:21 2021
@author: czl
"""
from pylab import *
 
x = mgrid[-20:20:0.01]
 
def fourier_wave():
    a0 = 3/16
    s=a0
    
    for n in range(1,1000,1):
        bn = 0
        an = 2*sin((2*n*pi*1.5/16))/(n*pi)
        s0 = an*cos(n*x*(2*pi/16))+bn*sin(n*x*(2*pi/16))
        s=s+s0
        
    plot(x,s,'orange',linewidth=0.6)
    title('fourier_transform')
    show()    
 
fourier_wave()

复指数形式的傅里叶变换系数如下，这里的负频率的意义是单位圆的旋转方向，并不是普通意义上“负”的概念。

f(n\omega_0)=\frac{a_n-ib_n}{2}=\frac{a_n}{2}=\frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}

f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=\frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{n\pi}

密度谱：

 T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(\frac{2n\pi \tau}{T})}{\frac{2n\pi\tau}{T}}

\omega_0=\frac{2\pi}{T} \ \ \omega =n\omega_0

当T->\infty  时:

F(\omega)=T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(\omega\tau)}{\omega\tau}

F(n)=T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(n\omega_0\tau)}{n\omega_0\tau}=2\tau \cdot \frac{sin(n\frac{2\pi\tau}{T})}{n\frac{2\pi\tau}{T}}=2\tau \cdot \frac{sin(n\cdot \pi\cdot s)}{n\cdot \pi\cdot s}

下图表示的就是当T->\infty时，信号代表的频谱密度。

F(n)=T\cdot f(n\cdot \frac{2\pi}{T})=2\tau \cdot \frac{sin(n\omega_0\tau)}{n\omega_0\tau}=2\tau \cdot \frac{sin(n\frac{2\pi\tau}{T})}{n\frac{2\pi\tau}{T}}=2\tau \cdot \frac{sin(n\cdot \pi\cdot s)}{n\cdot \pi\cdot s}

可以这样理解，当周期无穷大的时候，tau有限，时域里对应白噪声，频域则是一条频率分量相同的直线，平行于X轴，而周期有限的时候，对应频域的值逐渐离散化。

数字电路中的时钟信号时域波形和上图非常相似，它的频谱密度图说明了一个问题，周期性的信号是窄带频谱,长尾明显，但是特定的频率的幅值会很高,这对认证测试来说非常的不利。而一般时钟信号都是周期信号,这在电路中是少不了的。有没有什么办法,改造下时钟的频谱,同时又不影响功能呢?

几类特殊信号的频谱：

1.冲击函数：

冲击函数用\delta(t) 表示，它的傅立叶变换为：

F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-i\omega t}dt =e^{-i\omega 0} =1\qquad

也就是说，冲击函数的频谱是常数1,这意味着，冲击函数包含所有的频率分量，各频率分量的频谱密度相等。这个结果可以由矩形脉冲取极限得到，当脉冲宽度变窄时，其频谱必然展宽：

时域和频域是对偶的，所以，时域内的直流信号的傅立叶变换必然是频域的冲击函数。

数字时钟的频率和带宽：

数字电路中，占空比为1/2的时钟信号，当其HZ频率增加时，并不会改变频谱，所以其信息量并没有变化，并不会导致调制带宽的增加。

结束！
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傅里叶函数公式推导
03-22
<think>嗯，用户让我介绍一下傅里叶函数公式的推导。我需要先回忆一下傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念。首先，傅里叶级数是将周期函数分解为正弦和余弦函数的线性组合，而傅里叶变换则是处理非周期函数的扩展。用户可能对这两个部分都感兴趣，但可能需要从基础开始讲起。 首先，我应该从傅里叶级数开始。傅里叶级数的基本思想是任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的和。那推导过程应该包括如何找到这些系数，也就是$a_0$, $a_n$, $b_n$。这部分需要用到正交函数的积分性质，比如正弦和余弦函数在整数倍频率下的正交性。 接下来，可能需要解释周期为$2\pi$的情况，然后推广到任意周期。推导系数的时候，用户可能对积分的过程不太熟悉，所以需要分步骤说明，比如如何通过积分两边来求解$a_0$，然后乘以$\cos(mx)$或$\sin(mx)$来求解$a_n$和$b_n$。这里需要注意正交性，积分后大部分项会消失，只剩下需要的系数项。 然后，可能需要提到傅里叶级数的复数形式，使用欧拉公式将正弦和余弦转化为指数形式，这样可以得到更简洁的表达式。这部分需要推导复数系数的表达式，并说明其与实数形式的关系。 接下来，傅里叶变换作为傅里叶级数的推广，当周期趋近于无穷大时，如何处理非周期函数。这里需要引入连续频率的概念，将求和转化为积分，并推导出傅里叶变换对，即正变换和逆变换的公式。可能需要强调傅里叶变换将时域信号转换到频域，分析频率成分。 用户可能对应用和意义感兴趣，所以在推导过程中应该穿插一些解释，比如分解为频率成分的意义，正交基函数的作用，以及傅里叶分析在信号处理等领域的应用。同时，需要注意数学推导的正确性，比如积分的正确使用，狄利克雷条件的提及，确保函数满足展开的条件。 另外，用户可能希望看到具体的步骤和例子，但问题主要是推导过程，所以例子可能不需要太详细，但关键步骤必须清晰。需要检查LaTeX格式是否正确，所有数学表达式都使用正确的定界符，行内用$...$，独立公式用$$...$$，并且公式单独成段。 还要注意使用中文回答，结构清晰，分步骤说明。可能需要将内容分为几个部分，比如周期函数的傅里叶级数推导，复数形式的转换，傅里叶变换的推导，以及总结应用意义。同时，确保每个步骤的逻辑连贯，用户能够跟上推导的思路。 在推导系数时，可能需要先处理$a_0$，因为它代表直流分量，然后是$a_n$和$b_n$的正交积分。这里需要明确积分区间和正交性的应用，比如$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx)dx$在$n \neq m$时为零。这部分可能需要详细展开，因为这是系数求解的关键。 对于傅里叶变换，需要从傅里叶级数的复数形式出发，将周期$T$趋向于无穷大，导致离散频率变为连续频率，求和变为积分。这里可能需要替换变量，比如将$n\omega_0$变为连续变量$\omega$，并调整系数，得到傅里叶变换的正反公式。 最后，检查是否有错误，比如公式是否正确，步骤是否合理，是否覆盖了用户的问题，即傅里叶函数的公式推导，包括级数和变换。确保回答结构清晰，逐步推进，帮助用户理解整个过程。</think>### 傅里叶函数公式推导详解 傅里叶分析的核心是将复杂信号分解为简单正弦/余弦（或指数）函数的叠加。我们从**傅里叶级数**（周期函数）开始，再推广到**傅里叶变换**（非周期函数）。 --- #### 一、傅里叶级数（周期函数） **目标**：将周期为$T=2\pi$的函数$f(x)$分解为： $$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$ ##### 步骤1：求$a_0$（直流分量） 对等式两边在$[-\pi, \pi]$积分： $$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 dx + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx + b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx \right) $$ 由于$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) dx = 0$和$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx) dx = 0$，得： $$ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx $$ ##### 步骤2：求$a_n$（余弦项系数） 两边乘以$\cos(mx)$并积分，利用正交性： $$ \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx) dx = a_0 \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) dx + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx) dx + b_n \int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\cos(mx) dx \right) $$ 仅当$n=m$时，$\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx) dx = \pi$，其余项为0。解得： $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) dx $$ ##### 步骤3：求$b_n$（正弦项系数） 类似地，两边乘以$\sin(mx)$并积分，得： $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) dx $$ --- #### 二、复数形式的傅里叶级数 利用欧拉公式$\cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2}$和$\sin(nx) = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}$，可将级数改写为： $$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx} $$ 其中系数： $$ c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx $$ --- #### 三、傅里叶变换（非周期函数） 当周期$T \to \infty$，离散频率$n\omega_0$变为连续变量$\omega$，求和转为积分。 ##### 推导过程： 1. **从级数到积分**：设$T \to \infty$，$\omega_0 = \frac{2\pi}{T} \to 0$，令$\omega = n\omega_0$，则： $$ f(x) = \lim_{T \to \infty} \sum_{n=-\infty}^\infty \left[ \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-in\omega_0 t} dt \right] e^{in\omega_0 x} $$ 2. **替换变量**：定义$F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} dt$，则： $$ f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega x} d\omega $$ 3. **傅里叶变换对**： - **正变换**：$F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} dt$ - **逆变换**：$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}
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