21、量子动力学、态变换与量子信息理论

量子动力学、态变换与量子信息理论

量子动力学中的态变换与完全正性

在量子系统的研究中，态变换是一个核心内容。当将系统 $S$ 与另一个 $N$ 能级系统 $S’$ 耦合时，会得到一个映射 $\text{id}_N \otimes \Lambda$，它会将初始纠缠态 $\overline{P}_N^+$ 映射为非正定矩阵。而标准的量子时间演化 $U_t$ 自动处于 Kraus 形式，具有完全正性，在与辅助系统的统计耦合方面不存在不一致性。不过，在进行马尔可夫近似时，必须确保该过程能保证完全正性。

量子动力学半群的性质与生成元的形式密切相关。对于一个保持厄米性、幺正的单参数半群 ${\gamma_t} {t\geq0}$，其中 $\gamma_t : M_d(\mathbb{C}) \to M_d(\mathbb{C})$ 且 $\lim {t\to0} \gamma_t = \text{id} d$（在范数拓扑下），有以下重要结论：
1. 半群具有形式 $\gamma_t = \exp(tL)$，其生成元为：
- $L[X] = i[H, X] + \sum {a,b = 1}^{d^2 - 1} C_{ab} (F_a^\dagger X F_b - \frac{1}{2} [F_a^\dagger F_b, X])$
- 这里矩阵 $F_a$ 关于希尔伯特 - 施密特标量积在 $M_d(\mathbb{C})$ 中构成正交归一基，且 $F_{d^2} = \frac{1}{\sqrt{d}} 1_d$（当 $a \neq d^2 - 1$ 时，$\text{Tr}(F_a) = 0$），$(d^2 - 1) \times (