51nod 1040 最大公约数之和

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#函数 #gcd

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本文介绍了一道关于欧拉函数的应用题，通过将问题转化为求解特定形式的欧拉函数值，利用数学方法解决了计数问题。代码示例展示了如何高效地计算欧拉函数，并给出了完整的解答。

这里写图片描述

题解

这题是欧拉函数的经典题。欧拉函数φ(p)表示的是与p互质的数的个数（包括1）。这和本题好像没有什么关系，这是就需要我们来转化了。gcd(n, i) = x(x为这个因子)的个数，可以表示成gcd(n / x, i / x) = 1的个数，这就是典型的求解n/x的因子个数的题目了，只要我们单个求解φ(n/x)就好了。
欧拉函数相关知识

代码如下：

#include<cstdio>
#include<string>
using namespace std;
int n;
long long ans;
long long get_sum(int num){
    long long ret=1ll*num; int x=num;
    for (int i=2;i*i<=num;i++)
    if (x%i==0) {
        ret=ret*1ll*(i-1)/i;
        while (x%i==0) x=x/i;
    }
    if (x>1) ret=1ll*ret*(x-1)/x;
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i*i<=n;i++) 
    if (n%i==0) {
        int x=n/i;
        ans+=get_sum(x)*i;
        if (x!=i) ans+=get_sum(i)*x;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}