8、常见概率分布的生成方法与性能分析

常见概率分布的生成方法与性能分析

1. 正态分布

正态分布，也称为高斯分布，是最重要的非均匀分布之一。它呈现出熟悉的钟形曲线，适用于模拟许多围绕中心均值平滑分布的自然过程。正态分布由两个参数表征：均值（μ）和标准差（σ），从该分布中提取随机值通常表示为 (x \approx N(\mu, \sigma))，其中标准零均值单位方差（(\sigma) 的平方）为 (N(0, 1))。由于可以轻松将 (N(0, 1)) 的值映射到任意的 (\mu) 和 (\sigma)，即 (N(\mu, \sigma) = \sigma * N(0, 1) + \mu)，因此我们主要关注生成 (N(0, 1)) 的值。

有几种将均匀样本转换为正态样本的方法，下面介绍两种常见的方法：

1.1 Box - Muller 方法

Box - Muller 方法将两个均匀样本 (U_1) 和 (U_2) 映射到两个正态分布样本 (Z_1) 和 (Z_2)，公式如下：
(Z_1 = \sqrt{-2 \ln U_1} \cos(2\pi U_2))
(Z_2 = \sqrt{-2 \ln U_1} \sin(2\pi U_2))

其原理是：如果有两个独立的正态坐标 (X \approx N(0, 1)) 和 (Y \approx N(0, 1))，可以用极坐标 (R) 和 (\theta) 表示它们映射的二维点，其中 (R^2 = X^2 + Y^2)，(\theta = \tan^{-1}(Y / X))。(X) 和 (Y) 的联合概率分布为：
(p(X, Y) = p(X)p(Y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^