9、深入浅出：逻辑回归全解析

深入浅出：逻辑回归全解析

1. 逻辑回归的引入与背景

在预测未来结果时，若结果是连续变量，可使用回归分析。但当结果为分类变量时，线性回归就不再适用，这时逻辑回归便派上用场。例如，预测一个人未来的职业是消防员、医生还是摇滚明星，这就是一个分类结果的预测问题。

逻辑回归本质上是多元回归的扩展，其结果变量为分类变量，预测变量可以是连续或分类变量。在最简单的形式中，它能根据某些信息预测一个人可能属于的两个类别。比如，通过测量一个人的懒惰程度、固执程度、酒精摄入量和打嗝次数，来预测其性别。

逻辑回归在医学研究中具有重要的应用价值。例如，它可以用于生成模型，预测肿瘤是恶性还是良性。通过分析患者数据库，确定影响肿瘤恶性程度的变量，再将新患者的相关变量值代入逻辑回归模型，就可以估计肿瘤恶性的概率。如果概率较低，医生可能会决定不进行昂贵且痛苦的手术。

当预测的分类结果只有两个时，称为二元逻辑回归；当预测的分类结果超过两个时，则使用多项（或多分类）逻辑回归。

2. 逻辑回归的原理

2.1 与线性回归的对比

为了便于理解逻辑回归的原理，我们先回顾一下线性回归。在简单线性回归中，结果变量 (Y) 由直线方程预测：
[Y_i = b_0 + b_1X_{1i} + \varepsilon]
其中，(b_0) 是 (Y) 截距，(b_1) 是直线的斜率，(X_1) 是预测变量的值，(\varepsilon) 是残差项。通过最小二乘法，可以估计方程中的未知参数，使得因变量的观测值和预测值之间的平方距离最小。

在多元回归中，有多个预测变量，每个预测变量都有自己的系数。(Y) 由每个预测