[欧拉函数]51nod 1040 最大公约数之和题解

最新推荐文章于 2022-08-21 18:39:33 发布

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本文介绍了一种求解∑i=1n gcd(i,n)的方法，通过将问题转化为对n的因数进行分类讨论，并利用欧拉函数简化计算过程。最终提供了一个O(√n)时间复杂度的C++实现。

（传送门）

题目大意

求 $\sum_{i=1}^{n}\ gcd(i,n)$

解题分析

注意，所有gcd(x,n)最后都是n的因数。所以可以对因数分类，设 $f (i)$ 为 $g c d (x, n) = = i 且 i < n$ 的正整数x，则
$ans=\sum\ i*f[i]|i为n的因数$

如果 $g c d (x, n) = i$ ，则 $g c d (x / i, n / i) = 1$ ，gcd()=1就想到了欧拉函数，所以最后 $f[i]=\varphi(n/i)$

复杂度：
时间： $O(\sqrt{n})$ ；
空间： $O (1)$ ；

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
int n,S,p[10005];
LL ans;
int getp(int x){
	int sum=x; for (int i=2,S=sqrt(x);i<=S;i++) if (x%i==0) {sum=sum/i*(i-1); while (x%i==0) x/=i;}
	if (x>1) sum=sum/x*(x-1); return sum;
}
int main()
{
	freopen("gcda.in","r",stdin);
	freopen("gcda.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n); S=sqrt(n); ans=0;
	for (int i=1;i<=S;i++)
		if (n%i==0){
			int t=n/i;ans+=(LL)i*getp(t);
			if (i!=t) ans+=(LL)t*getp(i);
		}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}