51nod-1040 最大公约数之和（欧拉函数）

1040最大公约数之和算法解析

最新推荐文章于 2021-07-19 21:56:36 发布

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本文详细解析了求解1至n各数与n的最大公约数之和的问题，通过枚举n的因子并利用欧拉函数计算满足条件的数的数量，最终得出答案。提供了一个高效的算法实现，适用于5级算法题的难度。

1040 最大公约数之和

题目来源： rihkddd

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

关注

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

Input

1个数N(N <= 10^9)

Output

公约数之和

Input示例

Output示例

题解：

n的最大公约数一定是n的因子v，所以考虑枚举因子分别求他们的个数num，那么因子v对答案的贡献就是v*num

相当于求[1-n]中 GCD(a[i],n) = v的个数,也就成了GCD(a[i]/v,n/v)=1的个数。欧拉函数求出即可。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long 
ll n,ans;
ll ol(ll x)
{
	ll i,res=x;
	for(i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			res=res-res/i;
			while(x%i==0)
				x/=i;
		}
	}
	if(x>1)
		res=res-res/x;
	return res;
}
int main(void)
{
	while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
	{
		ans=0;
		for(ll i=1;i*i<=n;i++)
		{
			if(n%i!=0)
				continue;
			ll tmp=n/i;
			ans+=i*ol(tmp);
			if(i!=tmp)
				ans+=tmp*ol(n/tmp);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}