11、基础排序算法与递归分析

基础排序算法与递归分析

1. 基础排序算法

在排序算法领域，有几种基础的排序算法值得我们深入探讨，它们各自有着独特的特点和适用场景。

1.1 插入排序

插入排序在平均情况下的比较次数约为最坏情况的一半。不过，这两种情况的时间复杂度都是 $O(n^2)$，所以插入排序并非一种极其高效的排序算法。但在平均情况和最好情况下，插入排序比冒泡排序和选择排序要好一些，因此它是三种 $O(n^2)$ 排序算法中表现最优的。

插入排序还有一个显著的优点，它能够非常快速地对近乎有序的列表进行排序。一个 $k$-近乎有序的列表是指，列表中的所有元素距离其在有序列表中的最终位置不超过 $k$ 个位置。将任何元素插入到列表中已排序的部分最多需要 $k$ 次比较。对于 $k$-近乎有序的列表，插入排序的最坏情况复杂度的一个紧密上界是：
$W(n) = \sum_{i=1}^{n-1} k = k \cdot (n-1)$
由于 $k$ 是一个常数，所以 $W(n)$ 的时间复杂度为 $O(n)$，这意味着插入排序总是能以线性时间对近乎有序的列表进行排序，速度相当快。

1.2 希尔排序

希尔排序是插入排序的一种有趣变体，由唐纳德·希尔（Donald Shell）在 1959 年发明。它的工作原理是，对于某个间隔 $h$，对列表中相隔 $h$ 个位置的元素进行插入排序，然后减小 $h$ 的值，重复这个过程，直到 $h = 1$。

以下是希尔排序的 Ruby 实现代码：

def shell_sort(array)
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